Theory of Stochastic Signals/Linear Combinations of Random Variables

1. Theory of Stochastic Signals
2. Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
3. Linear Combinations of Random Variables

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Voraussetzungen und Mittelwerte

Im gesamten Kapitel „Linearkombinationen von Zufallsgrößen” gehen wir von folgenden Annahmen aus:

• Die Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  seien jeweils mittelwertfrei   ⇒   $m_u = m_v = 0$  und zudem statistisch unabhängig voneinander   ⇒   $ρ_{uv} = 0$.
• Die beiden Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  besitzen jeweils gleiche Streuung  $σ$.  Über die Art der Verteilung wird keine Aussage getroffen.
• Die beiden Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  seien Linearkombinationen von  $u$  und  $v$, wobei gilt:

$$x=A \cdot u + B \cdot v + C,$$

$$y=D \cdot u + E \cdot v + F.$$

Für die (linearen) Mittelwerte der neuen Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  erhält man somit nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte:

$$m_x =A \cdot m_u + B \cdot m_v + C =C,$$

$$m_y =D \cdot m_u + E \cdot m_v + F =F.$$

Die Koeffizienten  $C$  und  $F$  geben somit lediglich die Mittelwerte von  $x$  und  $y$  an.  Beide werden auf den folgenden Seiten stets zu Null gesetzt.

Resultierender Korrelationskoeffizient

Betrachten wir nun die  Varianzen  der Zufallsgrößen nach den Linearkombinationen.

• Für die Zufallsgröße  $x$  gilt unabhängig vom Parameter  $C$:

$$\sigma _x ^2 = {\rm E}\big[x ^{\rm 2}\big] = A^{\rm 2} \cdot {\rm E}\big[u^{\rm 2}\big] + B^{\rm 2} \cdot {\rm E}\big[v^{\rm 2}\big] + {\rm 2} \cdot A \cdot B \cdot {\rm E}\big[u \cdot v\big].$$

• Die Erwartungswerte von  $u^2$  und  $v^2$  sind definitionsgemäß jeweils gleich  $σ^2$, weil  $u$  und  $v$  mittelwertfrei sind.
• Da  $u$  und  $v$  zudem als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden, kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben:

$${\rm E}\big[u \cdot v\big] = {\rm E}\big[u\big] \cdot {\rm E}\big[v\big] = m_u \cdot m_v = \rm 0.$$

• Damit erhält man für die Varianzen der durch Linearkombinationen gebildeten Zufallsgrößen:

$$\sigma _x ^2 =(A^2 + B^2) \cdot \sigma ^2,$$

$$\sigma _y ^2 =(D^2 + E^2) \cdot \sigma ^2.$$

Die  Kovarianz  $μ_{xy}$  ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen  $x$  und  $y$   ⇒   $C = F = 0$  identisch mit dem gemeinsamen Moment  $m_{xy}$:

$$\mu_{xy } = m_{xy } = {\rm E}\big[x \cdot y\big] = {\rm E}\big[(A \cdot u + B \cdot v)\cdot (D \cdot u + E \cdot v)\big].$$

Beachten Sie hierbei, dass  ${\rm E}\big[ \text{...} \big]$  einen Erwartungswert bezeichnet, während  $E$  eine Variable beschreibt.

$\text{Fazit:}$ Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:

$$\mu_{xy } = (A \cdot D + B \cdot E) \cdot \sigma^{\rm 2 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \rho_{xy } = \frac{\rho_{xy } }{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac {A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^{\rm 2}+B^{\rm 2})(D^{\rm 2}+E^{\rm 2} ) } }. $$

Wir schließen nun Zwei Sonderfälle aus:

• $A = B = 0$  ⇒   $x ≡ 0$  sowie
• $D = E = 0$  ⇒   $y ≡ 0$.

Dann liefert die obige Gleichung stets eindeutige Werte für den Korrelationskoeffizienten im Bereich  $–1 ≤ ρ_{xy} ≤ +1$.

$\text{Beispiel 1:}$  Setzen wir  $A = E = 0$,  so ergibt sich der Korrelationskoeffizient  $ρ_{xy} = 0$.  Dieses Ergebnis ist einsichtig:

• Nun hängt  $x$  nur noch von  $v$  und  $y$  ausschließlich von  $u$  ab.
• Da aber  $u$  und  $v$  als statistisch unabhängig angenommen wurden, bestehen auch keine Beziehungen zwischen  $x$  und  $y$.
• Ebenso ergibt sich  $ρ_{xy} = 0$  für die Kombination  $B = D = 0$.

$\text{Beispiel 2:}$  Die Konstellation  $B = E = 0$  führt dazu, dass sowohl  $x$  als auch  $y$  nur noch von  $u$  abhängen.  Dann ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{xy } = \frac {A \cdot D }{\sqrt{A^{\rm 2}\cdot D^{\rm 2} } } = \frac {A \cdot D }{\vert A\vert \cdot \vert D\vert } =\pm 1. $$

• Besitzen  $A$  und  $D$  gleiches Vorzeichen, so ist  $ρ_{xy} = +1$.
• Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient  $-1$.
• Auch für  $A = D = 0$  ergibt sich der Koeffizient  $ρ_{xy} = ±1$, wenn  $B \ne 0$  und  $E \ne 0$  gilt.

Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen

Die  Gleichungen der letzten Seite  können zur Erzeugung einer zweidimensionalen Zufallsgröße  $(x, y)$  mit vorgegebenen Kenngrößen  $σ_x$,  $σ_y$  und  $ρ_{xy}$  genutzt werden.

• Werden außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen, so ist einer der vier Koeffizienten  $A, \ B, \ D$  und  $E$  frei wählbar.
• Im Folgenden wird stets willkürlich  $E = 0$  gesetzt.
• Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch unabhängigen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  jeweils die Streuung  $σ =1$  aufweisen, erhält man:

$$D = \sigma_y, \hspace{0.5cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{0.5cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$

• Bei  $σ ≠ 1$  sind diese Werte jeweils noch durch  $σ$  zu dividieren.

$\text{Beispiel 3:}$  Wir gehen stets von mittelwertfreien Gaußschen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  aus.  Beide besitzen die Varianz  $σ^2 = 1$.

$(1)$   Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten  $σ_x =1$,  $σ_y = 1.55$  und  $ρ_{xy} = -0.8$  eignet sich zum Beispiel der Parametersatz

Per Linearkombination erzeugte 2D-Zufallsgrößen

$$A = -0.8, \; B = 0.6, \; D = 1.55, \; E = 0.$$

• Dieser Parametersatz liegt der linken Grafik zugrunde.
• Die Korrelationsgerade  $K(x)$  ist rot dargestellt.
• Sie verläuft unter einem Winkel von etwa  $-50^\circ$.
• Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse, die etwas oberhalb der Korrelationsgeraden liegt.

$(2)$   Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet:

$$A = -0.625,\; B = 0.781,\; D = 1.501,\; E = -0.390.$$

• Im statistischen Sinne erhält man das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
• Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum Parametersatz  $(1)$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.7: Gewichtete Summe und Differenz

Aufgabe 4.7Z: Erzeugung einer 2D–WDF

Aufgabe 4.8: Rautenförmige 2D-WDF

Aufgabe 4.8Z: AWGN-Kanal