Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.3Z: High- and Low-Pass Filters in p-Form"
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− | '''(2)''' Wir betrachten den Vierpol $(1)$. Der Spannungsteiler liefert das Ergebnis | + | |
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+ | *Der Spannungsteiler liefert das Ergebnis | ||
:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} | :$$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} | ||
{R + pL}= \frac { p } | {R + pL}= \frac { p } | ||
{p +{R}/{L}} | {p +{R}/{L}} | ||
\hspace{0.05cm} .$$ | \hspace{0.05cm} .$$ | ||
− | Es handelt sich um einen $\rm Hochpass$ mit dem Kennparameter $\underline {K = 1}$ und der Nullstelle bei | + | *Es handelt sich um einen $\rm Hochpass$ mit dem Kennparameter $\underline {K = 1}$ und der Nullstelle bei |
:$$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega | :$$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega | ||
s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.1} \cdot10^{-6 }\,{1}/{\rm s} | s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.1} \cdot10^{-6 }\,{1}/{\rm s} | ||
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|H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } | |H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } | ||
{(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$ | {(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$ | ||
− | Aus der Bedingung $|H(f_{\rm G})|^2 = 0.5 $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung: | + | *Aus der Bedingung $|H(f_{\rm G})|^2 = 0.5 $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung: |
:$$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} | :$$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} | ||
f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$ | f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$ | ||
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'''(4)''' Richtig ist die <u>erste Aussage</u>: | '''(4)''' Richtig ist die <u>erste Aussage</u>: | ||
*Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität $C$ ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt $C$ wie ein Kurzschluss. | *Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität $C$ ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt $C$ wie ein Kurzschluss. | ||
− | *Daraus folgt: Der Vierpol $(3)$ beschreibt ebenfalls einen Hochpass. Dagegen zeigen die Schaltungen $(2)$ und $(4)$ Tiefpassverhalten. | + | *Daraus folgt: Der Vierpol $(3)$ beschreibt ebenfalls einen Hochpass. Dagegen zeigen die Schaltungen $(2)$ und $(4)$ Tiefpassverhalten. |
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− | '''(5)''' Die $p$–Übertragungsfunktion von Vierpol $(3)$ lautet: | + | '''(5)''' Die $p$–Übertragungsfunktion von Vierpol $(3)$ lautet: |
:$$H_{\rm L}(p)= \frac { R } | :$$H_{\rm L}(p)= \frac { R } | ||
{{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } | {{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } |
Revision as of 17:52, 31 October 2019
Die Grafik zeigt vier einfache Filterkonfigurationen mit Tiefpass– bzw. Hochpasscharakteristik, die sich aus diskreten Bauelementen zusammensetzen.
Für die Bauelemente der Schaltungen $(1)$ und $(2)$ gelte:
- $$R = 100\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Vierpol–Schaltungen $(1)$, ... , $(4)$ sollen durch ihre $p$–Übertragungsfunktionen $H_{\rm L}(p)$ charakterisiert werden.
- Daraus ergibt sich (bei dieser Aufgabe, nicht allgemein) der Frequenzgang entsprechend der Gleichung
- $$H(f) = H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Beide Aussagen treffen zu:
- Für die beiden Vierpole gelten folgende Grenzwerte:
- $$\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} H_{\rm TP}(p)\hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{K}{p + p_{\rm x}} \hspace{0.15cm} { =K /{p_{\rm x}}}, \hspace{1.2cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm TP}(p)= 0\hspace{0.05cm},$$
- $$ \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}H_{\rm HP}(p) \hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}0, \hspace{1.4cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm HP}(p)= \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}\frac{K\cdot p}{p + p_{\rm x}} = K \hspace{0.05cm}.$$
- Man erkennt, dass $H_{\rm TP}(p)$ für sehr hohe Frequenzen Null ergibt und $H_{\rm HP}(p)$ für sehr niedrige Frequenzen.
(2) Wir betrachten den Vierpol $(1)$.
- Der Spannungsteiler liefert das Ergebnis
- $$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} {R + pL}= \frac { p } {p +{R}/{L}} \hspace{0.05cm} .$$
- Es handelt sich um einen $\rm Hochpass$ mit dem Kennparameter $\underline {K = 1}$ und der Nullstelle bei
- $$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.1} \cdot10^{-6 }\,{1}/{\rm s} \hspace{0.05cm} .$$
(3) Zur Übertragungsfunktion kommt man mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$:
- $$H(f)= \frac { {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f } {{\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f +p_{\rm o}}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} |H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } {(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$
- Aus der Bedingung $|H(f_{\rm G})|^2 = 0.5 $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
- $$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$
(4) Richtig ist die erste Aussage:
- Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität $C$ ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt $C$ wie ein Kurzschluss.
- Daraus folgt: Der Vierpol $(3)$ beschreibt ebenfalls einen Hochpass. Dagegen zeigen die Schaltungen $(2)$ und $(4)$ Tiefpassverhalten.
(5) Die $p$–Übertragungsfunktion von Vierpol $(3)$ lautet:
- $$H_{\rm L}(p)= \frac { R } {{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } {p +{1}/{(RC)}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm x}= -{1}/(RC)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C = -\frac{1}{p_{\rm x} \cdot R}= \frac{-1}{-10^{-7 }\, 1/s \cdot 100\,{\rm \Omega}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,{\rm nF}} \hspace{0.05cm} .$$