Signal Representation/Possible Errors when using DFT

1. Signal Representation
2. Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung
3. Possible Errors when using DFT

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Der mittlere quadratische Fehler als Qualitätskriterium

Im Folgenden werden einige Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT kurz diskutiert, wobei wir uns auf die Transformation vom Zeit– in den Frequenzbereich beschränken. Auch in seinen Abtastwerten wird sich im Allgemeinen das über die DFT ermittelte Spektrum  $D(\mu )/f_{\rm A}$  vom tatsächlichen Spektrum  $X(\mu \cdot f_{\rm A})$  unterscheiden, was auf zwei Prozesse zurückzuführen ist:

• die  Abtastung, also die Reduzierung der Information über  $x(t)$  auf  $N$  Zahlenwerte,
• die  Fensterung, die das Signal  $x(t)$  eventuell fälschlicherweise begrenzt.

$\text{Definition:}$  Ein Gütekriterium, das beide Fehlerarten berücksichtigt, ist der  mittlere quadratische Fehler:

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left\vert X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A} }\right \vert^2 \hspace{0.05cm}.$$

Es ist stets  ${\rm MQF} \ne 0$, da sich bei endlichem  $N$  nicht gleichzeitig die Degradation durch die Abtastung und durch die Fensterung zu Null machen lassen.

Die Größe dieser Bewertungsgröße  ${\rm MQF}$  hängt von folgenden Parametern ab:

• den Eigenschaften der vorliegenden Zeitfunktion  $x(t)$  bzw. des Spektrums  $X(f)$,
• dem DFT–Parameter  $N$;  je größer  $N$  gewählt wird, umso kleiner wird  ${\rm MQF}$,
• einem der vier weiteren DFT–Parameter, zum Beispiel  $f_{\rm A}$.

Die weiteren DFT–Parameter sind bei gegebenem  $N$  über die Gleichungen  $f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A}$,  $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A}$  und  $T_{\rm A} = T_{\rm P}/N$  festgelegt.

Wir weisen Sie bereits hier auf das Lernvideo  Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT  hin, das den Inhalt dieses Kapitels verdeutlicht.

Quasi-fehlerfreie DFT mit  $N = 16$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten beispielhaft einen Gaußimpuls mit der äquivalenten Impulsdauer  $\Delta t = T$, wobei  $T$  gleichzeitig als Normierungsparameter verwendet wird:

$$x(t) = {\rm e}^{- \pi (t/T)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Der Gaußimpuls eignet sich aufgrund des schnellen, exponentiellen Abklingens sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich sehr gut für die Anwendung der DFT.

Die untere Grafik zeigt das DFT–Ergebnis

• für  $N = 16$  und
• $T_{\rm A}/T = 0.25$   ⇒   $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$.

Zu dieser Darstellung ist Folgendes anzumerken:

• Die berücksichtigten Abtastwerte von  $x(t)$  liegen im Bereich  $\vert t/T \vert≤ 2$.  Da  $x(\pm 2T)$  sehr klein ist, führt die Periodifizierung im Zeitbereich mit  $T_{\rm P}/T = N \cdot T_{\rm A}/T = 2$  zu keinen gravierenden Fehlern.
• Mit  $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$  sowie  $N = 16$  ergibt sich der (normierte) DFT–Parameter  $f_{\rm P} \cdot T = 4$.
• Die diskreten Spektrallinien der DFT liegen somit im Bereich  $–2/T ≤ f < +2/T$.
• Der mittlere quadratrische Fehler ist relativ klein  $\text{(MQF} \approx 10^{–12})$, was auf die günstige Wahl von  $f_{\rm A} \cdot T = 0.25$  $($bei gegebenem  $N = 16)$  zurückzuführen ist.
• Die DFT–Genauigkeit kann durch Vergrößerung von  $N$  verbessert werden:

• Für  $N = 1024$  erhält man den kleinstmöglichen Wert  $\text{MQF} \approx 8 \cdot 10^{–17}$, wenn  $f_{\rm A} \cdot T = 0.125$  gewählt wird. Für die weiteren DFT–Parameter gilt dann:

$$f_{\rm P} \cdot T = 128, \hspace{0.5cm}T_{\rm A}/T = 1/128, \hspace{0.5cm} T_{\rm P}/T = N \cdot T_{\rm A}/T= 8.$$

• Bei einem 32–Bit–Prozessor (das bedeutet:  kleinere Quantisierungsfehler des Rechners)  wäre  $\text{MQF}$  noch kleiner, aber niemals Null.

DFT-Verfälschung durch Fensterung – Abbruchfehler

Ein typischer Fehler bei Anwendung der DFT ist auf die  Fensterung  zurückzuführen. Diese als  Abbruchfehler  bekannte Verfälschung lässt sich folgendermaßen erklären:

• Die im DFT–Algorithmus implizit enthaltene Fensterung entspricht der Multiplikation des Signals  $x(t)$ mit  einer Rechteckfunktion der Höhe  $1$  und der Dauer  $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$.
• Ist das Zeitsignal  $x(t)$  nicht auf den Bereich  $T_{\rm P}$  begrenzt, so stimmt das DFT–Ergebnis nicht mit dem tatsächlichen Spektrum  $X(f)$  überein, sondern ergibt sich aus diesem durch Faltung mit der Spektralfunktion  $T_{\rm P} \cdot \text{si}(\pi fT_{\rm P})$.
• Im Grenzfall  $T_{\rm P} \to \infty$, was bei gegebenem Abstand  $T_{\rm A}$  der Abtastwerte auch eine unendlich große Stützstellenzahl  $N$  bedeuten würde, entartet  $T_{\rm P} \cdot \text{si}(\pi fT_{\rm P})$  zu einer Diracfunktion und das Originalspektrum  $X(f)$  bliebe erhalten.
• Die DFT eines zeitlich unbegrenzten Signals – zum Beispiel eines periodischen Signals – wird immer einen Abbruchfehler hervorrufen, der nur durch besondere Maßnahmen in Grenzen gehalten werden kann. Hierauf wird im Kapitel  Spektralanalyse  näher eingegangen.
• Bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen lässt sich der Abbruchfehler vermeiden, wenn man  $T_{\rm P}$  hinreichend groß wählt. Durch weitere Vergrößerung des Fensters in Bereiche mit  $x(t) \approx 0$  ergibt sich kein zusätzlicher Informationsgewinn   ⇒   $\text{MQF}$  wird nicht kleiner.
• Durch dieses Anfügen von Nullen  (zero–padding)  treten nun die Abtastwerte von  $X(f)$  in kleinerem Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  auf. Durch  $T_{\rm P}$–Verdopplung erreicht man eine Interpolation der Frequenzabtastwerte genau in der Mitte zwischen zwei vorherigen Stützstellen.

Das folgende Beispiel zeigt einen Abbruchfehler aufgrund ungünstig gewählter DFT–Parameter.

Abbruchfehler bei einer DFT mit  $N = 16$

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt das Ergebnis der DFT für gleiches  $x(t)$  und  $X(f)$  sowie gleiches  $N = 16$  wie im  $\text{Beispiel 1}$, aber nun mit demgegenüber um den Faktor  $2$  feinerer Abtastung im Zeitbereich:

$$T_{\rm A}/T = 0.125     ⇒     f_{\rm A} \cdot T = 0.5.$$

Der Vergleich mit  Beispiel 1  $(T_{\rm A}/T = 0.25 \ \Rightarrow \ f_{\rm A} \cdot T = 0.25)$  zeigt:

• Der Abstand der Frequenzabtastwerte wird größer:  $f_{\rm A} \cdot T = 0.5$.
• Gleichzeitig verringert sich  $T_{\rm P}/T$  von  $4$  auf  $2$.
• Damit werden nun nur noch die Signalanteile im Bereich  $\vert t \vert < T$  durch die DFT erfasst.

Zusammengefasst:
Mit diesen DFT–Parametern entsteht ein  Abbruchfehler, durch den der mittlere quadratische Fehler  $\rm (MQF)$  signifikant von  $10^{-12}$ auf $4 \cdot 10^{-5}$  vergrößert wird.

Wir verweisen nochmals auf das Lernvideo
Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.

DFT-Verfälschung durch Abtastung – Aliasingfehler

Auch eine ungeeignete Abtastung der Zeitfunktion  $x(t)$  kann das DFT–Ergebnis signifikant verfälschen. Dieser so genannte  Aliasingfehler  lässt sich wie folgt erklären:

• Die Abtastung von  $x(t)$  im Abstand  $T_{\rm A}$  bewirkt eine periodische Fortsetzung des Spektrums bei Vielfachen der Periodisierungsfrequenz  $f_{\rm P} = 1/T_{\rm A}$.
• Besitzt das Spektrum  $X(f)$  auch Spektralanteile bei  $|f| > f_{\rm P}/2$, so ist das Abtasttheorem nicht erfüllt und es kommt zu Überlappungen der zu addierenden, verschobenen Frequenzanteile.
• Nur bei bandbegrenztem Signal kann der Aliasingfehler durch geeignete DFT–Parameter vermieden werden. Dagegen ist bei zeitlich begrenzten, impulsartigen Signalen dieser Fehler unvermeidbar, da zeitbegrenzte Signale nicht gleichzeitig bandbegrenzt sein können.
• Der Aliasingfehler wird durch eine feinere Abtastung  $($also:   kleineres  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm P})$  kleiner. Dies erreicht man bei gleichbleibendem  $T_{\rm A}$  – um den Abbruchfehler nicht anwachsen zu lassen – allerdings nur durch ein größeres  $N$  und damit einen größeren Rechenaufwand.

Das folgende  $\text{Beispiel 3}$  zeigt einen solchen Aliasingfehler aufgrund falsch gewählter DFT–Parameter:

• Gegenüber dem „Vergleichssystem” gemäß  $\text{Beispiel 1}$  ist  $T_{\rm A}$  zu groß und  $f_{\rm A}$  zu klein dimensioniert.
• Die Stützstellenanzahl ist in beiden Fällen  $N = 16$.

Aliasingfehler bei einer DFT mit  $N = 16$

$\text{Beispiel 3:}$  Die DFT–Parameter seien  $N = 16$  und  $f_{\rm A} \cdot T= 0.125$. Somit ergibt sich für die drei anderen DFT–Parameter:

• $T_{\rm P}/T = 8.0 \hspace{0.5cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ T_{\rm P}/T = 4)$,
• $f_{\rm P} \cdot T = 2.0 \hspace{0.45cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ f_{\rm P} \cdot T = 4)$,
• $T_{\rm A}/T = 0.5\hspace{0.45cm} \text{(Beispiel 1:} \ \ T_{\rm A}/T = 0.25)$.

Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:

• Der Abbruchfehler spielt wegen  $T_{\rm P} /T = 8$  weiterhin keine Rolle (schon  $T_{\rm P} /T = 4$  war ausreichend).
• Wegen  $f_{\rm P} \cdot T = 2$  entsteht nun allerdings Aliasing, weil die DFT von der Summe vieler Gaußfunktionen im Abstand  $f_{\rm P} \cdot T = 2$  ausgeht (dünn gestrichelte Kurven in der Grafik ).
• Die einzelnen DFT–Koeffizienten werden unterschiedlich verfälscht:   Der mittlere DFT–Koeffizient  $($für die Frequenz  $f = 0)$  ist nahezu richtig, während die Fehler der DFT–Koeffizienten zu den Rändern hin deutlich zunehmen.
• Im betrachteten Beispiel ist der DFT–Koeffizient für  $f \cdot T = -1$  doppelt so groß als er sein sollte, da die Gaußfunktion mit dem Zentrum bei  $f \cdot T = -2$  den gleichen Beitrag liefert wie die eigentliche Gaußfunktion um  $f \cdot T = 0$  (siehe gelbe Hinterlegung).

Somit ergibt sich hier mit  $\text{MQF} \approx 2 \cdot 10^{-4}$  ein viermal größerer Fehlerwert als durch den Abbruchfehler im  $\text{Beispiel 2}$.

Wir verweisen nochmals auf das Lernvideo  Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.3: Mittlerer Quadratischer Fehler

Aufgabe 5.3Z: Zero-Padding