Aufgaben:Exercise 2.2: DC Component of Signals

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Rechtecksignale mit und ohne Gleichanteil

Die Grafik zeigt einige Zeitsignale, die für alle Zeiten $($von  $-\infty$  bis  $+\infty)$  definiert sind. Bei allen sechs Beispielsignalen  $x_i(t)$  kann für die zugehörige Spektralfunktion geschrieben werden:

$$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$

Hierbei bezeichnen

• $A_0$  den Gleichsignalanteil, und
• $\Delta X_i(f)$  das Spektrum des um den Gleichanteil verminderten Restsignals  $\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0$.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.

Fragebogen

1

Welche der Signale beinhalten einen Gleichanteil, das heißt, bei welchen Signalen ist  $A_0 \neq 0$?

	Signal  $x_1(t),$
	Signal  $x_2(t),$
	Signal  $x_3(t),$
	Signal  $x_4(t),$
	Signal  $x_5(t),$
	Signal  $x_6(t).$

2

Bei welchen der Signale gilt für das „Restspektrum”  $\Delta X_i(f) =0$?

	Signal  $x_1(t),$
	Signal  $x_2(t),$
	Signal  $x_3(t),$
	Signal  $x_4(t),$
	Signal  $x_5(t),$
	Signal  $x_6(t).$

3

Wie groß ist der Gleichanteil des Signals  $x_3(t)$?

$x_3(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0 \ = \ $   ${\rm V}$

4

Wie groß ist der Gleichanteil des Signals  $x_4(t)$?

$x_4(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $   ${\rm V}$

5

Wie groß ist der Gleichanteil des Signals  $x_6(t)$?

$x_6(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $   ${\rm V}$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Antworten 1, 3, 4, 5 und 6.

• Alle Signale mit Ausnahme von $x_2(t)$ beinhalten einen Gleichsignalanteil.

(2)  Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 5:

• Subtrahiert man vom Signal $x_5(t)$ den Gleichanteil $1\text{V}$, so ist das Restsignal $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$ gleich Null.
• Dementspechend ist auch die Spektralfunktion $\Delta X_5(f) = 0$.
• Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich $0$ und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$.

(3)  Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils $A_0$ die Mittelung über eine Periodendauer. Beim Beispielsignal $x_3(t)$ ist diese $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu

$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot \big[1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms \big] \hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$

(4)  Für das Signal $x_4(t)$ kann geschrieben werden: $x_4(t) = 0.5 \,{\rm V} + Δx_4(t)$. Hierbei bezeichnet $Δx_4(t)$ einen Rechteckimpuls der Amplitude $0.5 \,{\rm V} $ und der Dauer $4 \,{\rm ms} $, der aufgrund seiner endlichen Dauer nicht zum Gleichsignalanteil beiträgt. Deshalb gilt hier $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.

(5)  Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet:

$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$

Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man:

$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V \ {\rm d }{\it t }.$$

Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.