Aufgaben:Exercise 3.10Z: BSC Channel Capacity

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Entropien der Modelle „BC” und „BSC”

Die Kanalkapazität  $C$  wurde von  Claude E. Shannon  als die maximale Transinformation definiert, wobei sich die Maximierung allein auf die Quellenstatistik bezieht:

$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}$$

Beim Binärkanal mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X) = \big [p_0, \ p_1 \big]$  ist nur ein Parameter optimierbar, beispielsweise  $p_0$.  Die Wahrscheinlichkeit für eine  $1$  ist damit ebenfalls festgelegt:   $p_1 = 1 - p_0.$

Die obere Grafik (rötlich hinterlegt) fasst die Ergebnisse für den  unsymmetrischen Binärkanal  mit  $ε_0 = 0.01$  und  $ε_1 = 0.2$  zusammen, der auch im Theorieteil betrachtet wurde.

Die Maximierung führt zum Ergebnis  $p_0 = 0.55$   ⇒   $p_1 = 0.45$,  und man erhält für die Kanalkapazität:

$$C_{\rm BC} = \hspace{-0.05cm} \max_{P_X(X)} \hspace{0.1cm} I(X;Y) \big |_{p_0 \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0.55} \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0.5779\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$

In der unteren Grafik (blaue Hinterlegung) sind die gleichen informationstheoretischen Größen für den symmetrischen Kanal   ⇒   Binary Symmetric Channel  (BSC) mit den Verfälschungswahrscheinlichkeiten  $ε_0 = ε_1 = ε = 0.1$  angegeben, der auch für die  Aufgabe 3.10  vorausgesetzt wurde.

In der vorliegenden Aufgabe sollen Sie für das BSC–Kanalmodell  $($zunächst für  $ε = 0.1)$

• die Entropien  $H(X)$,  $H(Y)$,  $H(X|Y)$  und  $H(Y|X)$ analysieren,
• den Quellenparameter  $p_0$  hinsichtlich maximaler Transinformation  $I(X; Y)$  optimieren,
• somit die Kanalkapazität  $C(ε)$  bestimmen, sowie
• durch Verallgemeinerung eine geschlossene Gleichung für  $C(ε)$  angeben.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Anwendung auf die Digitalsignalübertragung.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Kanalkapazität eines Binärkanals.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die bedingten Entropien beim BSC–Modell?

	Die Äquivokation ergibt sich zu  $H(X|Y) = H_{\rm bin}(ε)$.
	Die Irrelevanz ergibt sich zu  $H(Y|X) = H_{\rm bin}(ε)$.
	Die Irrelevanz ergibt sich zu  $H(Y|X) = H_{\rm bin}(p_0)$.

2

Welche Aussagen gelten für die Kanalkapazität  $C_{\rm BSC}$  des BSC–Modells?

	Die Kanalkapazität ist gleich der maximalen Transinformation.
	Die Maximierung führt beim BSC zum Ergebnis  $p_0 = p_1 = 0.5$.
	Für  $p_0 = p_1 = 0.5$   gilt  $H(X) = H(Y) = 1 \ \rm bit$.

3

Welche Kanalkapazität  $C_{\rm BSC}$  ergibt sich abhängig vom BSC–Parameter  $ε$?

$ε = 0.0\text{:} \hspace{0.5cm} C_{\rm BSC} \ = \ $ $\ \rm bit$

$ε = 0.1\text{:} \hspace{0.5cm} C_{\rm BSC} \ = \ $ $\ \rm bit$

$ε = 0.5\text{:} \hspace{0.5cm} C_{\rm BSC} \ = \ $ $\ \rm bit$

4

Welche Kanalkapazität  $C_{\rm BSC}$  ergibt sich abhängig vom BSC–Parameter  $ε$?

$ε = 1.0\text{:} \hspace{0.5cm} C_{\rm BSC} \ = \ $ $\ \rm bit$

$ε = 0.9\text{:} \hspace{0.5cm} C_{\rm BSC} \ = \ $ $\ \rm bit$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, wie die folgende Rechnung zeigt:

$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = p_0 \cdot (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} + p_0 \cdot \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} +p_1 \cdot \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} + p_1 \cdot (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = (p_0 + p_1) \cdot \left [ \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} + (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

• Mit $p_0 + p_1 = 1$ und der binären Entropiefunktion $H_{\rm bin}$ erhält man das vorgeschlagene Ergebnis:   $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H_{\rm bin}(\varepsilon)\hspace{0.05cm}.$
• Für $ε = 0.1$ ergibt sich $H(Y|X) = 0.4690 \ \rm bit$. Der gleiche Wert steht für alle $p_0$ in der vorgegebenen Tabelle.
• Aus der Tabelle erkennt man auch, dass beim BSC–Modell (blaue Hinterlegung) wie auch beim allgemeineren (unsymmetrischen) BC–Modell (rote Hinterlegung) die Äquivokation $H(X|Y)$ von den Quellensymbolwahrscheinlichkeiten $p_0$ und $p_1$ abhängen. Daraus folgt, dass der Lösungsvorschlag 1 nicht richtig sein kann.
• Die Irrelevanz $H(Y|X)$ istunabhängig von der Quellenstatistik, so dass auch der Lösungsvorschlag 3 ausgeschlossen werden kann.

(2)  Zutreffend sind hier alle vorgegebenen Lösungsalternativen:

• Die Kanalkapazität ist definiert als die maximale Transinformation, wobei die Maximierung hinsichtlich $P_X = (p_0, p_1)$ zu erfolgen hat:

$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Gleichung gilt allgemein, also auch für den rot hinterlegten unsymmetrischen Binärkanal.
• Die Transinformation kann zum Beispiel berechnet werden als $I(X;Y) = H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm}$, wobei entsprechend der Teilaufgabe (1) der Term $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm}$ unabhängig von $p_0$ bzw. $p_1 = 1- p_0$ ist.
• Die maximale Transinformation ergibt sich somit genau dann, wenn die Sinkenentropie $H(Y)$ maximal ist. Dies ist der Fall für $p_0 = p_1 = 0.5$   ⇒   $H(X) = H(Y) = 1 \ \rm bit$.

(3)  Entsprechend den Teilaufgaben (1) und (2) erhält man für die BSC–Kanalkapazität:

$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt links die binäre Entropiefunktion und rechts die Kanalkapazität. Man erhält:

• für $ε = 0$ (fehlerfreier Kanal):   $C = 1\ \rm (bit)$   ⇒   Punkt mit gelber Füllung,
• für $ε = 0.1$ (bisher betrachtet):   $C = 0.531\ \rm (bit)$   ⇒   Punkt mit grüner Füllung,
• für $ε = 0.5$ (vollkommen gestört):   $C = 0\ \rm (bit)$   ⇒   Punkt mit grauer Füllung.

Binäre Entropiefunktion und BSC–Kanalkapazität

(4)  Aus der Grafik erkennt man, dass aus informationstheoretischer Sicht $ε = 1$ identisch mit $ε = 0$ ist:

$$C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1} \hspace{0.05cm}= C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0} \hspace{0.15cm} \underline {=1\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}$$

• Der Kanal nimmt hier nur eine Umbenennung vor. Man spricht von „Mapping”.
• Aus jeder $0$ wird eine $1$ und aus jeder $1$ eine $0$. Entsprechend gilt:

$$C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0.9} \hspace{0.05cm}= C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0.1} \hspace{0.15cm} \underline {=0.531\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}$$