Aufgaben:Exercise 2.13: Quadrature Amplitude Modulation

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Betrachtetes Modell der  $\rm QAM$

Die durch die Grafik erklärte Quadratur–Amplitudenmodulation  $\rm (QAM)$  erlaubt unter gewissen Randbedingungen, die in dieser Aufgabe herausgefunden werden sollen, die gleichzeitige Übertragung von zwei Quellensignalen  $q_1(t)$  und  $q_2(t)$  über den gleichen Kanal.

In dieser Aufgabe gelte mit  $A_1 = A_2 = 2\ \rm V$:

$$q_1(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm 1} \cdot t),$$

$$q_2(t) = A_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_{\rm 2} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Die vier in der Grafik eingezeichneten Trägersignale lauten mit  $ω_{\rm T} = 2π · 25\ \rm kHz$:

$$z_1(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t),$$

$$ z_2(t) = \sin(\omega_{\rm T} \cdot t),$$

$$ z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}),$$

$$ z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) = 2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Tiefpässe  $\rm TP_1$  und  $\rm TP_2$  mit den Eingangssignalen  $b_1(t)$  und  $b_2(t)$  entfernen jeweils alle Frequenzanteile  $|f| > f_{\rm T}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Weitere AM–Varianten.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM).

• Anzumerken ist, dass hier die Trägersignale  $z_2(t)$  und  $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$  mit positivem Vorzeichen angesetzt wurden.
• Oft – so auch im Theorieteil – werden diese Trägersignale als „Minus–Sinus” angegeben.
• Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:

$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$

$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$

$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie das Sendesignal  $s(t)$  für den Fall  $f_1 ≠ f_2$.  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	$s(t)$  besteht aus zwei Cosinus– und zwei Sinusschwingungen.
	$s(t)$  setzt sich aus vier Cosinusschwingungen zusammen.
	$s(t)$  setzt sich aus vier Sinusschwingungen zusammen.

2

Wie lautet  $s(t)$  für  $f_1 = f_2 = 5 \ \rm kHz$.  Welcher Signalwert tritt bei  $t = 50 \ \rm µ s$  auf?

$s(t = 50 \ \rm µ s) \ = \ $ $\ \rm V$

3

Berechnen Sie für  $f_1 = f_2$  und  $Δϕ_{\rm T} = 0$  (kein Phasenversatz) die Sinkensignale  $v_1(t)$  und  $v_2(t)$.  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	Es gilt  $v_1(t) = q_1(t)$  und  $v_2(t) = q_2(t)$.
	Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
	Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.

4

Berechnen Sie die Sinkensignale  $v_1(t)$  und  $v_2(t)$  für  $f_1 = f_2$  und den Phasenversatz  $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$.  Welche Aussagen treffen zu?

	Es gilt  $v_1(t) = q_1(t)$  und  $v_2(t) = q_2(t)$.
	Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
	Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.

5

Welche der folgenden Aussagen treffen für  $f_1 ≠ f_2$  und  $Δϕ_{\rm T} ≠ 0$  (beliebiger Phasenversatz) zu?

	Es gilt  $v_1(t) = q_1(t)$  und  $v_2(t) = q_2(t)$.
	Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
	Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.

Musterlösung

Solution

(1)  Mit den angegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man:

$$s(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + A_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 2})\cdot t) - \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 2})\cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist demnach der zweite Lösungsvorschlag.

(2)  Mit $A_1 = A_2 = 2 \ \rm V$ und $f_1 = f_2 = 5\ \rm kHz$ überlagern sich die erste und die dritte Cosinusschwingungen konstruktiv und die beiden anderen heben sich vollständig auf. Es ergibt sich somit das folgende einfache Ergebnis:

$$ s(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t = 50\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig ist der erste Lösungsvorschlag:

• Bei phasensynchroner Demodulation ($Δϕ_T = 0$) erhält man für die Signale vor den Tiefpässen mit $r(t) = s(t)$ gemäß der Teilaufgabe (2):

$$b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 45} \cdot t),$$

$$ b_2(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 45} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Nach Eliminierung der jeweiligen $45\ \rm kHz$–Anteile ergibt sich somit $v_1(t) = q_1(t)$ und $v_2(t) = q_2(t)$.

(4)  Analog zur Teilaufgabe (3) gilt nun:

$$ b_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})= 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )},$$

$$b_2(t)= 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})= 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )}\hspace{0.05cm}.$$

• Die Sinkensignale $v_1(t)$ und $v_2(t)$ weisen bei dieser Konstellation gegenüber $q_1(t)$ und $q_2(t)$ Laufzeiten und damit Phasenverzerrungen auf.
• Diese gehören zur Klasse der linearen Verzerrungen   ⇒   Antwort 2.

(5)  Allgemein gilt für das Empfangssignal:

$$r(t) = s(t) = q_1(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q_2(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Die Multiplikation mit den empfängerseitigen Trägersignalen $z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ und $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ und die Bandbegrenzung führt zu den Sinkensignalen

$$v_1(t) = \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) - \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t),$$

$$ v_2(t) = \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) + \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t) \hspace{0.05cm}.$$

Daraus ist zu ersehen:

• Bei einem Phasenversatz von $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$ beinhaltet das Sinkensignal $v_1(t)$ nicht nur das um $\cos(30^\circ) = 0.866$ gedämpfte Signal $q_1(t)$, sondern auch die in $q_2(t)$ enthaltene Frequenz $f_2$.
• Diese ist mit dem Faktor $\sin(30^\circ) = 0.5$ gewichtet.
• Es liegen somit nichtlineare Verzerrungen vor   ⇒   Antwort 3.