Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.7: McCullough and Gilbert-Elliott Parameters"
From LNTwww
m (Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “) |
|||
| Line 3: | Line 3: | ||
[[File:P_ID1844__Dig_A_5_7.png|right|frame|Gilbert-Elliott– und McCullough–Modell]] | [[File:P_ID1844__Dig_A_5_7.png|right|frame|Gilbert-Elliott– und McCullough–Modell]] | ||
| − | In [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer| Aufgabe 5.6]] und [[Aufgaben: | + | In [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer| Aufgabe 5.6]] und [[Aufgaben:Aufgabe_5.6Z:_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]] wurden jeweils das GE–Modell mit den Parameterwerten |
:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, | :$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, | ||
\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm} | \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm} | ||
| Line 11: | Line 11: | ||
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$ | B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | genauer untersucht. Gegenüber diesen Aufgaben werden nun die Übergangswahrscheinlichkeiten umbenannt, beispielsweise wird $p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ anstelle von $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ geschrieben. In der oberen Grafik ist diese Umbenennung bereits vorgenommen. | + | genauer untersucht. Gegenüber diesen Aufgaben werden nun die Übergangswahrscheinlichkeiten umbenannt, beispielsweise wird $p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ anstelle von $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ geschrieben. In der oberen Grafik ist diese Umbenennung bereits vorgenommen. |
| − | Die untere Grafik zeigt das MC–Modell von McCullough. Dieses besitzt die genau gleiche Struktur wie das GE–Modell, doch werden nun alle Wahrscheinlichkeiten mit $q$ anstelle von $p$ bezeichnet. | + | Die untere Grafik zeigt das MC–Modell von McCullough. Dieses besitzt die genau gleiche Struktur wie das GE–Modell, doch werden nun alle Wahrscheinlichkeiten mit $q$ anstelle von $p$ bezeichnet. |
| − | Beispielsweise bezeichnet beim MC–Modell $q\rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ die Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand $\rm G$ in den Zustand$\rm B$ unter der Voraussetzung, dass im Zustand $\rm G$ gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE–Parameter $p \rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ kennzeichnet dagegen diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne Zusatzbedingung. | + | Beispielsweise bezeichnet beim MC–Modell $q\rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ die Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand $\rm G$ in den Zustand $\rm B$ unter der Voraussetzung, dass im Zustand $\rm G$ gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE–Parameter $p \rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ kennzeichnet dagegen diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne Zusatzbedingung. |
| − | Die Parameter des GE–Modells ⇒ $p_{\rm G}, p_{\rm B}, p({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G}), p({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ können so in die entsprechenden MC–Parameter $q_{\rm G}, q_{\rm B}, q({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G})$ und $q({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE–Modell erzeugt wird, allerdings nicht die identische Folge. | + | Die Parameter des GE–Modells ⇒ $p_{\rm G}, \hspace{0.1cm} p_{\rm B}, \hspace{0.1cm} p({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G}), \hspace{0.1cm} p({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ können so in die entsprechenden MC–Parameter $q_{\rm G}, \hspace{0.1cm} q_{\rm B},\hspace{0.1cm} q({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G})$ und $q({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE–Modell erzeugt wird, allerdings nicht die identische Folge. |
Die Umrechnungsgleichungen lauten: | Die Umrechnungsgleichungen lauten: | ||
| Line 25: | Line 25: | ||
B} = 1-\beta_{\rm B}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} | B} = 1-\beta_{\rm B}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} | ||
q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \hspace{-0.1cm} \ = \ | q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \hspace{-0.1cm} \ = \ | ||
| − | \hspace{-0.1cm}\frac{\alpha_{\rm B} \cdot[{\rm Pr}(\rm | + | \hspace{-0.1cm}\frac{\alpha_{\rm B} \cdot \big [{\rm Pr}(\rm |
| − | B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}( | + | B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}( |
| − | G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]}{\alpha_{\rm G} \cdot | + | G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\big ]}{\alpha_{\rm G} \cdot {\it q}_{\rm |
| − | B} + \alpha_{\rm B} \cdot | + | B} + \alpha_{\rm B} \cdot {\it q}_{\rm G}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} |
| − | \hspace{0.2cm}q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\hspace{-0.1cm} \ = \ | + | \hspace{0.2cm}{\it q}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\hspace{-0.1cm} \ = \ |
\hspace{-0.1cm} | \hspace{-0.1cm} | ||
| − | \frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm | + | \frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot {\it q}(\rm |
B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$ | B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| Line 62: | Line 62: | ||
\hspace{0.2cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.2cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | $w_{\rm G}$ und $w_{\rm B}$ sind die Zustandswahrscheinlichkeiten für „GOOD” und „BAD” des GE–Modells. In der [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]] wurden diese wie folgt berechnet: | + | $w_{\rm G}$ und $w_{\rm B}$ sind die Zustandswahrscheinlichkeiten für „GOOD” und „BAD” des GE–Modells. In der [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]] wurden diese wie folgt berechnet: |
:$$w_{\rm G} = {10}/{11}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}w_{\rm B} | :$$w_{\rm G} = {10}/{11}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}w_{\rm B} | ||
= {1}/{11}\hspace{0.05cm}.$$ | = {1}/{11}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die entsprechenden Zustandswahrscheinlichkeiten des MC–Modells sind $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$. | + | Die entsprechenden Zustandswahrscheinlichkeiten des MC–Modells sind $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$. |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]]. |
| − | * In der nachfolgenden [[5.7Z_Nochmals_MC-Modell|Aufgabe 5.7Z]] werden die wichtigsten Beschreibungsgrößen | + | * In der nachfolgenden [[5.7Z_Nochmals_MC-Modell|Aufgabe 5.7Z]] werden die wichtigsten Beschreibungsgrößen direkt aus den MC–Parametern berechnet: |
** Fehlerkorrelationsfunktion, | ** Fehlerkorrelationsfunktion, | ||
** Korrelationsdauer, | ** Korrelationsdauer, | ||
| Line 78: | Line 81: | ||
** Fehlerabstandsverteilung | ** Fehlerabstandsverteilung | ||
| − | + | ||
Revision as of 15:26, 26 March 2019
Gilbert-Elliott– und McCullough–Modell
In Aufgabe 5.6 und Aufgabe 5.6Z wurden jeweils das GE–Modell mit den Parameterwerten
- $$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
genauer untersucht. Gegenüber diesen Aufgaben werden nun die Übergangswahrscheinlichkeiten umbenannt, beispielsweise wird $p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ anstelle von $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ geschrieben. In der oberen Grafik ist diese Umbenennung bereits vorgenommen.
Die untere Grafik zeigt das MC–Modell von McCullough. Dieses besitzt die genau gleiche Struktur wie das GE–Modell, doch werden nun alle Wahrscheinlichkeiten mit $q$ anstelle von $p$ bezeichnet.
Beispielsweise bezeichnet beim MC–Modell $q\rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ die Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand $\rm G$ in den Zustand $\rm B$ unter der Voraussetzung, dass im Zustand $\rm G$ gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE–Parameter $p \rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ kennzeichnet dagegen diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne Zusatzbedingung.
Die Parameter des GE–Modells ⇒ $p_{\rm G}, \hspace{0.1cm} p_{\rm B}, \hspace{0.1cm} p({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G}), \hspace{0.1cm} p({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ können so in die entsprechenden MC–Parameter $q_{\rm G}, \hspace{0.1cm} q_{\rm B},\hspace{0.1cm} q({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G})$ und $q({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE–Modell erzeugt wird, allerdings nicht die identische Folge.
Die Umrechnungsgleichungen lauten:
- $$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1-\beta_{\rm G}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 1-\beta_{\rm B}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{\alpha_{\rm B} \cdot \big [{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}( G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\big ]}{\alpha_{\rm G} \cdot {\it q}_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot {\it q}_{\rm G}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \hspace{0.2cm}{\it q}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot {\it q}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei sind die folgenden Hilfsgrößen verwendet:
- $$u_{\rm GG} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\rm G}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\it u}_{\rm GB} ={\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm} \rm G}) \hspace{0.05cm},$$
- $$u_{\rm BB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm B}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.29cm} {\it u}_{\rm BG} ={\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm B})\hspace{0.05cm}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \beta_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2} \hspace{0.05cm},$$
- $$\beta_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} - \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}\hspace{0.05cm},$$
- $$x_{\rm G} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm G}-u_{\rm BB}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} x_{\rm B} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm B}-u_{\rm BB}}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_{\rm G} = \frac{(w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}\cdot x_{\rm G})( x_{\rm B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.$$
$w_{\rm G}$ und $w_{\rm B}$ sind die Zustandswahrscheinlichkeiten für „GOOD” und „BAD” des GE–Modells. In der Aufgabe 5.6Z wurden diese wie folgt berechnet:
- $$w_{\rm G} = {10}/{11}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}w_{\rm B} = {1}/{11}\hspace{0.05cm}.$$
Die entsprechenden Zustandswahrscheinlichkeiten des MC–Modells sind $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Bündelfehlerkanäle.
- In der nachfolgenden Aufgabe 5.7Z werden die wichtigsten Beschreibungsgrößen direkt aus den MC–Parametern berechnet:
- Fehlerkorrelationsfunktion,
- Korrelationsdauer,
- mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit und
- Fehlerabstandsverteilung
Fragebogen
Musterlösung
(1) Für die $u$–Hilfsgrößen gilt:
- $$u_{\rm GG} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\rm G}) = 0.99 \cdot (1 -0.001) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.98901} \hspace{0.05cm},$$
- $$u_{\rm BG} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\rm B})= 0.1 \cdot (1 -0.1) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.09} \hspace{0.05cm},$$
- $$u_{\rm GB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\rm G})= 0.01 \cdot (1 -0.001) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.00999} \hspace{0.05cm},$$
- $$u_{\rm BB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\rm B})= 0.9 \cdot (1 -0.1) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.81}\hspace{0.05cm}.$$
Daraus folgt für die $\beta$–Hilfsgrößen:
- $$\beta_{\rm G} =\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2} =\frac{0.98901 + 0.81 + \sqrt{(0.98901 - 0.81)^2 + 4 \cdot 0.00999\cdot 0.09}}{2} $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\beta_{\rm G}= \frac{1.79901 + \sqrt{0.03204 + 0.003596}}{2} = \frac{1.79901 + 0.18877}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9939} \hspace{0.05cm},$$
- $$\beta_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} - \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}\hspace{0.05cm}, = \ \hspace{-0.1cm}\text{...} = \frac{1.79901 - 0.18877}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.8051} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:
- $$q_{\rm G} = 1-\beta_{\rm G} = 1 - 0.9939 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0061}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}q_{\rm B} = 1-\beta_{\rm B}= 1 - 0.8051 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1949}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Entsprechend dem Angabenblatt ist hier anzusetzen
- $$x_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm G}-u_{\rm BB}}= \frac{0.0999}{0.9939-0.81}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5432}\hspace{0.05cm},$$
- $$ x_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm B}-u_{\rm BB}}= \frac{0.0999}{0.8051-0.81}\hspace{0.15cm}\underline {= -20.388}\hspace{0.05cm},$$
- $$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{(w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}\cdot x_{\rm G})( x_{\rm B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} = \frac{(0.9091 \cdot 0.001 + 0.0909 \cdot 0.1\cdot 0.5432)( -20.388-1)}{0.01 \cdot( -20.388 -0.5432)} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5975} \hspace{0.05cm},$$
- $$\alpha_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1-\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Entsprechend den vorgegebenen Gleichungen gilt:
- $$q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{\alpha_{\rm B} \cdot[{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} =\frac{0.4025 \cdot[0.1 + 0.01]}{0.5975 \cdot 0.1949 + 0.4025 \cdot 0.0061}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3724} \hspace{0.05cm},$$
- $$q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )= \frac{0.5975}{0.4025} \cdot 0.3724 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5528}\hspace{0.05cm}.$$
