Aufgaben:Exercise 2.6: Dimensions in GWSSUS

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Überblick der GWSSUS–Funktionen

Der Mobilfunkkanal kann in sehr allgemeinen Form durch vier Systemfunktionen beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen je zwei Funktionen durch

• die Fouriertransformation bzw.
• die Fourierrücktransformation

gegeben ist.

Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit  $\eta_{12}$. Die Indizes seien wie folgt vereinbart:

• V  steht für Verzögerung  $\tau$  (Index „1”),
• F  steht für die Frequenz  $f$  (Index „1”),
• Z  steht für die Zeit  $t$  (Index „2”),
• D  steht für die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  (Index „2”).

Der Zusammenhang zwischen den Funktionen ist in der Grafik (gelbe Hinterlegung) dargestellt. Die Fourierkorrespondenzen sind grün eingezeichnet:

• Der Übergang von einem weiß gefüllten zu einem grün gefüllten Kreis entspricht einer  Fouriertransformation.
• Der Übergang von einem grün gefüllten zu einem weiß gefüllten Kreis entspricht der  Fourierrücktransformation  (Gegenrichtung).

Beispielsweise gilt:

$$\eta_{\rm VZ}(\tau, t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\tau, \hspace{0.02cm}f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f,t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}\eta_{\rm FZ}(f,t) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.02cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\hspace{0.05cm}.$$

• Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion  $\varphi_{12}$  und das Leistungsdichtespektrum  $\it \Phi_{\rm 12}$  werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion $\eta_{12}$.
• Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift und alle Leistungsdichtespektren sind blau beschriftet. Es wird stets vom GWSSUS–Modell ausgegangen.

Betrachten wir hier die Systemfunktion  $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$, also die zeitvariante Impulsantwort  $h(\tau, t)$. Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:

$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm},$$

$$\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \Delta t = t_2 - t_1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}, $$

$$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.$$

$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)\hspace{0.05cm}. $$

Hinweis:   Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Das GWSUS–Kanalmodell.

Fragebogen

1

Stimmen die angegebenen Einheiten der Systemfunktionen?

	$\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$  hat die Einheit  $[1/\rm s]$.
	$\eta_{\rm FZ}(f, t)$  hat keine Einheit.
	$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$  hat keine Einheit.
	$\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$  hat die Einheit  $[1/\rm Hz]$.

2

Stimmen die Einheiten der folgenden Funktionen?

	$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$  hat die Einheit  $[1/\rm s]$.
	${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, {\rm \Delta} t)$  hat die Einheit  $[1/\rm s]$.
	${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  hat die Einheit  $[1/\rm s]$.

3

Stimmen die Einheiten der weiteren Funktionen?

	$\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t),  \varphi_{\rm F}(\Delta f)$  und  $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$  haben keine Einheit.
	${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$  hat die Einheit  $[1/\rm s]$.
	${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$  und  ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$  haben jeweils die Einheit $[1/\rm Hz]$.

Musterlösung

Solution

(1)  Alle Aussagen sind richtig:

• $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ ist die zeitvariante Impulsantwort, für die auch die Bezeichnung $h(\tau, t)$ gebräuchlich ist. Wie jede Impulsantwort hat auch $h(\tau, t)$ die Einheit $[1/\rm s]$.
• Durch Fouriertransformation der Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezüglich der Verzögerung $\tau$ kommt man zu

$$\eta_{\rm FZ}(f, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}. $$

• Durch die Integration nach $\tau$ (Einheit: $\rm s$) ist $\eta_{\rm FZ}(f, t)$, die auch als „zeitvariante Übertragungsfunktion” bezeichnet wird, ohne Einheit. In mancher Literatur wird anstelle von $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ auch $H(f, t)$ verwendet.

• Auch die Verzögerungs–Doppler–Darstellung $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat keine Einheit. Diese Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ durch die Fouriertransformation hinsichtlich $t$:

$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

• Die Funktion $\eta_{\rm FD}(t, f_{\rm D})$ ergibt sich aus den dimensionalen Funktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ bzw. $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ jeweils durch eine Fouriertransformation, was die Einheit $[\rm s] = [1/\rm Hz]$ zur Folge hat.

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Die Autokorrelationsfunktion ist definitionsgemäß der folgende Erwartungswert:

$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.$$

• Da die zeitvariante Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ die Einheit $[1/\rm s]$ aufweist, hat deren AKF $\varphi_{\rm VZ}$ die Einheit $[1/\rm s^2]$, sowohl mit dem Argument $(\tau_1, l_1, \tau_2, t_2)$ als auch mit dem GWSSUS–Argument $(\Delta \tau, \ \Delta t)$.

• Die Diracfunktion $\delta(\Delta \tau)$ hat die Dimension $[1/\rm s]$, da das Integral über alle $\tau$ (mit Einheit $[\rm s]$) den Wert $1$ ergeben muss. Daraus folgt für die Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta \tau)$ die Einheit $[1/\rm s]$, ebenso für die Verzögerungs–Leistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)$.

(3)  Richtig sind hier die Aussagen 1 und 3:

• Ausgehend von der Einheit $[1/\rm s]$ der Funktion ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t)$ kommt man durch Fouriertransformation bezüglich $\tau$ bzw. $\Delta t$ zu den Funktionen $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t)$ bzw. ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$. Beide sind dimensionslos.

• Das Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum hat die Einheit $[\rm s] = [1/\rm Hz]$, wegen

$${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f_{\rm D} \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}. $$