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| Line 3: |
Line 3: |
| | ==Programmbeschreibung== | | ==Programmbeschreibung== |
| | <br> | | <br> |
| − | Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen) $\sigma_X$ und $\sigma_Y$ ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt: $m_X = m_Y = 0$. | + | Das Applet verdeutlicht |
| | | | |
| − | Das Applet zeigt
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| − | * die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ⇒ $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$ $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$ in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
| |
| − | * die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion ⇒ $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$ $f_{X}(x)$ der Zufallsgröße $X$ als blaue Kurve; ebenso $f_{Y}(y)$ für die zweite Zufallsgröße,
| |
| − | * die zweidimensionale Verteilungsfunktion ⇒ $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$ $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$ als 3D-Plot,
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| − | * die Verteilungsfunktion ⇒ $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$ $F_{X}(x)$ der Zufallsgröße $X$; ebenso $F_{Y}(y)$ als rote Kurve.
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| | | | |
| − | | + | Das Applet verwendet das Framework [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly] '''Stimmt das?''' |
| − | Das Applet verwendet das Framework [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly] | |
| | | | |
| | ==Theoretischer Hintergrund== | | ==Theoretischer Hintergrund== |
| | <br> | | <br> |
| | ===Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation=== | | ===Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation=== |
| − |
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| − | Die '''Fouriertransformation''' gemäß der herkömmlichen Beschreibung für zeitkontinuierliche Signale weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich hohe Selektivität auf und ist deshalb ein ideales theoretisches Hilfsmittel der Spektralanalyse.
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| − |
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| − | Sollen die Spektralanteile $X(f)$ einer Zeitfunktion $x(t)$ numerisch ermittelt werden, so sind die allgemeinen Transformationsgleichungen
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| − |
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| − | :$$\begin{align*}X(f) & = \int_{-\infty
| |
| − | }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Hintransformation}\hspace{0.7cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Erstes Fourierintegral}
| |
| − | \hspace{0.05cm},\\
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| − | x(t) & = \int_{-\infty
| |
| − | }^{+\infty}\hspace{-0.15cm}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi f t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\hspace{0.35cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
| |
| − | \text{Rücktransformation}\hspace{0.4cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} \text{Zweites Fourierintegral}
| |
| − | \hspace{0.05cm}\end{align*}$$
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| − |
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| − | aus zwei Gründen ungeeignet:
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| − | *Die Gleichungen gelten ausschließlich für zeitkontinuierliche Signale. Mit Digitalrechnern oder Signalprozessoren kann man jedoch nur zeitdiskrete Signale verarbeiten.
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| − | *Für eine numerische Auswertung der beiden Fourierintegrale ist es erforderlich, das jeweilige Integrationsintervall auf einen endlichen Wert zu begrenzen.
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| − |
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| − |
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| − | {{BlaueBox|TEXT=
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| − | $\text{Daraus ergibt sich folgende Konsequenz:}$
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| − |
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| − | Ein '''kontinuierliches Signal''' muss vor der numerischen Bestimmung seiner Spektraleigenschaften zwei Prozesse durchlaufen, nämlich
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| − | *den der '''Abtastung''' zur Diskretisierung, und
| |
| − | *den der '''Fensterung''' zur Begrenzung des Integrationsintervalls.}}
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| − |
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| − |
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| − | Im Folgenden wird ausgehend von einer aperiodischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem dazugehörigen Fourierspektrum $X(f)$ eine für die Rechnerverarbeitung geeignete zeit– und frequenzdiskrete Beschreibung vorgestellt.
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| − |
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| − |
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| − | ===Zeitdiskretisierung – Periodifizierung im Frequenzbereich===
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| − |
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| − | Die folgenden Grafiken zeigen einheitlich links den Zeitbereich und rechts den Frequenzbereich. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind $x(t)$ und $X(f)$ jeweils reell und gaußförmig.
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| − |
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| − | [[File:P_ID1132__Sig_T_5_1_S2_neu.png|center|frame|Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich]]
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| − |
| |
| − | Man kann die Abtastung des Zeitsignals $x(t)$ durch die Multiplikation mit einem Diracpuls $p_{\delta}(t)$ beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastete Zeitsignal
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| − |
| |
| − | :$${\rm A}\{x(t)\} = \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
| |
| − | \delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
| |
| − | )\hspace{0.05cm}.$$
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| − |
| |
| − | Dieses abgetastete Signal $\text{A}\{ x(t)\}$ transformieren wir nun in den Frequenzbereich. Der Multiplikation des Diracpulses $p_{\delta}(t)$ mit $x(t)$ entspricht im Frequenzbereich die Faltung von $P_{\delta}(f)$ mit $X(f)$. Es ergibt sich das periodifizierte Spektrum $\text{P}\{ X(f)\}$, wobei $f_{\rm P}$ die Frequenzperiode der Funktion $\text{P}\{ X(f)\}$ angibt:
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| − |
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| − | :$${\rm A}\{x(t)\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{X(f)\} = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
| |
| − | X (f- \mu \cdot f_{\rm P} )\hspace{0.5cm} {\rm mit }\hspace{0.5cm}f_{\rm
| |
| − | P}= {1}/{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
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| − |
| |
| − | *Das abgetastete Signal nennen wir $\text{A}\{ x(t)\}$.
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| − | * Die '''Frequenzperiode''' wird mit $f_{\rm P}$ = $1/T_{\rm A}$ bezeichnet.
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| − |
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| − |
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| − | Die obige Grafik zeigt den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang. Es ist anzumerken:
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| − | *Die Frequenzperiode $f_{\rm P}$ wurde hier bewusst klein gewählt, so dass die Überlappung der zu summierenden Spektren deutlich zu erkennen ist.
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| − | *In der Praxis sollte $f_{\rm P}$ aufgrund des Abtasttheorems mindestens doppelt so groß sein wie die größte im Signal $x(t)$ enthaltene Frequenz.
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| − | *Ist dies nicht erfüllt, so muss mit '''Aliasing''' gerechnet werden.
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| − |
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| − |
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| − |
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| − | ===Frequenzdiskretisierung – Periodifizierung im Zeitbereich===
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| − | Die Diskretisierung von $X(f)$ lässt sich ebenfalls durch eine Multiplikation mit einem Diracpuls beschreiben. Es ergibt sich das im Abstand $f_{\rm A}$ abgetastete Spektrum:
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| − |
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| − | :$${\rm A}\{X(f)\} = X(f) \cdot \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
| |
| − | f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
| |
| − | f_{\rm A} \cdot X(\mu \cdot f_{\rm A } ) \cdot\delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } )\hspace{0.05cm}.$$
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| − |
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| − | Transformiert man den hier verwendeten Frequenz–Diracpuls $($mit Impulsgewichten $f_{\rm A})$ in den Zeitbereich, so erhält man mit $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$:
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| − |
| |
| − | :$$\sum_{\mu = - \infty }^{+\infty}
| |
| − | f_{\rm A} \cdot \delta (f- \mu \cdot f_{\rm A } ) \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
| |
| − | \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
| |
| − | \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$
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| − |
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| − | Die Multiplikation mit $X(f)$ entspricht im Zeitbereich der Faltung mit $x(t)$. Man erhält das im Abstand $T_{\rm P}$ periodifizierte Signal $\text{P}\{ x(t)\}$:
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| − |
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| − | :$${\rm A}\{X(f)\} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
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| − | {\rm P}\{x(t)\} = x(t) \star \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
| |
| − | \delta (t- \nu \cdot T_{\rm P } )= \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty}
| |
| − | x (t- \nu \cdot T_{\rm P } ) \hspace{0.05cm}.$$
| |
| − |
| |
| − | [[File:P_ID1134__Sig_T_5_1_S3_neu.png|right|frame|Diskretisierung im Frequenzbereich – Periodifizierung im Zeitbereich]]
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| − | {{GraueBox|TEXT=
| |
| − | $\text{Beispiel 1:}$
| |
| − | Dieser Zusammenhang ist in der Grafik veranschaulicht:
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| − | *Aufgrund der groben Frequenzrasterung ergibt sich in diesem Beispiel für die Zeitperiode $T_{\rm P}$ ein relativ kleiner Wert.
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| − |
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| − |
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| − | * Deshalb unterscheidet sich das (blaue) periodifizierte Zeitsignal $\text{P}\{ x(t)\}$ aufgrund von Überlappungen deutlich von $x(t)$.}}
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| − |
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| − |
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| − | ===Finite Signaldarstellung===
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| − |
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| − | [[File:P_ID1135__Sig_T_5_1_S4_neu.png|right|frame|Finite Signale der Diskreten Fouriertransformation (DFT)]]
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| − | Zur so genannten ''finiten Signaldarstellung'' kommt man,
| |
| − | *wenn sowohl die Zeitfunktion $x(t)$
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| − | *als auch die Spektralfunktion $X(f)$
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| − |
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| − |
| |
| − | ausschließlich durch ihre Abtastwerte angegeben werden.
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| − | <br clear=all>
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| − | Die Grafik ist wie folgt zu interpretieren:
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| − | *Im linken Bild blau eingezeichnet ist die Funktion $\text{A}\{ \text{P}\{ x(t)\}\}$. Diese ergibt sich durch Abtastung der periodifizierten Zeitfunktion $\text{P}\{ x(t)\}$ mit äquidistanten Diracimpulsen im Abstand $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P}$.
| |
| − | *Im rechten Bild grün eingezeichnet ist die Funktion $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$. Diese ergibt sich durch Periodifizierung $($mit $f_{\rm P})$ der abgetasteten Spektralfunktion $\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$.
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| − | *Zwischen dem blauen finiten Signal und dem grünen finiten Signal besteht ebenfalls eine Fourierkorrespondenz, und zwar die folgende:
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| − |
| |
| − | :$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} \hspace{0.05cm}.$$
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| − |
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| − | {{BlaueBox|TEXT=
| |
| − | Die Diraclinien der periodischen Fortsetzung $\text{P}\{ \text{A}\{ X(f)\}\}$ der abgetasteten Spektralfunktion fallen allerdings nur dann in das gleiche Frequenzraster wie diejenigen von $\text{A}\{ X(f)\}$, wenn die Frequenzperiode $f_{\rm P}$ ein ganzzahliges Vielfaches $(N)$ des Frequenzabtastabstandes $f_{\rm A}$ ist.
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| − |
| |
| − | *Bei Anwendung der finiten Signaldarstellung muss stets die folgende Bedingung erfüllt sein, wobei für die natürliche Zahl $N$ in der Praxis meist eine Zweierpotenz verwendet wird (der obigen Grafik liegt der Wert $N = 8$ zugrunde):
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| − |
| |
| − | :$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {1}/{T_{\rm A} }= N \cdot f_{\rm A} \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
| |
| − | N \cdot f_{\rm A}\cdot T_{\rm A} = 1\hspace{0.05cm}.$$}}
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| − |
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| − |
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| − | Bei Einhaltung der Bedingung $N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1$ ist die Reihenfolge von Periodifizierung und Abtastung vertauschbar. Somit gilt:
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| − |
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| − | :$${\rm A}\{{\rm P}\{x(t)\}\} = {\rm P}\{{\rm A}\{x(t)\}\}\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
| |
| − | {\rm P}\{{\rm A}\{X(f)\}\} = {\rm A}\{{\rm P}\{X(f)\}\}\hspace{0.05cm}.$$
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| − |
| |
| − | {{BlaueBox|TEXT=
| |
| − | $\text{Fazit:}$
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| − | *Die Zeitfunktion $\text{P}\{ \text{A}\{ x(t)\}\}$ besitzt die Periode $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
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| − | *Die Periode im Frequenzbereich ist $f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A}$.
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| − | *Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils $N$ '''komplexe Zahlenwerte''' in Form von Impulsgewichten aus.}}
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| − |
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| − |
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| − | {{GraueBox|TEXT=
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| − | $\text{Beispiel 2:}$
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| − | Es liegt ein zeitbegrenztes (impulsartiges) Signal $x(t)$ in abgetasteter Form vor, wobei der Abstand zweier Abtastwerte $T_{\rm A} = 1\, {\rm µ s}$ beträgt:
| |
| − | *Nach einer diskreten Fouriertransformation mit $N = 512$ liegt das Spektrum $X(f)$ in Form von Abtastwerten im Abstand $f_{\rm A} = (N \cdot T_{\rm A})^{–1} \approx 1.953\,\text{kHz} $ vor.
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| − | *Vergrößert man den DFT–Parameter auf $N= 2048$, so ergibt sich ein feineres Frequenzraster mit $f_{\rm A} \approx 488\,\text{Hz}$.}}
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| − | ===Diskrete Fouriertransformation===
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| − |
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| − | Aus dem herkömmlichen „ersten Fourierintegral”
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| − |
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| − | :$$X(f) =\int_{-\infty
| |
| − | }^{+\infty}x(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$
| |
| − |
| |
| − | entsteht durch Diskretisierung $(\text{d}t \to T_{\rm A}$, $t \to \nu \cdot T_{\rm A}$, $f \to \mu \cdot f_{\rm A}$, $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1/N)$ die abgetastete und periodifizierte Spektralfunktion
| |
| − |
| |
| − | :$${\rm P}\{X(\mu \cdot f_{\rm A})\} = T_{\rm A} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
| |
| − | {\rm P}\{x(\nu \cdot T_{\rm A})\}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}
| |
| − | \cdot \hspace{0.05cm}\mu /N} \hspace{0.05cm}.$$
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| − |
| |
| − | Es ist berücksichtigt, dass aufgrund der Diskretisierung jeweils die periodifizierten Funktionen einzusetzen sind.
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| − |
| |
| − | Aus Gründen einer vereinfachten Schreibweise nehmen wir nun die folgenden Substitutionen vor:
| |
| − | *Die $N$ '''Zeitbereichskoeffizienten''' seien mit der Laufvariablen $\nu = 0$, ... , $N - 1$:
| |
| − | :$$d(\nu) =
| |
| − | {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
| |
| − | *Die $N$ '''Frequenzbereichskoeffizienten''' seien mit der Laufvariablen $\mu = 0,$ ... , $N$ – 1:
| |
| − | :$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot
| |
| − | {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big|}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
| |
| − | *Abkürzend wird für den von $N$ abhängigen '''komplexen Drehfaktor''' geschrieben:
| |
| − | :$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
| |
| − | = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right)
| |
| − | \hspace{0.05cm}.$$
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| − |
| |
| − | [[File:P_ID2730__Sig_T_5_1_S5_neu.png|right|frame|Zur Definition der Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit $N=8$]]
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| − | {{BlaueBox|TEXT=
| |
| − | $\text{Definition:}$
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| − |
| |
| − | Unter dem Begriff '''Diskrete Fouriertransformation''' (kurz '''DFT''') versteht man die Berechnung der $N$ Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ aus den $N$ Signalkoeffizienten $d(\nu)$:
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| − |
| |
| − | :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
| |
| − | d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}. $$
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| − |
| |
| − | In der Grafik erkennt man an einem Beispiel
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| − | *die $N = 8$ Signalkoeffizienten $d(\nu)$ an der blauen Füllung,
| |
| − | *die $N = 8$ Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ an der grünen Füllung.}}
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| − |
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| − |
| |
| − | ===Inverse Diskrete Fouriertransformation===
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| − |
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| − | Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) beschreibt das „zweite Fourierintegral”
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| − |
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| − | :$$\begin{align*}x(t) & = \int_{-\infty
| |
| − | }^{+\infty}X(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
| |
| − | t}\hspace{0.1cm} {\rm d}f\end{align*}$$
| |
| − |
| |
| − | in diskretisierter Form: $d(\nu) =
| |
| − | {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big|}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
| |
| − | A}}\hspace{0.01cm}.$
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| − |
| |
| − | [[File:P_ID2731__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Zur Definition der IDFT mit $N=8$]]
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| − | {{BlaueBox|TEXT=
| |
| − | $\text{Definition:}$
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| − |
| |
| − | Unter dem Begriff '''Inverse Diskrete Fouriertransformation''' (kurz '''IDFT''') versteht man die Berechnung der Signalkoeffizienten $d(\nu)$ aus den Spektralkoeffizienten $D(\mu)$:
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| − |
| |
| − | :$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1}
| |
| − | D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
| |
| − |
| |
| − | Mit den Laufvariablen $\nu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$ und $\mu = 0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, N-1$ gilt auch hier:
| |
| − | :$$d(\nu) =
| |
| − | {\rm P}\left\{x(t)\right\}{\big \vert}_{t \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm
| |
| − | A} }\hspace{0.01cm},$$
| |
| − |
| |
| − | :$$D(\mu) = f_{\rm A} \cdot
| |
| − | {\rm P}\left\{X(f)\right\}{\big \vert}_{f \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}\mu \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm A} }
| |
| − | \hspace{0.01cm},$$
| |
| − |
| |
| − | :$$w = {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N}
| |
| − | \hspace{0.01cm}.$$}}
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| − |
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| − |
| |
| − | Ein Vergleich zwischen DFT und IDFT zeigt, dass genau der gleiche Algorithmus verwendet werden kann. Die einzigen Unterschiede der IDFT gegenüber der DFT sind:
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| − | *Der Exponent des Drehfaktors ist mit unterschiedlichem Vorzeichen anzusetzen.
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| − | *Bei der IDFT entfällt die Division durch $N$.
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| − |
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| − |
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| − | ===Interpretation von DFT und IDFT===
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| − | <br>
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| − | Die Grafik zeigt die diskreten Koeffizienten im Zeit– und Frequenzbereich zusammen mit den periodifizierten zeitkontinuierlichen Funktionen.
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| − |
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| − | [[File:P_ID1136__Sig_T_5_1_S7_neu.png|center|frame|Zeit– und Frequenzbereichskoeffizienten der DFT]]
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| − |
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| − | Bei Anwendung von DFT bzw. IDFT ist zu beachten:
| |
| − | *Nach obigen Definitionen besitzen die DFT–Koeffizienten $d(ν)$ und $D(\mu)$ stets die Einheit der Zeitfunktion.
| |
| − | *Dividiert man $D(\mu)$ durch $f_{\rm A}$, so erhält man den Spektralwert $X(\mu \cdot f_{\rm A})$.
| |
| − | *Die Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ müssen stets komplex angesetzt werden, um auch ungerade Zeitfunktionen berücksichtigen zu können.
| |
| − | *Um auch Bandpass–Signale im äquivalenten Tiefpass–Bereich transformieren zu können, verwendet man meist auch komplexe Zeitkoeffizienten $d(\nu)$.
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| − | *Als Grundintervall für $\nu$ und $\mu$ definiert man meist – wie in obiger Grafik – den Bereich von $0$ bis $N - 1$.
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| − | *Mit den komplexwertigen Zahlenfolgen $\langle \hspace{0.1cm}d(\nu)\hspace{0.1cm}\rangle = \langle \hspace{0.1cm}d(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , d(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$ sowie $\langle \hspace{0.1cm}D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle = \langle \hspace{0.1cm}D(0), \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , D(N-1) \hspace{0.1cm}\rangle$ werden DFT und IDFT ähnlich wie die herkömmliche Fouriertransformation symbolisiert:
| |
| − | :$$\langle \hspace{0.1cm} D(\mu)\hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-(N)\!-\!\!\!-\!\!\hspace{0.05cm}\circ\, \hspace{0.2cm} \langle \hspace{0.1cm} d(\nu) \hspace{0.1cm}\rangle \hspace{0.05cm}.$$
| |
| − | *Ist die Zeitfunktion $x(t)$ bereits auf den Bereich $0 \le t \lt N \cdot T_{\rm A}$ begrenzt, dann geben die von der IDFT ausgegebenen Zeitkoeffizienten direkt die Abtastwerte der Zeitfunktion an: $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A}).$
| |
| − | *Ist $x(t)$ gegenüber dem Grundintervall verschoben, so muss man die im $\text{Beispiel 3}$ gezeigte Zuordnung zwischen $x(t)$ und den Koeffizienten $d(\nu)$ wählen.
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| − |
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| − |
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| − | {{GraueBox|TEXT=
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| − | $\text{Beispiel 3:}$
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| − | Die obere Grafik zeigt den unsymmetrischen Dreieckimpuls $x(t)$, dessen absolute Breite kleiner ist als $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
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| − | [[File:P_ID1139__Sig_T_5_1_S7b_neu.png|right|frame|Zur Belegung der DFT-Koeffizienten mit $N=8$]]
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| − |
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| − | Die untere Skizze zeigt die zugeordneten DFT–Koeffizienten gültig für $N = 8$
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| − |
| |
| − | *Für $\nu = 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , N/2 = 4$ gilt $d(\nu) = x(\nu \cdot T_{\rm A})$:
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| − | :$$d(0) = x (0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
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| − | d(1) = x (T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
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| − | d(2) = x (2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, $$
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| − | :$$d(3) = x (3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}
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| − | d(4) = x (4T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$
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| − | *Dagegen sind die Koeffizienten $d(5)$, $d(6)$ und d$(7)$ wie folgt zu setzen:
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| − | :$$d(\nu) = x \big ((\nu\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} N ) \cdot T_{\rm A}\big ) $$
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| − | :$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}d(5) = x (-3T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm}
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| − | d(6) = x (-2T_{\rm A})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.35cm}
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| − | d(7) = x (-T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$ }}
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| | *Lösung nach Drücken von „Musterlösung”. | | *Lösung nach Drücken von „Musterlösung”. |
| | + | *$M=2$ steht für „Binärcode” und $M=4$ für „Quaternärärcode”. |
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| − | '''(1)''' Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (b): Gleichsignal}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen $\text{FT}$ ?}} | + | '''(1)''' Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für $M=2 \text{, Gauß, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.4$. Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”. }} |
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| − | ::* Im Zeitbereich sind alle $d(\nu) =1$. Im Frequenzbereich sind alle $D(\mu) =0$ mit Ausnahme von ${\rm Re}\big [D(0)] =1$. | + | ::* Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal $d(t)$ in Stücke der Dauer $2T$ unterteilt und diese Teile übereinanderzeichnet. |
| − | ::* Dies entspricht bei der herkömmlichen (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformation: $x(t) = A\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = A \cdot \delta(f=0)$ mit $A=1$. | + | ::* In $d(t)$ müssen alle „Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein ⇒ mindestens $2^5 = 32$ Teilstücke ⇒ maximal $32$ unterscheidbare Linien. |
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| | ::* Nun sind alle $D(\mu) =0$ mit Ausnahme von ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Das Zeitbereichsergebnis ist eine komplexe Exponentialfunktion. | | ::* Nun sind alle $D(\mu) =0$ mit Ausnahme von ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Das Zeitbereichsergebnis ist eine komplexe Exponentialfunktion. |
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Programmbeschreibung
Das Applet verdeutlicht
Das Applet verwendet das Framework Plot.ly Stimmt das?
Theoretischer Hintergrund
Argumente für die diskrete Realisierung der Fouriertransformation
Versuchsdurchführung
- Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
- Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
- Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
- $M=2$ steht für „Binärcode” und $M=4$ für „Quaternärärcode”.
- „Gauß” steht für bdquo;nach Gauß‐Empfangsfilter”.
- „Rechteck” steht für „Empfangsfilter mit rechteckförmiger Impulsantwort”.
Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:
- Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
- Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
(1) Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für $M=2 \text{, Gauß, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.4$. Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.
- Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal $d(t)$ in Stücke der Dauer $2T$ unterteilt und diese Teile übereinanderzeichnet.
- In $d(t)$ müssen alle „Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein ⇒ mindestens $2^5 = 32$ Teilstücke ⇒ maximal $32$ unterscheidbare Linien.
- Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (halbe) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.
(2) Gleiche Einstellung wie in (1). Zusätzlich gilt $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen $ö_{\rm norm}$, $\sigma_{\rm norm}$ und $p_{\rm U}$.
- Nun sind alle $D(\mu) =0$ mit Ausnahme von ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Das Zeitbereichsergebnis ist eine komplexe Exponentialfunktion.
- Der Realteil des $d(\nu)$–Feldes zeigt einen Cosinus und der Imaginärteil eine Sinusfunktion. Bei beiden Funktionen erkennt man jeweils eine Periode.
(3) Ergänzen Sie das aktuelle $D(\mu)$–Feld um den Koeffizienten ${\rm Im}\big [D(1)] =1$. Welche Unterschiede erkennt man gegenüber (2) im Zeitbereich?
- Zum einen erkennt man nun bei Realteil und Imaginärteil eine Phasenverschiebung um zwei Stützwerte. Dies entspricht der Phase $\varphi = 45^\circ$.
- Zudem wurden die Amplituden von Real– und Imaginärteil jeweils um den Faktor $\sqrt{2}$ vergrößert.
(4) Setzen Sie das $D(\mu)$–Feld auf Null mit Ausnahme von ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Durch welchen zusätzlichen $D(\mu)$–Koeffizienten erhält man ein reelles $d(\nu)$–Feld?
- Durch Probieren oder Nachdenken erkennt man, dass auch ${\rm Re}\big [D(15)] =1$ gesetzt werden muss. Dann beschreibt das $d(\nu)$–Feld einen Cosinus.
- Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt: $x(t) = 2 \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = \delta(f -f_0)+\delta(f +f_0)$.
- Das Feld $D(1)$ steht für die Frequenz $+f_0$ und aufgrund der Periodizät mit $N=16$ wird die Frequenz $-f_0$ durch $D(15) = D(-1)$ ausgedrückt.
(5) Mit welchem $D(\mu)$–Feld erhält man nach der $\rm IDFT$ im $d(\nu)$–Feld eine reelle Cosinusfunktion mit der Amplitude $A=1$?
- Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenso wie die herkömmliche Fouriertransformation linear ⇒ $D(1) = D(15)=0.5$.
(6) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (e): Cosinussignal}$ und anschließende Signalverschiebungen. Was bewirken diese Verschiebungen im Frequenzbereich?
- Eine Verschiebung im Zeitbereich verändert das Cosinussignal zu einer „Harmonischen Schwingung” mit beliebiger Phase.
- Das $D(\mu)$–Feld ist weiterhin Null bis auf $D(1)$ und $D(15)$. Die Beträge $|D(1)|$ und $|D(15)|$ bleiben ebenfalls gleich.
- Die alleinige Veränderung betrifft die Phase, also die unterschiedliche Aufteilung der Beträge auf Real– und Imaginärteil.
(7) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (f): Sinussignal}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen $\text{FT}$ ?
- Das Sinussignal ergibt sich aus dem Cosinussignal durch vier Zeitverschiebungen. Deshalb gelten alle Aussagen von (6) weiterhin.
- Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt: $x(t) = \sin(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = {\rm j}/2 \cdot \big [\delta(f +f_0)-\delta(f -f_0)\big ]$.
- Der Koeffizient $D(1)$ ⇒ $($Frequenz: $+f_0)$ ist imaginär und hat den Imaginärteil $-0.5$. Entsprechend gilt ${\rm Im}\big [D(15)] =+0.5$ ⇒ $($Frequenz: $-f_0)$.
(8) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Aufgabe (5).
- Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation: $x(t) = \cos(2\pi \cdot (2f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -2 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +2f_0)$.
- Für die Frequenz $2f_0$ steht das Feld $D(2)$ und für die Frequenz $-2f_0$ aufgrund der Periodizät das Feld $D(14) = D(-2)$ : $D(2) = D(14) = 0.5$.
(9) Untersuchen Sie nun den Fall $\text{DFT von Sinussignal (zwei Perioden)}$. Welche Einstellung müssen Sie vornehmen? Interpretieren Sie das Ergebnis.
- Zum gewünschten Signal kommt man von $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$ mit zwei Verschiebungen. Bei (7): Vier Verschiebungen.
- Das DFT–Ergebnis lautet dementsprechend: ${\rm Im}\big [D(2)] =-0.5$ und ${\rm Im}\big [D(14)] =+0.5$.
(10) Neue Einstellung: $\text{DFT von (h) Alternierende Zeitkoeffizienten}$. Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis.
- Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation: $x(t) = \cos(2\pi \cdot (8f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -8 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +8f_0)$.
- $8f_0$ ist die höchste mit $N=16$ in der DFT darstellbare Frequenz. Pro Periodendauer gibt es nur zwei Abtastwerte, nämlich $+1$ und $-1$.
- Unterschied zur Teilaufgabe (5): Aus $D(1) =0.5$ wird nun $D(8) =0.5$. Ebenso verschiebt sich $D(15) =0.5$ auf $D(8) =0.5$. Endergebnis: $D(8) =1$.
(11) Welche Unterschiede erhält man mit den beiden Einstellungen $\text{DFT von Signal (i): Diracimpuls}$ sowie $\text{IDFT von Spektrum (I): Diracspektrum}$ ?
- Keine! Im ersten Fall sind alle Koeffizienten $D(\mu) = 1$ (reell); im zweiten Fall dagegen in äquivalenter Weise die Koeffizienten $d(\nu) = 1$ (reell).
(12) Gibt es Unterschiede, wenn man im jeweiligen Eingabefeld die reelle $1$ um jeweils eine Stelle nach unten verschiebt, also $d(\nu=1) = 1$ bzw. $D(\mu=1) = 1$?
- Im ersten Fall ⇒ ${\rm Re}\big [d(\nu=1)] = 1$ ergibt sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $X(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$ mit negativem Vorzeichen.
- Im zweiten Fall ⇒ ${\rm Re}\big [D(\mu=1)] = 1$ ergibt sich im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $x(t) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$ mit positivem Vorzeichen.
- Hinweis: Mit ${\rm Re}\big [D(\mu=15)] = 1$ ergäbe sich auch im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $x(t) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$ mit negativem Vorzeichen.
(13) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (k): Dreieckimpuls}$. Interpretieren Sie die $d(\nu)$–Belegungunter der Annahme $T_{\rm A} = 1 \ \rm ms$.
- Wählen Sie die Betragsdarstellung. $x(t)$ ist symmetrisch um $t=0$ und erstreckt sich von $-8 \cdot T_{\rm A} = -8 \ \rm ms$ bis $+8 \cdot T_{\rm A} = +8 \ \rm ms$.
- $d(\nu)$–Belegung: $d(0)=x(0)= 1$, $d(1)=x(T_{\rm A})= 0.875$, ... , $d(8)=x(8T_{\rm A})= 0$, $d(9)=x(-7T_{\rm A})= 0.125$, ..., $d(15)=x(-T_{\rm A})= 0.875$.
(14) Gleiche Einstellung wie bei (13). Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis, insbesondere die Koeffizienten $D(0)$, $D(1)$, $D(2)$ und $D(15)$.
- Im Frequenzbereich steht $D(0)$ für die Frequenz $f= 0$ und $D(1)$ und $D(15)$ für die Frequenzen $\pm f_{\rm A}$. Es gilt $f_{\rm A} = 1/(N \cdot T_{\rm A}) = 62.5\text{ Hz}$.
- Für den Wert des kontinuierlichen Spektrums bei $f=0$ gilt $X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 0.5/(0.0625\text{ kHz}) = 8\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
- Die erste Nullstelle des ${\rm si}^2$–förmigen Spektrums $X(f)$ tritt bei $2 \cdot f_{\rm A}= 125\text{ Hz}$ auf. Die weiteren Nullstellen sind äquidistant.
(15) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (i): Rechteckimpuls}$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse.
- Das eingestellte (symmetrische) Rechteck erstreckt sich über $\pm 4 \cdot T_{\rm A}$. An den Rändern sind die Zeitkoeffizienten nur halb so groß: $d(4) = d(12) =0.5$.
- Die weiteren Aussagen von (14) gelten auch für dieses ${\rm si}$–förmige Spektrum $X(f)$.
(16) Gleiche Einstellung wie bei (15). Welche Modifikationen sind am $d(\nu)$–Feld vorzunehmen, um die Rechteckdauer zu halbieren ⇒ $\pm 2 \cdot T_{\rm A}$.
- $d(0) = d(1) = d(15) =1, \ d(2) = d(14) = 0.5$. Alle anderen Zeitkoeffizienten Null ⇒ erste Nullstelle des ${\rm si}$–Spektrums bei $4 \cdot f_{\rm A}= 250\text{ Hz}$.
(17) Neue Einstellung: $\text{IDFT von Spektrum (L): Gaußspektrum}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Zeitbereich.
- Die Zeitfunktion $x(t)$ ist hier ebenfalls gaußförmig mit dem Maximum $x(t=0)=4$. Für das Spektrum gilt $X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 16\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
- Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t= X(f= 0)/x(t= 0) = 4\text{ ms}$. Der Kehrwert ergibt die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/\Delta t= 250\text{ Hz}$.
Zur Handhabung des Applets
(A) Zeitbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)
(B) (A)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag
(C) Frequenzbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)
(D) (C)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag
(E) Auswahl: DFT $(t \to f)$ oder IDFT $(f \to t)$
(F) Vorgegebene $d(\nu)$–Belegungen (falls DFT), oder
Vorgegebene $D(\mu)$–Belegungen (falls IDFT)
(G) Eingabefeld auf Null setzen
(H) Eingabefeld zyklisch nach unten (bzw. oben) verschieben
( I ) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauwahl
(J) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung
(K) Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden
- Vorgegebene $d(\nu)$–Belegungen (für DFT):
- (a) entsprechend Zahlenfeld, (b) Gleichsignal, (c) Komplexe Exponentialfunktion der Zeit, (d) Harmonische Schwingung $($Phase $\varphi = 45^\circ)$,
- (e) Cosinussignal (eine Periode), (f) Sinussignal (eine Periode), (g) Cosinussignal (zwei Perioden), (h) Alternierende Zeitkoeffizienten,
- (i) Diracimpuls, (j) Rechteckimpuls, (k) Dreieckimpuls, (l) Gaußimpuls.
- Vorgegebene $D(\mu)$–Belegungen (für IDFT):
- (A) entsprechend Zahlenfeld, (B) Konstantes Spektrum, (C) Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz, (D) äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,
- (E) Cosinussignal (eine Frequenzperiode), (F) Sinussignal (eine Frequenzperiode), (G) Cosinussignal (zwei Frequenzperioden), (H) Alternierende Spektralkoeffizienten,
- (I) Diracspektrum, (J) Rechteckspektrum, (K) Dreieckspektrum, (L) Gaußspektrum.
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2003 von Thomas Großer im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).
Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch Studienzuschüsse der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.
Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster
Open Applet in a new tab
