Applets:Digital Filters

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Programmbeschreibung

The applet should clarify the properties of digital filters, whereby we confine ourselves to filters of the order $M=2$. Both non-recursive filters $\rm (FIR$,  Finite Impulse Response$)$  as well as recursive filters $\rm (IIR$,  Infinite Impulse Response$)$.

The input signal $x(t)$ is represented by the sequence $〈x_ν〉$ of its samples, where $x_ν$ stands for $x(ν · T_{\rm A})$. The output sequence $〈y_ν〉$is calculated, i.e. the discrete-time representation of the output signal $y(t)$.

• $T_{\rm A}$ denotes the time interval between two samples.
• We also limit ourselves to causal signals and systems, which means that $x_ν \equiv 0$ and $y_ν \equiv 0$ for $ν \le 0$.

It should also be noted that we denote the initial sequence $〈y_ν〉$ as

(1) the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$ if the “discrete-time Dirac function” is present at the input:         $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉,$

(2) the time-discrete step response $〈\sigma_ν〉$ if the “time-discrete step function” is present at the input:         $〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉,$

(3) the discrete-time rectangle response $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$ if the “discrete-time rectangle function” is present at the input:     $〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉;$
        In quotation marks are the beginning of the ones $(2)$ and the position of the last ones $(4)$.

Theoretical background

General block diagram

Each signal $x(t)$ can only be represented on a computer by the sequence $〈x_ν〉$ of its samples, where $x_ν$ stands for $x(ν · T_{\rm A})$. right |frame| Block diagram of a digital (IIR–) filter $M$–order

• The time interval $T_{\rm A}$ between two samples is limited by the sampling theorem.
• We limit ourselves here to causal signals and systems, which means that $x_ν \equiv 0$ for $ν \le 0$.

• In order to determine the influence of a linear filter with frequency response $H(f)$ on the time-discrete input signal $〈x_ν〉$, it is advisable to describe the filter discrete-time. In the time domain, this happens with the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$.
• On the right you can see the corresponding block diagram. The following therefore applies to the samples of the output signal $〈y_ν〉$ thus holds:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

The following should be noted here:

• The index $\nu$ refers to sequences, for example at the input $〈x_ν〉$ and output $〈y_ν〉$.
• On the other hand, we use the index $\mu$ to identify the $a$ and $b$ filter coefficients.
• The first sum describes the dependency of the current output $y_ν$ on the current input $x_ν$ and on the $M$ previous input values $x_{ν-1}$, ... , $x_{ν-M}$.
• The second sum indicates the influence of $y_ν$ by the previous values $y_{ν-1}$, ... , $y_{ν-M}$ at the filter output. It specifies the recursive part of the filter.
• The integer parameter $M$ is called the order of the digital filter. In the program, this value is limited to $M\le 2$.

$\text{Definitions:}$ 

(1)  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$ if the “discrete-time Dirac function” is present at the input:

$$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$

(2)  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the time-discrete step response $〈\sigma_ν〉$ if the “time-discrete step function” is present at the input:

$$〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉 .$$

(3)  The output sequence $〈y_ν〉$ is called the discrete-time rectangle response  $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$ if the “discrete-time rectangular function” is present at the input:

$$〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$

The beginning of ones $(2)$ and the position of the last ones $(4)$ are given in single quotes.

Non-recursive filter   ⇒   FIR–filter

right |frame| Non-recursive digital filter  $($FIR filter$)$  $M$ order $\text{Definition:}$ If all feedback coefficients $b_{\mu} = 0$ , one speaks of one non-recursive filter. In the English language literature, the term FIR filter (Finite Impulse Response) is also used for this.

The following applies to the order $M$ applies:

• The output value $y_ν$ depends only on the current and the previous $M$ input values:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$

• Time-discrete impulse response with $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉$:

$$〈h_\mu〉= 〈a_0,\ a_1,\ \text{...},\ a_M〉 .$$

$\text{Example 1:}$  A two-way channel where

• the signal on the main path arrives undamped compared to the input signal but is delayed by $2\ \rm µ s$ arrives with a delay, and
• at $4\ \rm µ s$ distance – so absolutely at time $t = 6\ \rm µ s$ – follows an echo with half the amplitude,

can be simulated by a non-recursive filter according to the sketch above, whereby the following parameter values ​​must be set:

$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$

$\text{Example 2:}$ Consider a non-recursive filter with the filter coefficients $a_0 = 1,\hspace{0.5cm} a_1 = 2,\hspace{0.5cm} a_2 = 1.$ right|frame|Nichtrekursives Filter

(1) The conventional impulse response is: $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$
        ⇒   discrete-time impulse response: $〈h_\mu〉= 〈1,\ 2,\ 1〉 .$

(2)   The frequency response $H(f)$ is the Fourier transform of $h(t)$. By applying the displacement theorem:

$$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }\cdot }f \cdot T_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }fT_{\rm A} }\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}H(f = 0) = 4.$$

(3)   It follows that the time-discrete step response $〈\sigma_ν〉$ tends to become $4$ for large $\nu$.

(4)   The discrete-time convolution of the input sequence $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  with $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  results

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;2,\;1,\;0,\;1,\;2,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$

(5)   The discrete-time convolution of the input sequence $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$  with  $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  results

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;3,\;2,\;2,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$

Recursive filter   ⇒   IIR filter

right|frame|First order recursive filter $\text{Definition:}$ 

• If at least one of the feedback coefficients is $b_{\mu} \ne 0$, then this is referred to as a recursive filter (see graphic on the right). The term IIR filter  (Infinite Impulse Response) is also used for this, particularly in the English-language literature. This filter is dealt with in detail in the trial implementation.

• If all forward coefficients are also identical $a_\mu = 0$ with the exception of $a_0$, a purely recursive filter is available (see graphic on the left).

left|frame| Purely recursive first order filter

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall  „Rein rekursives Filter erster Ordnung”.  Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf:

• Der Ausgangswert  $y_ν$  hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$

• Dies zeigt die folgende Rechung:

$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + a_0 \cdot {b_1} ^2 \cdot x_{\nu - 2} + {b_1} ^3 \cdot y_{\nu - 3} = \text{...}. $$

• Die zeitdiskrete Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei  $t =0$  anliegt.

$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉= 〈\hspace{0.05cm}a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2 \ \text{...} \hspace{0.05cm}〉.$$

$\text{Fazit:}$  Bei einem rekursiven Filter reicht die (zeitdiskrete) Impulsantwort schon mit  $M = 1$  bis ins Unendliche:

• Aus Stabilitätsgründen muss  $b_1 < 1$  gelten.
• Bei  $b_1 = 1$  würde sich die Impulsantwort  $h(t)$  bis ins Unendliche erstrecken und bei  $b_1 > 1$  würde  $h(t)$  sogar bis ins Unendliche anklingen.
• Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor  $b_1$  kleiner als die vorherige Diraclinie:

$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$

frame| Zeitdiskrete Impulsantwort | rechts $\text{Beispiel 3:}$  Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort  $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$  eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern  $a_0 = 1$  und  $b_1 = 0.6$.

• Der (zeitdiskrete) Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
• Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinanderfolgender Diracs ist jeweils  $b_1 = 0.6$.

Rekursives Filter als Sinus–Generator

right|frame|Vorgeschlagene Filterstruktur ändern auf $T_{\rm A}$ Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist, wenn die Eingangsfolge  $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$  eine (zeitdiskrete) Diracfunktion ist:

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu \cdot T_{\rm A} \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$

Die fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der  $Z$-Transformation:

$$Z \big \{ {\sin ( {\nu T{\rm A}\cdot \omega _0 } )} \big \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right) + 1}}.$$

Nach Umsetzung dieser Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung erhält man folgende Filterkoeffizienten:

$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad b_2 = - 1.$$

• Auf die Filterkoeffizienten  $a_0$  und  $a_2$  kann verzichtet werden und  $b_2=-1$  hat einen festen Wert. 
• Die Kreisfrequenz  $\omega_0$  der Sinusschwingung wird also nur durch  $a_0$  und  $a_0$  festelegt.

$\text{Beispiel 3:}$  Es gelte  $a_1 = 0.5$,  $b_1 = \sqrt 3$,  $x_0 = 1$  und  $x_{\nu \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} 0} = 0$.

(1)  Dann gilt für die Ausgangswerte  $y_\nu$  zu den Zeitpunkten  $\nu \ge 0$:

•   $y_0 = 0;$
•   $y_1 = 0.5$                                                                                         ⇒  die „$1$” am Eingang wirkt sich wegen  $a_0= 0$  am Ausgang erst zum Zeitpunkt  $\nu = 1$  aus;
•   $y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \approx 0.866$                             ⇒   bei  $\nu = 2$  wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam;
•   $y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1$          ⇒  für  $\nu \ge 2$  ist das Filter rein rekursiv:     $y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2}$;
•   $y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$
•   $y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = 0.5;$
•   $y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$
•   $y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} = - 0.5.$

(2)  Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses erhält man für große  $\nu$–Werte:     $y_\nu = y_{\nu - 12} $   ⇒   $T_0/T_{\rm A}= 12.$

Versuchsdurchführung

right

• Wählen Sie zunächst die Nummer  1  ...  10  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Die Nummer  0  entspricht einem „Reset”:  Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

(1)  Die Filterkoeffizienten seien  $a_0=0.25$,  $a_1=0.5$, $a_2=0.25$,  $b_1=b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich? 
        Interpretieren Sie die Impulsantwort  $〈h_ν〉$,  die Sprungantwort  $〈\sigma_ν〉$  und  die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$  jeweils in zeitdiskreter Darstellung.

•   Aufgrund der fehlenden  $b$–Koeffizienten handelt es sich um ein nichtrekursives digitales Filter   ⇒   FIR–Filter  (Finite Impulse Response).
•   Die Impulsantwort setzt sich aus  $M+1=3$  Diraclinien gemäß den  $a$–Koeffizienten zusammen:    $〈h_ν〉= 〈a_0, \ a_1,\ a_2〉= 〈0.25, \ 0.5,\ 0.25,\ 0, \ 0, \ 0,\text{...}〉 $.
•   Die Sprungantwort lautet:    $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1,\text{...}〉 $.  Der Endwert ist gleich dem Gleichsignalübertragungsfaktor  $H(f=0)=a_0+a_1+a_2 = 1$.
•   Die Verzerrungen bei Anstieg und Abfall erkennt man auch aus der Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉= 〈0,\ 0, 0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1, \ 1, \ 0.75, \ 0.25, \ \text{...}〉$.

(2)  Wie unterscheiden sich die Ergebnisse mit  $a_2=-0.25$?

•   Unter Berücksichtigung von  $H(f=0)= 0.5$  ergeben sich vergleichbare Folgen   ⇒   Sprungantwort:    $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 0.5,\ 0.5, \ 0.5, \ 0.5,\text{...}〉 $.

(3)  Nun seien die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=0.9$  sowie  $a_1=a_2= b_2=0$.  Um welches Filter handelt es sich?  Interpretieren Sie die Impulsantwort  $〈h_ν〉$.

•   Es handelt sich um ein rekursives digitales Filter   ⇒   IIR–Filter  (Infinite Impulse Response)  erster Ordnung.  Es ist das zeitdiskrete Analogon zum RC–Tiefpass.
•   Ausgehend von  $h_0= 1$  gilt  $h_1= h_0 \cdot b_0= 0.9$,  $h_2= h_1 \cdot b_0= b_0^2=0.81$,  $h_3= h_2 \cdot b_0= b_0^3=0.729$,  usw.   ⇒   $〈h_ν〉$  reicht bis ins Unendliche.
•   Impulsantwort  $h(t) = {\rm e}^{-t/T}$  mit  $T$:  Schnittpunkt $($Tangente bei  $t=0$, Abszisse$)$   ⇒   $h_\nu= h(\nu \cdot T_{\rm A}) = {\rm e}^{-\nu/(T/T_{\rm A})}$  mit  $T/T_{\rm A} = 1/(h_0-h_1)= 10$.
•   Also:  Die Werte der zeitkontinuierlichen unterscheiden sich von der zeitdiskreten Impulsantwort.  Hierfür ergeben sich die Werte $1.0, \ 0.9048,\ 0.8187$ ...

(4)  Die Filtereinstellung wird beibehalten.  Interpretieren Sie die Sprungantwort  $〈h_ν〉$  und  die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$.  Welcher Wert ergibt sich für  $H(f=0)$?

•   Die Sprungantwort ist das Integral über die Impulsantwort:   $\sigma(t) = T \cdot (1-{\rm e}^{-t/T}) ]$   ⇒   $\sigma_\nu= 10 \cdot (1-{\rm e}^{-\nu/10})$   ⇒   $\sigma_0=1$,  $\sigma_1=1.9$,  $\sigma_2=2.71$, ...
•   Für große $\nu$–Werte tendiert die (zeitdiskrete) Sprungantwort gegen den Gleichsignalübertragungsfaktor  $H(f=0)= 10$:  $\sigma_{40}=9.867$,  $\sigma_{50}=9.954$,  $\sigma_\infty=10$.
•  Die Rechteckantwort  $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$  steigt mit einer Verzögerung von  $2$  in gleicher Weise an wie  $〈\sigma_ν〉$.  Im Bereich  $\nu \ge 8$  fallen die  $\rho_ν$– Werte exponentiell ab.

(5)  Wir betrachten weiterhin das Filter mit  $a_0=1$,  $b_1=0.9$,  $a_1=a_2= b_2=0$.  Wie lautet die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$ für die Eingangsfolge  $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ -0.5〉$?
        Hinweis:  Die Aufgabe lässt sich ebenfalls mit diesem Programm lösen, obwohl die hier betrachtete Konstellation nicht direkt einstellbar ist.

•   Man behilft sich, indem man den Koeffizienten  $a_2=-0.5$  setzt und dafür die Eingangsfolge auf   $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ \text{ ...}〉$   ⇒   „Diracfunktion” reduziert.
•   Die tatsächliche Impulsantwort dieses Filters $($mit  $a_2=0)$  wurde in Aufgabe  (3)  ermittelt:   $h_0= 1$,   $h_1= 0.9$,   $h_2= 0.81$,   $h_3= 0.729$,   $h_4= 0.646$.  
•   Die Lösung dieser Aufgabe lautet somit:   $y_0 = h_0= 1$,   $y_1= h_1= 0.9$,   $y_2 =h_2-h_0/2= 0.31$,   $y_3 =h_3-h_1/2= 0.279$,   $y_4 =h_4-h_2/2= 0.251$.  
•   Vorsicht:  Sprungantwort und Rechteckantwort beziehen sich nun auf das fiktive Filter $($mit  $a_2=-0.5)$  und nicht auf das eigentliche Filter $($mit  $a_2=0)$.

(6)  Betrachten und interpretieren Sie die Impulsanwort und die Sprungantwort für die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=1$,  $a_1=a_2= b_2=0$. 

•   Das System ist instabil:   Eine zeitdiskrete Diracfunktion am Eingang  $($zur Zeit  $t=0)$  bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs gleicher Höhe.
•   Eine zeitdiskrete Sprungfunktion am Eingang bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs mit monoton ansteigenden Gewichten (bis ins Unendliche).

(7)  Betrachten und interpretieren Sie Impulsanwort und Sprungantwort für die Filterkoeffizienten  $a_0=1$,  $b_1=-1$,  $a_1=a_2= b_2=0$. 

•   Im Gegensatz zur Aufgabe  (6)  sind hier die Gewichte der Impulsantwort  $〈h_ν〉$  nicht konstant gleich  $1$, sondern alternierend  $\pm 1$.  Das System ist ebenfalls instabil.
•   Bei der Sprunganwort  $〈\sigma_ν〉$  wechseln sich dagegen die Gewichte alternierend zwischen  $0$  $($bei geradem $\nu)$  und  $1$  $($bei ungeradem $\nu)$  ab.

(8)  Wir betrachten den  „Sinusgenerator”:  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1.$  Vergleichen Sie die Impulsantwort mit den berechneten Werten in  $\text{Beispiel 4}$.
        Wie beinflussen die Parameter  $a_1$  und  $b_1$  die Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}$  und die Amplitude  $A$  der Sinusfunktion?

•   $〈x_ν〉=〈1, 0, 0, \text{...}〉$   ⇒   $〈y_ν〉=〈0, 0.5, 0.866, 1, 0.866, 0.5, 0, -0.5, -0.866, -1, -0.866, -0.5, 0, \text{...}〉$   ⇒   Sinus,  Periode  $T_0/T_{\rm A}= 12$,  Amplitude  $1$.
•   Die Vergrößerung/Verkleinerung von  $b_1$  führt zur größeren/kleineren Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}$  und zur größeren/kleineren Amplitude  $A$.  Es muss  $b_1 < 2$  gelten.
•   $a_1$  beinflusst nur die Amplitude, nicht die Periodendauer.  Für  $a_1$  gibt es keine Wertebegrenzumg.  Bei negativem  $a_1$  ergibt sich die Minus–Sinusfunktion.
•   Gibt es hier keine Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ???

(9)  Die Grundeinstellung bleibt erhalten.  Mit welchen  $a_1$  und  $b_1$ ergibt sich eine Sinusfunktion mit Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}=16$  und Amplitude  $A=1$?

•   Durch Probieren erreicht man mit  $b_1= 1.8478$  tatsächlich die Periodendauer  $T_0/T_{\rm A}=16.$  Allerdings erhöht sich dadurch die Amplitude auf  $A=1.307$.
•   Die Anpassung des Parameters   $a_1= 0.5/1.307=0.3826$  führt dann zur gewünschten Amplitude  $A=1$.
•   Oder man kann das auch wie im Beispiel berechnen:  $b_1 = 2 \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}\cdot{T_{\rm A}}/{T_0 }})= 2 \cdot \cos (\pi/8)=1.8478$,     $a_1 = \sin (\pi/8)=0.3827$.

(10)  Wir gehen weiter vom „Sinusgenerator” aus.  Welche Modifikationen muss man vornehmen, um damit einen „Cosinus” zu generieren?

•   Mit  $a_1=0.5$,  $b_1=\sqrt{3}= 1.732$,  $b_2=-1$  sowie  $〈x_ν〉=〈1, 1, 1, \text{...}〉$  ist die Ausgangsfolge  $〈y_ν〉$  das zeitdiskrete Analogon der Sprungantwort  $\sigma(t)$.
•   Es fehlen noch einige Statements

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2020 wurde das Programm von Andre Schulz (Bachelorarbeit LB, Betreuer: Benedikt Leible und Tasnád Kernetzky ) unter „HTML5” neu gestaltet.

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