Aufgaben:Exercise 5.1: Error Distance Distribution

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Zwei Fehlerabstandsverteilungen

Ein jedes digitales Kanalmodell kann in gleicher Weise beschrieben werden durch

• die Fehlerfolge  $〈e_{\rm \nu}〉$, und
• die Fehlerabstandsfolge  $〈a_{\rm \nu \hspace{0.05cm}'}〉$.

Beispielhaft betrachten wir die Folgen:

$$<\hspace{-0.1cm}e_{\nu} \hspace{-0.1cm}> \ = \ < \hspace{-0.1cm}0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, \text{...} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.05cm},$$

$$< \hspace{-0.1cm}a_{\nu\hspace{0.05cm} '} \hspace{-0.15cm}> \ = \ <\hspace{-0.1cm}2, 3, 1, 4, 2, 5, 1, 1, 3, 4, 1, 2, \text{...} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt daraus beispielsweise:

• Der Fehlerabstand  $a_2 = 3$  bedeutet, dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
• Dagegen deutet  $a_3 = 1$  darauf hin, dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.

Die unterschiedlichen Indizes  $(\nu$  und  $\nu\hspace{0.05cm} '$, jeweils beginnend mit  $1$)  sind erforderlich, da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.

In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle  $M_1$  und  $M_2$  die Fehlerabstandsverteilung (FAV)

$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$

angegeben. Diese Tabelle soll in dieser Aufgabe ausgewertet werden.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle.

Fragebogen

1

Wie lauten die folgenden Fehlerwerte  $(0$  oder  $1)$?

$e_{\rm 16} \ = \ $

$e_{\rm 17} \ = \ $

$e_{\rm 18} \ = \ $

2

Wie groß ist bei beiden Modellen der Wert  $V_a(k = 1)$?

$V_a(k = 1) \ = \ $

3

Bestimmen Sie für das Modell  $M_1$  die Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände.

${\rm Pr}(a = 1) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 2) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 3) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 4) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 5) \ = \ $

4

Wie groß ist der maximal mögliche Fehlerabstand beim Modell  $M_1$?

$k_{\rm max} \ = \ $

5

Berechnen Sie für das Modell  $M_1$  den mittleren Fehlerabstand.

${\rm E}[a] \ = \ $

6

Wie groß ist beim Modell  $M_1$  die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = {\rm E}[e]$?

$p_{\rm M} \ = \ $

7

Welche Aussagen stimmen für das Modell  $M_2$  mit Sicherheit?

	Zwei Fehler können nicht direkt aufeinander folgen.
	Der häufigste Fehlerabstand ist  $a = 6$.
	Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt  $p_{\rm M} = 0.25$.

Musterlösung

Solution

(1)  Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$ und $29$ hin. Daraus folgt:

• $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$,
• $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$,
• $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$.

(2)  Aus der Definitionsgleichung folgt bereits

$$V_a(k = 1) = {\rm Pr}(a \ge 1)\hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Es gilt ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, –V_a(k+1)$. Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 3)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(3) - V_a(4) = 0.45 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.2}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 4)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(4) - V_a(5) = 0.25 - 0.10 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 5)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(5) - V_a(6) = 0.10 - 0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.10}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Aus $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a ≥ 6) = 0$ folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt $k_{\rm max} \ \underline {= 5}$.

(5)  Mit den unter (3) berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:

$${\rm E}[a] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) = 1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5} \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands: $p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}$.

(7)  Mit Sicherheit stimmt nur die Aussage 1:

• Die Aussage 1 stimmt, da ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, – V_a(2) = 0$ ist.
• Die zweite Aussage ist nicht sicher, da $V_a(6)$ nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a ≥ 6)$ angibt, aber nicht ${\rm Pr}(a = 6)$ allein. Nur mit der zusätzlichen Angabe $V_a(7) = 0$ würde die Aussage 2 zutreffen.
• Ebenso ist für den Erwartungswert ${\rm E}[a]$ augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich. Mit $V_a(7 = 0)$ würde sich ergeben.:

$${\rm E}[a] = 2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3= 4.4$$

• Ohne diese Angabe ist nur die Aussage ${\rm E}[a] ≥ 4.4$ möglich. Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$   ⇒   Die Aussage 3 trifft also mit Sicherheit nicht zu. .