Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.12: Path Weighting Function"
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* Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung | * Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung | ||
:$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$ | :$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$ | ||
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{Was ist bei der Modifizierung des Übergangsdiagramms zu beachten? | {Was ist bei der Modifizierung des Übergangsdiagramms zu beachten? | ||
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− | + Der Zustand $S_0$ muss in $S_0$ und $S_0'$ aufgespalten werden. | + | + Der Zustand $S_0$ muss in $S_0$ und $S_0\hspace{0.01cm}'$ aufgespalten werden. |
− | - Der Zustand $S_1$ muss in $ | + | - Der Zustand $S_1$ muss in $S_0$ und $S_0\hspace{0.01cm}'$ aufgespalten werden. |
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- $T_{\rm enh}(X, \, U) = U^2X^3$ | - $T_{\rm enh}(X, \, U) = U^2X^3$ | ||
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+ $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$ | + $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$ | ||
− | {Welche Gleichungen gelten für die „einfache” Pfadgewichtsfunktion $T(X)$? | + | {Welche Gleichungen gelten für die „einfache” Pfadgewichtsfunktion $T(X)$? |
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+ $T(X) = X^3/(1 \, –X)$, | + $T(X) = X^3/(1 \, –X)$, |
Revision as of 16:14, 1 July 2019
In Aufgabe 3.6 wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscodierer mit den Eigenschaften
- Rate $R = 1/2$,
- Gedächtnis $m = 1$,
- Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D) = (1, \, D)$
ermittelt, das rechts dargestellt ist.
Aus diesem Zustandsübergangsdiagramm soll nun
- die Pfadgewichtsfunktion $T(X)$, und
- die erweiterte Pfadgewichtsfunktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$
bestimmt werden, wobei $X$ und $U$ Dummy–Variablen sind.
Die Vorgehensweise ist im Theorieteil zu diesem Kapitel eingehend erläutert. Schließlich ist aus $T(X)$ noch die freie Distanz $d_{\rm F}$ zu bestimmen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
- Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung
- $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aus der nebenstehenden Grafik erkennt man, dass die Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5 richtig sind:
- Der Zustand $S_0$ muss in einen Startzustand $S_0$ und einen Endzustand ${S_0}'$ aufgespalten werden.
- Der Grund hierfür ist, dass für die folgende Berechnung der Pfadgewichtsfunktion $T(X, \, U)$ alle Übergänge von $S_0$ nach $S_0$ ausgeschlossen werden müssen.
- Jedes Codesymbol $x ∈ \{0, \, 1\}$ wird durch $X^x$ dargestellt, wobei $X$ eine Dummy–Variable hinsichtlich der Ausgangssequenz ist: $x = 0 \ \Rightarrow \ X^0 = 1, \ x = 1 \ \Rightarrow \ X^1 = X.$ Daraus folgt weiter $(00) \ \Rightarrow \ 1, \ (01) \ \Rightarrow \ X, \ (10) \ \Rightarrow \ X, \ (11) \ \Rightarrow \ X^2$.
- Bei einem blauen Übergang im ursprünglichen Diagramm – dies steht für $u_i = 1$ – ist im modifizierten Diagramm der Faktor $U$ hinzuzufügen.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im Theorieteil ein „Ring”. Daraus folgt:
- $$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} \hspace{0.05cm}.$$
- Mit $A(X, \, U) = UX^2, \ B(X, \, U) = X, \ C(X, \, U) = UX$ erhält man mit der angegebenen Reihenentwicklung:
- $$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U \hspace{0.05cm} X^3}{1- U \hspace{0.05cm} X} = U \hspace{0.05cm} X^3 \cdot \left [ 1 + (U \hspace{0.05cm} X) + (U \hspace{0.05cm} X)^2 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
(3) Man kommt von der erweiterten Pfadgewichtsfunktion zu $T(X)$, indem der Formalparameter $U = 1$ gesetzt wird. Richtig sind also beide Lösungsvorschläge.
(4) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ lässt sich aus der Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ als der niedrigste Exponent der Dummy–Variablen $X$ ablesen ⇒ $d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.