Aufgaben:Exercise 3.7Z: Rectangular Signal with Echo

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Sendesignal $s(t)$ & Signal $r(t)$ mit Echo

Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal  $s(t)$  mit den möglichen Amplitudenwerten  $0\text{ V}$  und  $2\text{ V}$  und der Periodendauer  $T_0 = T = 1 \text{ ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei  $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils  $1\text{ V}$. Der Gleichanteil $($also der Fourierkoeffizient  $A_0)$  des Signals ist ebenfalls  $1\text{ V}$.

Weiter gilt:

• Aufgrund der Symmetrie (gerade Funktion) sind alle Sinuskoeffizienten  $B_n = 0$.

• Die Koeffizienten  $A_n$  mit geradzahligem  $n$  sind ebenfalls Null.

• Für ungeradzahlige Werte von  $n$  gilt hingegen:

$$A_n = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2} \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$

Das Signal  $s(t)$  gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze):

• Einmal auf dem direkten Pfad und zum zweiten über einen Nebenpfad.
• Letzterer ist durch den Dämpfungsfaktor  $\alpha$  und die Laufzeit  $\tau$  gekennzeichnet.
• Daher gilt für das Empfangssignal:

$$r(t) = s(t) + \alpha \cdot s( {t - \tau } ).$$

Der Frequenzgang des Kanals ist  $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit  $h(t)$  bezeichnet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Faltungssatz und Faltungsoperation.
• Wichtige Informationen finden Sie insbesondere auf der Seite  Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion.

Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Impulsantwort  $h(t)$  zu?

	Für  $0 ≤ t < \tau$  gilt  $h(t) = 1$, für  $t > \tau$  ist  $h(t) = 1 + \alpha$.
	Es gilt  $h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t - \tau)$.
	$h(t)$  hat einen gaußförmigen Verlauf.

2

Berechnen Sie das Signal  $r(t)$  für die Kanalparameter  $\alpha = -0.5$  und  $\tau = T/4$.
Welche Werte ergeben sich zu den angegebenen Zeiten?

$r(t = 0.2 \cdot T)\ = \ $  $\text{V}$

$r(t = 0.3 \cdot T)\ = \ $  $\text{V}$

3

Berechnen Sie das Signal  $r(t)$  mit  $\alpha = 1$  und  $\tau = T/2$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich.
Welcher Wert ergibt sich bei  $t = T/2$?

$r(t = T/2)\ = \ $  $\text{V}$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

• Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal  $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt  $t = 0$  anliegt:

$$h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta( {t - \tau } ).$$

Faltung von Rechtecksignal  $s(t)$  und Impulsantwort  $h(t)$

(2)  Es gilt  $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:

Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein:

• $0.00 < t/T < 0.25\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = +1\hspace{0.02cm}\text{ V}$,
• $0.25 < t/T < 0.50\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
• $0.50 < t/T < 0.75\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = 0 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
• $0.75 < t/T < 1.00\text{:}\hspace{0.4cm} r(t) = +2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$.

Die gesuchten Werte sind somit

$$r(t = 0.2 \cdot T) \hspace{0.15cm}\underline{= +1 \hspace{0.02cm}\text{ V}},$$

$$r(t = 0.3 · T) \hspace{0.15cm}\underline{= -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}}.$$

(3)  Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter (2) erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$:

• Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t - T/2)$ vollständig aufgefüllt.
• Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten.
• Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$:

$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$

• Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw..
• Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real– als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null.
• Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$:

$$R(f) = A_0 \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$

Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$.