Aufgaben:Exercise 3.1Z: Drawing Cards

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Das gewünschte Ergebnis
„Drei Asse werden gezogen”

Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen.  Für Frage  (1)  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte

• diese in den Stapel zurückgelegt wird,
• dieser neu gemischt wird und
• anschließend die nächste Karte gezogen wird.

Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab  (2)  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden  („Ziehen ohne Zurücklegen“).

• Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist. 
  Hierbei ist  $i = 1,\ 2,\ 3$  zu setzen.
• Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  kein Ass gezogen wird, sondern irgend eine andere Karte.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
• Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels  Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo  Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?

$p_1 \ = \ $

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit  $p_2$  werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?  Warum ist  $p_2$  kleiner/gleich/größer als  $p_1$?

$p_2 \ = \ $

3

Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_3$ , dass kein einziges Ass gezogen wird?

$p_3 \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_4$, dass im Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“ genau ein Ass gezogen wird?

$p_4 \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind?
Hinweis:   Die Ereignisse „genau  $i$  Asse werden gezogen” mit  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$  beschreiben ein so genanntes vollständiges System.

$p_5 \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$:

$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$

(2)  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$

• Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden.
• Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):

$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$

• $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.

(3)  Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man hier:

$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$

(4)  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken   ⇒   $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $, da die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ disjunkt sind:

$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$

$$\rm Pr (\it D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \it A_{\rm 2} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$

$$\rm Pr (\it D_{\rm 3}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap \it A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$

• Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
• Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
• Damit erhält man für die Summe:

$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$

(5)  Definiert man die Ereignisse $E_i =$ „Es werden genau $i$ Asse gezogen” mit den Indizes $i = 0, 1, 2, 3$,

• so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System.
• Deshalb gilt:

$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$