Aufgaben:Exercise 3.8: Rate Compatible Punctured Convolutional Codes

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RCPC–Punktierungsmatrizen

Eine wichtige Anwendung für  punktierte Faltungscodes  sind die  Rate Compatible Punctured Convolutional Codes  (oder kurz RCPC–Codes), die von  Joachim Hagenauer  in [Hag88] vorgeschlagen wurden. Ausgehend von einem Muttercode  $\mathcal{C}_0$  mit der Rate  $R_0 = 1/n$  werden durch verschiedene Punktierungsmatrizen  $\mathbf{P}_l$  andere Codes  $\mathcal{C}_l$  mit höherer Coderate  $(R_l > R_0)$ festgelegt.

Rechts sind die zu analysierenden Punktierungsmatrizen  $\mathbf{P}_0, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm} , \ \mathbf{P}_4$  dargestellt.

• Ist bei der Matrix  $\mathbf{P}_l$  das Matrixelement  $P_{ij} = 1$, so wird das entsprechende Codebit übertragen, während  $P_{ij} = 0$  auf eine Punktierung hinweist.
• Im Fragebogen verwenden wir für das Element  $P_{ij}$  der Matrix  $\mathbf{P}_l$  auch die kürzere Schreibweise  $P_{ij}^{(l)}$.

In der Grafik sind alle die Nullen in der Matrix  $\mathbf{P}_l$  rot markiert, die in der Matrix  $\mathbf{P}_{l–1}$  noch Einsen waren. Durch diese Maßnahme wird die Coderate  $R_{l}$  gegenüber  $R_{l-1}$  vergrößert.

Die RCPC–Codes eignen sich gut zur Realisierung von

• ungleichem Fehlerschutz  für hybride ARQ–Verfahren,
• Systemen mit  inkrementeller Redundanz.

Unter „Systemen mit inkrementeller Redundanz” versteht man, dass nach der herkömmlichen Faltungscodierung aus dem Codewort  $\underline{x}^{(0)}$  Bits entsprechend der Punktierungsmatrix  $\mathbf{P}_l$  weggelassen werden und das verkürzte Codewort  $\underline{x}^{(l)}$  übertragen wird:

• Kann das punktierte Codewort im Empfänger nicht korrekt decodiert werden, fordert der Empfänger vom Sender weitere Redundanz in Form der zuvor auspunktierten Bits an.
• Somit wird die Übertragung von nicht benötigter Redundanz verhindert und der Durchsatz an die Kanalgegebenheiten angepasst.

Joachim Hagenauer

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf den Abschnitt  Punktierte Faltungscodes  im Kapitel „Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm”.

• Die Literaturstelle [Hag88] verweist auf das Paper „Hagenauer, J.: Rate Compatible Punctured Convolutional Codes (RCPC codes) and their Applications. In: IEEE Transactions on Communications, vol COM-36, S. 389 - 400, 1988”.
• Professor  Joachim Hagenauer  war von 1993 bis 2006 Leiter des Lehrstuhls für Nachrichtentechnik (LNT) der Technischen Universität München.
• Die Initiatoren des von Ihnen gerade genutzten Lerntutorials – Günter Söder und Klaus Eichin – danken ihrem langjährigen Chef für die Unterstützung und Förderung unseres  $\rm LNTwww$–Projekts während der ersten sechs Jahre.

Fragebogen

1

Welche Aussagen liefern die vorgegeben Punktierungsmatrizen?

	Die Rate des RCPC–Muttercodes ist  $R_0 = 1/3$.
	Die Punktierungsperiode ist  $p = 8$.
	Das Gedächtnis der RCPC–Codeklasse ist  $M = 4$.

2

Welche Coderaten weisen die Codes  $\mathcal{C}_1$, ... , $\mathcal{C}_4$  auf?

${\rm Matrix \ P_1} \Rightarrow {\rm Code \ \mathcal{C}_1} \text{:} \hspace{0.4cm} R_1 \ = \ $

${\rm Matrix \ P_2} \Rightarrow {\rm Code \ \mathcal{C}_2} \text{:} \hspace{0.4cm}R_2 \ = \ $

${\rm Matrix \ P_3} \Rightarrow {\rm Code \ \mathcal{C}_3} \text{:} \hspace{0.4cm} R_3 \ = \ $

${\rm Matrix \ P_4} \Rightarrow {\rm Code \ \mathcal{C}_4} \text{:} \hspace{0.4cm} R_4 \ = \ $

3

Welche Aussagen gelten für die Matrixelemente $P_{ij}^{(l)}$?

	Aus  $P_{ij}^{(l)} = 1$  folgt  $P_{ij}^{(\lambda)} = 1$ für alle $\lambda < l$.
	Aus  $P_{ij}^{(l)} = 1$  folgt  $P_{ij}^{(\lambda)} = 1$ für alle $\lambda > l$.
	Aus  $P_{ij}^{(l)} = 0$  folgt  $P_{ij}^{(\lambda)} = 0$ für alle $\lambda < l$.
	Aus  $P_{ij}^{(l)} = 0$  folgt  $P_{ij}^{(\lambda)} = 0$ für alle $\lambda > l$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Die Zeilenzahl der Punktierungsmatrizen gibt den Parameter $n$ des $(n, \ k = 1)$–RCPC–Muttercodes an.
• Daraus ergibt sich dessen Rate zu $R_0 = 1/3$. Die Spaltenzahl ist gleich der Punktierungsperiode $p$. Bei der betrachteten Codeklasse gilt $p = 8$.
• Dagegen liefern die Punktierungsmatrizen keine Aussagen über das Gedächtnis des Codes  ⇒ 

(2)  Für die Rate des Codes $\mathcal{C}_l = p/N_l$, wobei $N_l$ die Anzahl aller Einsen in der Punktierungsmatrix $\mathbf{P}_l$ und $p$ die Punktierungsperiode bezeichnet. Ausgehend von der Rate $R_0 = 1/3$ des Muttercodes $\mathcal{C}_0$ erhält man:

• $R_1 = 8/20 = 2/5 = \underline{0.400}$,
• $R_2 = 8/16 = 1/2 = \underline{0.500}$,
• $R_3 = 8/12 = 2/3 = \underline{0.667}$,
• $R_4 = 8/9 = \underline{0.889}$.

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Alle Einsen in der Matrix $\mathbf{P}_4$ sind auch in den darüber liegenden Matrizen $\mathbf{P}_3, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, \ \mathbf{P}_0$ enthalten.
• In der Matrix $\mathbf{P}_3$ kommen gegenüber $\mathbf{P}_4$ drei Einsen hinzu, in der Matrix $\mathbf{P}_2$ gegenüber $\mathbf{P}_3$ nochmals vier, usw.