Aufgaben:Exercise 3.6: Partitioning Inequality

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Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X$,  $Q_X$

Die  Kullback–Leibler–Distanz  (kurz KLD) wird auch in der „Partitionierungsungleichung”  (englisch:  Partition Unequality) verwendet:

• Wir gehen von der Menge  $X = \{ x_1, \hspace{0.15cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_M \}$  und den Wahrscheinlichkeitsfunktionen

$$P_X(X) = P_X ( x_1, \hspace{0.15cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_M )\hspace{0.05cm},$$

$$Q_X(X) =Q_X ( x_1, \hspace{0.15cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_M ), $$

aus, die „in irgendeiner Form ähnlich” sein sollen.

• Die Menge  $X$  unterteilen wir in die Partitionen  $A_1, \text{...} ,  A_K$, die zueinander  disjunkt  sind und ein  vollständiges System  ergeben:

$$\bigcup_{i=1}^{K} = X, \hspace{0.5cm} A_i \cap A_j = {\it \phi} \hspace{0.25cm}\text{für}\hspace{0.25cm} 1 \le i \ne j \le K .$$

• Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen bezüglich der Partitionierungen  $A_1,\ A_2, \text{...} ,\ A_K$  bezeichnen wir im Folgenden mit

$$P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} = \big [ P_X ( A_1 )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm},P_X ( A_K ) \big ],\hspace{0.05cm}\hspace{0.5cm}{\rm wobei}\hspace{0.15cm} P_X ( A_i ) = \sum_{ x \in A_i} P_X ( x )\hspace{0.05cm},$$

$$Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)}= \big [ Q_X ( A_1 )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm},Q_X ( A_K ) \big ],\hspace{0.05cm}\hspace{0.40cm}{\rm wobei}\hspace{0.15cm} Q_X ( A_i ) = \sum_{ x \in A_i} Q_X ( x )\hspace{0.05cm}. $$

$\text{Bitte beachten Sie:}$  Die  Partitionierungsungleichung  liefert hinsichtlich der Kullback–Leibler–Distanzen folgende Größenrelation:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)}) \hspace{0.25cm}\le \hspace{0.25cm}D(P_X \hspace{0.05cm}\vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X) \hspace{0.05cm}.$$

In Teilaufgabe  (1)  soll die Kullback–Leibler–Distanz der beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X(X)$  und  $Q_X(X)$  für  $X = \{0,\ 1,\ 2\}$   ⇒   $|X| = 3$ ermittelt werden.

• Danach soll die Menge  $X$  mit  $K = 2$  partitioniert werden entsprechend

• $A = \{A_1 ,\ A_2\}$  mit  $A_1 =\{0\}$  und  $A_2 = \{ 1,\ 2 \}$ ,
• $B = \{B_1 ,\ B_2\}$  mit  $B_1 =\{1\}$  und  $B_2 = \{ 0,\ 2 \}$,
• $C = \{C_1 ,\ C_2\}$  mit  $C_1 =\{2\}$  und  $C_2 = \{ 0,\ 1\}$,

• Anschließend sollen die jeweiligen Kullback–Leibler–Distanzen angegeben werden:

• $D(P_X^{ (A) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (A) } )$,
• $D(P_X^{ (B) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (B) } )$,
• $D(P_X^{ (C) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (C) } )$.

• In der Teilaufgabe  (5)  wird schließlich nach den Bedingungen gefragt, die erfüllt sein müssen, damit in der obigen Ungleichung das Gleichheitszeichen zutrifft.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  Relative Entropie – Kullback-Leibler-Distanz.

• Die beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen können aus obiger Grafik wie folgt abgelesen werden:

$$P_X(X) = \big [1/4 , \ 1/2 , \ 1/4 \big ],\hspace{0.5cm} Q_X(X) = \big [1/8, \ 3/4, \ 1/8 \big].$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Kullback–Leibler–Distanz (KLD) allgemein.

$ D(P_X \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X) \ = \ $ $\ \rm bit$

2

Welche Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich für die Partitionierung  $ A_1 = \{0\},\ A_2 = \{1, 2\}$?

$D(P_X^{ (A) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (A) } ) \ = \ $ $\ \rm bit$

3

Welche Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich für die Partitionierung  $ B_1 = \{1\}, \ B_2 = \{0, 2\}$?

$D(P_X^{ (B) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (B) } ) \ = \ $ $\ \rm bit$

4

Welche Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich für die Partitionierung  $ C_1 = \{2\},\ C_2 = \{0, 1\}$?

	Das gleiche Ergebnis wie für die Partitionierung  $A$.
	Das gleiche Ergebnis wie für die Partitionierung  $B$.
	Ein ganz anderes Ergebnis.

5

Unter welchen Bedingungen ergibt sich für allgemeines  $K$  die Gleichheit?

	Es müssen  $|X|$  Gleichungen erfüllt sein.
	Für  $x \in A_i$  muss gelten:   $P_X(x)/Q_X(x) = P_X(A_i)/ Q_X(A_i)$

Musterlösung

Solution

(1)  Für die Kullback–Leibler–Distanz gilt:

$$D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{x \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}X} P_X(x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(x)}{P_Y(x)}$$

$$\Rightarrow D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y) = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{3/4} + 2 \cdot \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/4}{1/8} = \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1- \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (3) \hspace{0.15cm} \underline {=0.2075\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Mit der  $\text{Partitionierung A}$   ⇒   $A_1 = \{0\}$ ,  $A_2 = \{ 1 , 2 \}$  erhält man  $P_X^{ (A) } (X) = \{1/4 , \ 3/4\}$  und  $Q_X^{ (A) } (X) = \{1/8 , \ 7/8\}$.  Daraus folgt:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)}) = \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/4}{1/8} + \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{3/4}{7/8} =\frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) + \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{6}{7} \hspace{0.15cm} \underline {=0.0832\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Mit der  $\text{Partitionierung B}$   ⇒   $B_1 = \{1\}$ ,  $B_2 = \{ 0 ,\ 2 \}$  lauten die Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X^{ (B) } (X) = \{1/2 , \ 1/2\}$  und  $Q_X^{ (B) } (X) = \{3/4 , \ 1/4\}$. 

• Analog zur Teilaufgabe  (2)  erhält man so:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(B)} \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(B)}) = \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{3/4} + \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{1/4} \hspace{0.15cm} \underline {=0.2075\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

• Das Ergebnis stimmt mit dem der Teilaufgabe  (1)  überein   ⇒   Bei der  $\text{Partitionierung B}$  gilt das Gleichheitszeichen.

(4)  Mit der  $\text{Partitionierung C}$   ⇒   $C_1 = \{2\}$ , $C_2 = \{ 0 , \ 1\}$  erhält man  $P_X^{ (C) } (X) = \{1/4, \ 3/4\}$ , $Q_X^{ (C) } (X) = \{1/8, \ 7/8\}$,
also die gleichen Funktionen wie bei der  $\text{Partitionierung A}$   ⇒   Lösungsvorschlag 1.

(5)  Die  $\text{Partitionierung C}$  hat zum Ergebnis  $D(P_X^{ (B) } \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}Q_X^{ (B) } ) = D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}Q_X)$ geführt.

• Für diesen Fall ist also

$$\frac{P_X(1)}{Q_X(1)} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}, \ \frac{P_X(B_1)}{Q_X(B_1)} = \frac{1/2}{3/4} = {2}/{3},$$

$$\frac{P_X(0)}{Q_X(0)} = \frac{1/4}{1/8} = 2, \ \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)} = \frac{1/2}{1/4} = 2,$$

$$\frac{P_X(2)}{Q_X(2)} = \frac{1/4}{1/8} = 2, \ \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)} = \frac{1/2}{1/4} = 2.$$

• Es muss demnach für alle  $x \in X$  gelten :

$$\frac{P_X(x)}{Q_X(x)} = \frac{P_X(B_1)}{Q_X(B_1)}, \text{falls } x \in B_1, \hspace{0.5cm}\frac{P_X(x)}{Q_X(x)} = \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)}, \text{falls } x \in B_2.$$

• Durch Verallgemeinerung erkennt man, dass  beide Lösungsvorschläge  richtig sind.