Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.4: Two-dimensional Gaussian PDF"
Line 81: | Line 81: | ||
:$$f_{uv}(u,v) = \frac{\rm 1}{{\rm 2}\it\pi \cdot \sigma_u \cdot \sigma_v \cdot \sqrt{{\rm 1}-\it \rho_{\it uv}^{\rm 2}}} \cdot \rm exp\left[\frac{\rm 1}{2\cdot (\rm 1-\it \rho_{uv}^{\rm 2}{\rm )}}(\frac{\it u^{\rm 2}}{\it\sigma_u^{\rm 2}} + \frac{\it v^{\rm 2}}{\it\sigma_v^{\rm 2}} - \rm 2\it\rho_{uv}\frac{\it u\cdot \it v}{\sigma_u\cdot \sigma_v}\rm )\right],$$ | :$$f_{uv}(u,v) = \frac{\rm 1}{{\rm 2}\it\pi \cdot \sigma_u \cdot \sigma_v \cdot \sqrt{{\rm 1}-\it \rho_{\it uv}^{\rm 2}}} \cdot \rm exp\left[\frac{\rm 1}{2\cdot (\rm 1-\it \rho_{uv}^{\rm 2}{\rm )}}(\frac{\it u^{\rm 2}}{\it\sigma_u^{\rm 2}} + \frac{\it v^{\rm 2}}{\it\sigma_v^{\rm 2}} - \rm 2\it\rho_{uv}\frac{\it u\cdot \it v}{\sigma_u\cdot \sigma_v}\rm )\right],$$ | ||
− | :so erkennt man, dass im Exponenten kein Term mit $u \cdot v$ auftritt, was nur bei $\rho_{uv} = 0$ möglich ist. | + | :so erkennt man, dass im Exponenten kein Term mit $u \cdot v$ auftritt, was nur bei $\rho_{uv} = 0$ möglich ist. |
− | *Dies bedeutet aber, dass $u$ und $v$ unkorreliert sind. | + | *Dies bedeutet aber, dass $u$ und $v$ unkorreliert sind. |
*Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aus der Unkorreliertheit aber auch stets die statistische Unabhängigkeit. | *Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aus der Unkorreliertheit aber auch stets die statistische Unabhängigkeit. | ||
Line 89: | Line 89: | ||
'''(2)''' Bei statistischer Unabhängigkeit gilt: | '''(2)''' Bei statistischer Unabhängigkeit gilt: | ||
:$$f_{uv}(u, v) = f_u(u)\cdot f_v(v), \hspace{0.5cm} | :$$f_{uv}(u, v) = f_u(u)\cdot f_v(v), \hspace{0.5cm} | ||
− | f_u(u)=\frac{{\rm e}^{-{\it u^{\rm 2}}/{(2\sigma_u^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_u} , \hspace{0.5cm} \it f_v(v)=\frac{{\rm e}^{-{\it v^{\rm 2}}/{({\rm 2}\sigma_v^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_v}.$$ | + | f_u(u)=\frac{{\rm e}^{-{\it u^{\rm 2}}/{(2\sigma_u^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_u} , \hspace{0.5cm} \it f_v{\rm (}v{\rm )}=\frac{{\rm e}^{-{\it v^{\rm 2}}/{{\rm (}{\rm 2}\sigma_v^{\rm 2}{\rm )}}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_v}.$$ |
− | Durch Koeffizientenvergleich erhält man $\sigma_u = 0.5$ und $\sigma_v = 1$. Der Quotient ist somit $\sigma_u/\sigma_v\hspace{0.15cm}\underline{=0.5}$. | + | *Durch Koeffizientenvergleich erhält man $\sigma_u = 0.5$ und $\sigma_v = 1$. |
+ | *Der Quotient ist somit $\sigma_u/\sigma_v\hspace{0.15cm}\underline{=0.5}$. | ||
− | [[File:P_ID265__Sto_A_4_4_d.png|right|frame|Wahrscheinlichkeit: $\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big]$]] | + | |
− | '''(3)''' Da $u$ eine kontinuierliche Zufallsgröße ist, gilt: | + | [[File:P_ID265__Sto_A_4_4_d.png|right|frame|Wahrscheinlichkeit: $\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big]$]] |
+ | '''(3)''' Da $u$ eine kontinuierliche Zufallsgröße ist, gilt: | ||
:$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm Pr(\it u \le \rm 1) =\it F_u\rm (1). $$ | :$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm Pr(\it u \le \rm 1) =\it F_u\rm (1). $$ | ||
− | Mit dem Mittelwert $m_u = 0$ und der Streuung $\sigma_u = 0.5$ erhält man: | + | *Mit dem Mittelwert $m_u = 0$ und der Streuung $\sigma_u = 0.5$ erhält man: |
:$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm \phi({\rm 1}/{\it\sigma_u})= \rm \phi(\rm 2) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.9772}. $$ | :$$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm \phi({\rm 1}/{\it\sigma_u})= \rm \phi(\rm 2) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.9772}. $$ | ||
− | '''(4)''' Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit zwischen $u$ und $v$ gilt: | + | |
+ | '''(4)''' Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit zwischen $u$ und $v$ gilt: | ||
:$$\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm Pr(\it u < \rm 1)\cdot \rm Pr(\it v > \rm 1).$$ | :$$\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm Pr(\it u < \rm 1)\cdot \rm Pr(\it v > \rm 1).$$ | ||
− | *Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(u < 1) =0.9772$ wurde bereits berechnet. | + | *Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(u < 1) =0.9772$ wurde bereits berechnet. |
− | *Für die zweite Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(v > 1)$ gilt aus Symmetriegründen: | + | *Für die zweite Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(v > 1)$ gilt aus Symmetriegründen: |
:$$\rm Pr(\it v > \rm 1) = \rm Pr(\it v \le \rm (-1) = \it F_v\rm (-1) = \rm \phi(\frac{\rm -1}{\it\sigma_v}) = \rm Q(1) =0.1587$$ | :$$\rm Pr(\it v > \rm 1) = \rm Pr(\it v \le \rm (-1) = \it F_v\rm (-1) = \rm \phi(\frac{\rm -1}{\it\sigma_v}) = \rm Q(1) =0.1587$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm 0.9772\cdot \rm 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.1551}.$$ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm 0.9772\cdot \rm 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.1551}.$$ | ||
Die Skizze verdeutlicht die vorgegebene Konstellation: | Die Skizze verdeutlicht die vorgegebene Konstellation: | ||
− | *Die Höhenlinien der WDF (blau) sind wegen $\sigma_v > \sigma_u$ in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen. | + | *Die Höhenlinien der WDF (blau) sind wegen $\sigma_v > \sigma_u$ in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen. |
*Rot schraffiert eingezeichnet ist das Gebiet, dessen Wahrscheinlichkeit in dieser Teilaufgabe berechnet werden sollte. | *Rot schraffiert eingezeichnet ist das Gebiet, dessen Wahrscheinlichkeit in dieser Teilaufgabe berechnet werden sollte. | ||
+ | |||
[[File:P_ID266__Sto_A_4_4_e.png|right|frame|2D-Diracwand auf der Korrelationsgeraden]] | [[File:P_ID266__Sto_A_4_4_e.png|right|frame|2D-Diracwand auf der Korrelationsgeraden]] | ||
'''(5)''' Richtig sind <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>: | '''(5)''' Richtig sind <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>: | ||
− | *Wegen $\rho_{xy} = 1$ besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ | + | *Wegen $\rho_{xy} = 1$ besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ |
− | :⇒ Alle Werte liegen auf der Geraden $y =K(x) \cdot x$. | + | :⇒ Alle Werte liegen auf der Geraden $y =K(x) \cdot x$. |
− | *Aufgrund der Streuungen $\sigma_x = 0.5$ und $\sigma_y = 1$ gilt $K = 2$. | + | *Aufgrund der Streuungen $\sigma_x = 0.5$ und $\sigma_y = 1$ gilt $K = 2$. |
− | *Auf dieser Geraden $y = 2x$ sind alle WDF-Werte unendlich groß. | + | *Auf dieser Geraden $y = 2x$ sind alle WDF-Werte unendlich groß. |
*Das bedeutet: Die 2D-WDF ist hier eine „Diracwand”. | *Das bedeutet: Die 2D-WDF ist hier eine „Diracwand”. | ||
− | *Wie aus der Skizze hervorgeht, sind die WDF–Werte auf der Geraden $y = 2x$ gaußverteilt. | + | *Wie aus der Skizze hervorgeht, sind die WDF–Werte auf der Geraden $y = 2x$ gaußverteilt. |
− | *Die Gerade $y = 2x$ stellt gleichzeitig die Korrelationsgerade dar. | + | *Die Gerade $y = 2x$ stellt gleichzeitig die Korrelationsgerade dar. |
− | *Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gaußfunktionen, jeweils mit Mittelwert | + | *Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gaußfunktionen, jeweils mit Mittelwert Null. |
− | *Wegen $\sigma_x = \sigma_u$ und $\sigma_y = \sigma_v$ gilt auch: | + | *Wegen $\sigma_x = \sigma_u$ und $\sigma_y = \sigma_v$ gilt auch: |
:$$f_x(x) = f_u(u), \hspace{0.5cm}f_y(y) = f_v(v).$$ | :$$f_x(x) = f_u(u), \hspace{0.5cm}f_y(y) = f_v(v).$$ | ||
[[File:P_ID274__Sto_A_4_4_g.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsberechnung für die Diracwand]] | [[File:P_ID274__Sto_A_4_4_g.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsberechnung für die Diracwand]] | ||
− | '''(6)''' Da die WDF der Zufallsgröße $x$ identisch mit der WDF $f_u(u)$ ist, ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnet: | + | '''(6)''' Da die WDF der Zufallsgröße $x$ identisch mit der WDF $f_u(u)$ ist, ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnet: |
:$$\rm Pr(\it x < \rm 1) \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.9772}.$$ | :$$\rm Pr(\it x < \rm 1) \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.9772}.$$ | ||
− | '''(7)''' Das Zufallsereignis $y > 1$ ist identisch mit dem Ereignis $x > 0.5$. Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich | + | |
+ | '''(7)''' Das Zufallsereignis $y > 1$ ist identisch mit dem Ereignis $x > 0.5$. | ||
+ | *Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich | ||
:$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5). $$ | :$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5). $$ | ||
− | Mit der Streuung $\sigma_x = 0.5$ folgt weiter: | + | *Mit der Streuung $\sigma_x = 0.5$ folgt weiter: |
:$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$ | :$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$ | ||
Revision as of 16:37, 26 November 2019
Wir betrachten zweidimensionale Zufallsgrößen, wobei beide Komponenten stets als mittelwertfrei vorausgesetzt werden.
- Die 2D-WDF der Zufallsgröße $(u, v)$ lautet:
- $$f_{uv}(u, v)={1}/{\pi} \cdot {\rm e}^{-(2u^{\rm 2} \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}v^{\rm 2}\hspace{-0.05cm}/\rm 2)}.$$
- Von der ebenfalls Gaußschen 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ sind die folgenden Parameter bekannt:
- $$\sigma_x= 0.5, \hspace{0.5cm}\sigma_y = 1,\hspace{0.5cm}\rho_{xy} = 1. $$
Die Werte des Gaußschen Fehlerintegrals ${\rm \phi}(x)$ sowie der Komplementärfunktion ${\rm Q}(x) = 1- {\rm \phi}(x)$ können Sie der nebenstehenden Tabelle entnehmen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen
- Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo Gaußsche 2D-Zufallsgrößen:
- Teil 1: Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
- Teil 2: Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.
Fragebogen
Musterlösung
- Vergleicht man die gegebene 2D-WDF mit der allgemeingültigen 2D-WDF
- $$f_{uv}(u,v) = \frac{\rm 1}{{\rm 2}\it\pi \cdot \sigma_u \cdot \sigma_v \cdot \sqrt{{\rm 1}-\it \rho_{\it uv}^{\rm 2}}} \cdot \rm exp\left[\frac{\rm 1}{2\cdot (\rm 1-\it \rho_{uv}^{\rm 2}{\rm )}}(\frac{\it u^{\rm 2}}{\it\sigma_u^{\rm 2}} + \frac{\it v^{\rm 2}}{\it\sigma_v^{\rm 2}} - \rm 2\it\rho_{uv}\frac{\it u\cdot \it v}{\sigma_u\cdot \sigma_v}\rm )\right],$$
- so erkennt man, dass im Exponenten kein Term mit $u \cdot v$ auftritt, was nur bei $\rho_{uv} = 0$ möglich ist.
- Dies bedeutet aber, dass $u$ und $v$ unkorreliert sind.
- Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aus der Unkorreliertheit aber auch stets die statistische Unabhängigkeit.
(2) Bei statistischer Unabhängigkeit gilt:
- $$f_{uv}(u, v) = f_u(u)\cdot f_v(v), \hspace{0.5cm} f_u(u)=\frac{{\rm e}^{-{\it u^{\rm 2}}/{(2\sigma_u^{\rm 2})}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_u} , \hspace{0.5cm} \it f_v{\rm (}v{\rm )}=\frac{{\rm e}^{-{\it v^{\rm 2}}/{{\rm (}{\rm 2}\sigma_v^{\rm 2}{\rm )}}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot\sigma_v}.$$
- Durch Koeffizientenvergleich erhält man $\sigma_u = 0.5$ und $\sigma_v = 1$.
- Der Quotient ist somit $\sigma_u/\sigma_v\hspace{0.15cm}\underline{=0.5}$.
(3) Da $u$ eine kontinuierliche Zufallsgröße ist, gilt:
- $$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm Pr(\it u \le \rm 1) =\it F_u\rm (1). $$
- Mit dem Mittelwert $m_u = 0$ und der Streuung $\sigma_u = 0.5$ erhält man:
- $$\rm Pr(\it u < \rm 1) = \rm \phi({\rm 1}/{\it\sigma_u})= \rm \phi(\rm 2) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.9772}. $$
(4) Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit zwischen $u$ und $v$ gilt:
- $$\rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm Pr(\it u < \rm 1)\cdot \rm Pr(\it v > \rm 1).$$
- Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(u < 1) =0.9772$ wurde bereits berechnet.
- Für die zweite Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(v > 1)$ gilt aus Symmetriegründen:
- $$\rm Pr(\it v > \rm 1) = \rm Pr(\it v \le \rm (-1) = \it F_v\rm (-1) = \rm \phi(\frac{\rm -1}{\it\sigma_v}) = \rm Q(1) =0.1587$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rm Pr\big[(\it u < \rm 1) \cap (\it v > \rm 1)\big] = \rm 0.9772\cdot \rm 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.1551}.$$
Die Skizze verdeutlicht die vorgegebene Konstellation:
- Die Höhenlinien der WDF (blau) sind wegen $\sigma_v > \sigma_u$ in vertikaler Richtung gestreckte Ellipsen.
- Rot schraffiert eingezeichnet ist das Gebiet, dessen Wahrscheinlichkeit in dieser Teilaufgabe berechnet werden sollte.
(5) Richtig sind der erste und der dritte Lösungsvorschlag:
- Wegen $\rho_{xy} = 1$ besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen $x$ und $y$
- ⇒ Alle Werte liegen auf der Geraden $y =K(x) \cdot x$.
- Aufgrund der Streuungen $\sigma_x = 0.5$ und $\sigma_y = 1$ gilt $K = 2$.
- Auf dieser Geraden $y = 2x$ sind alle WDF-Werte unendlich groß.
- Das bedeutet: Die 2D-WDF ist hier eine „Diracwand”.
- Wie aus der Skizze hervorgeht, sind die WDF–Werte auf der Geraden $y = 2x$ gaußverteilt.
- Die Gerade $y = 2x$ stellt gleichzeitig die Korrelationsgerade dar.
- Auch die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten sind Gaußfunktionen, jeweils mit Mittelwert Null.
- Wegen $\sigma_x = \sigma_u$ und $\sigma_y = \sigma_v$ gilt auch:
- $$f_x(x) = f_u(u), \hspace{0.5cm}f_y(y) = f_v(v).$$
(6) Da die WDF der Zufallsgröße $x$ identisch mit der WDF $f_u(u)$ ist, ergibt sich auch genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in der Teilaufgabe (3) berechnet:
- $$\rm Pr(\it x < \rm 1) \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.9772}.$$
(7) Das Zufallsereignis $y > 1$ ist identisch mit dem Ereignis $x > 0.5$.
- Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich
- $$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \it F_x \rm( 1) - \it F_x\rm (0.5). $$
- Mit der Streuung $\sigma_x = 0.5$ folgt weiter:
- $$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0.5) \cap (\it x < \rm 1)\big] = \rm \phi(\rm 2) - \phi(1)=\rm 0.9772- \rm 0.8413\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.1359}.$$