Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3Z: Analysis of the BSC Model"
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* Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$, | * Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$, | ||
* Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$. | * Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$. | ||
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Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand | Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand | ||
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* der Fehlerkorrelationsfunktion | * der Fehlerkorrelationsfunktion | ||
:$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm | :$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm | ||
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p^2 \end{array} \right.\quad | p^2 \end{array} \right.\quad | ||
\begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, | \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, | ||
\\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$ | \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$ | ||
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| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]]. |
| − | *Durch Abzählen | + | *Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge $N = 1000$ genau $22$ Einsen enthält. |
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| − | {Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ des BSC–Modells zurückgeschlossen werden? | + | {Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ des BSC–Modells zurückgeschlossen werden? |
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| − | + FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$, | + | + FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$, |
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| − | - FAV–Wert $V_a(k = 1)$, | + | - FAV–Wert $V_a(k = 1)$, |
| − | + FAV–Wert $V_a(k = 2)$, | + | + FAV–Wert $V_a(k = 2)$, |
| − | + FAV–Wert $V_a(k = 10)$. | + | + FAV–Wert $V_a(k = 10)$. |
| − | {Von welchem | + | {Von welchem Modell stammt die angegebene Fehlerfolge? |
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- Modell $M_1$, | - Modell $M_1$, | ||
+ Modell $M_2$. | + Modell $M_2$. | ||
| − | {Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell $M_1$? | + | {Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell $M_1$? |
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| − | $E[a] \ = \ ${ 10 3% } | + | ${\rm E}\big[a\big] \ = \ ${ 10 3% } |
| − | {Wie groß sind für das Modell $M_1$ die folgenden Wahrscheinlichkeiten? | + | {Wie groß sind für das Modell $M_1$ die folgenden Wahrscheinlichkeiten? |
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${\rm Pr}(a = 1) \ = \ ${ 0.1 3% } | ${\rm Pr}(a = 1) \ = \ ${ 0.1 3% } | ||
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| − | {Berechnen Sie für das Modell $M_1$ folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung: | + | {Berechnen Sie für das Modell $M_1$ folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung: |
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$V_a(k = 2) \ = \ ${ 0.9 3% } | $V_a(k = 2) \ = \ ${ 0.9 3% } | ||
Revision as of 15:13, 25 March 2019
Gegebene Fehlerfolge
Wir betrachten zwei unterschiedliche BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:
- Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$,
- Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$.
Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.
Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand
- der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$
- der Fehlerabstandsverteilung
- $$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$$
- der Fehlerkorrelationsfunktion
- $$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] \ \ = \ \ \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Binary Symmetric Channel (BSC).
- Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge $N = 1000$ genau $22$ Einsen enthält.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Beim BSC–Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$. Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten
- $$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array} \hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$
$p$ lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV–Wert ist unabhängig von $p$ gleich $(1–p)^0 = 1$. Zutreffend sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5.
(2) Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$. Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$ ⇒ $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde. Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise ⇒ Vorschlag 2.
(3) Der mittlere Fehlerabstand – also der Erwartungswert der Zufallsgröße $a$ – ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit ⇒ $E[a] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$.
(4) Entsprechend der Gleichung ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$ erhält man:
- $${\rm Pr}(a = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(a = 10)= 0.9^9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Aus der Beziehung $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$ erhält man
- $$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = 1) - V_a(k = 2) = 0.1\hspace{0.05cm},$$
- $$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 \hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}.$$
Zur Kontrolle im Vergleich zur Teilaufgabe (4):
- $${\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k = 11) = 0.3874 - 0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$
