Applets:Period Duration of Periodic Signals

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Applet Descripition

Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

• Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert:   $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
• Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
• Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.

Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals (derzeit noch nicht realisiert) .

Theoretical background

• Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt:   $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.

• Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.

$\text{Berechnungsvorschrift:}$  Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$

wobei „ggT” den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.

$\text{Beispiele:}$   Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:

(a)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.0$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$   ⇒   $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(c)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d)   $f_1' = 0.9$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$   ⇒   $T_0 = 10.0 \ \rm ms$;

(e)   $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$   ⇒   $T_0 \to \infty$  ⇒   Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.

$\text{Anmerkung:}$  Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

(c)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$,   $T_2 = 0.4\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel

(a)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Exercises

• First select the number  (1, 2, ... )  of the exercise.
  
• An exercise description is displayed.  Parameter values are adjusted.
  
• Solution after pressing "Show solution".
  
• The number  0  corresponds to a  "Reset":  Same setting as at the program start.
  
• $A_1'$  and  $A_2'$  denote the signal amplitudes normalized to  $1\ \rm V$.
  
• $f_0'$,  $f_1'$  and  $f_2'$  are the frequencies normalized to  $1\ \rm kHz$.

(1)   Consider  $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ$.  How large is the period  $T_0$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$   due to   $\rm{gcd}(2.0, 2.5) = 0.5$.

(2)   Vary  $\varphi_1$  and  $\varphi_2$  in the whole possible range  $\pm 180^\circ$.  How does this affect the period  $T_0$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$  remains the same for all  $\varphi_1$  and  $\varphi_2$.

(3)   Select the default setting   ⇒   "Recall Parameters".  Vary  $A_1'$  in the entire possible range  $0 \le A_1' \le 1$.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$  remains the same with the exception of  $A_1' =0$.  In the latter case:  $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

(4)   Choose the default setting   ⇒   "Recall Parameters"  and vary  $f_2'$.  Does this affect  $T_0$?  Which value is the result for  $f_2' = 0.2$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period jumps back and forth.  For  $f_2' = 0.2$  the result is  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  because of $\ \rm{gcd} (2.0,0.2)=0.2$. .

(5)   Consider  $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 0.2, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ$.  How large is the period  $T_0$?  Save this setting with  "Store Parameters".

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is  $T_0 = 10.0 \ \rm ms$    due to  $\rm{gcd}(0.2, 2.5) = 0.1$.

(6)   Select the last setting   ⇒  "Recall Parameters"  and change  $f_2' = 0.6$.  Save this setting with  "Store Parameters".

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  due to  $\rm{gcd}(0.2,0.6) = 0.2$.

(7)   How large is the maximum signal value  $x_{\rm max}$  with the same settings?`

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.38 \ {\rm V} < A_1 + A_2$  with  $t_* = 0.3 \ \rm ms$  and  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

(8)   What changes with  $\varphi_2 = 0^\circ$   ⇒   Sum of two cosine waves?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ $t_* = 0$,  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  ⇒   $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ {\rm V}=A_1 + A_2$.

(9)   Now consider  $\varphi_1 = \varphi_2 = 90^\circ$   ⇒   Sum of two sine waves?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The maximum signal value is now  $x_{\rm{max}} = 1.07 \ \rm V < A_1 + A_2$.  This value results from  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  and  $t_* = 0.6 \ \rm ms$  or  $t_* = 1.9 \ \rm ms$.

Applet Manual

Screenshot

    (A)     Parametereingabe per Slider

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Variationsmöglichkeit für die graphische Darstellung

    (D)     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

    (F)     Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

    (G)     Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

    (H)     Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

Details zum obigen Punkt (C)

    (*)   Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

    (*)   Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

    (*)   Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

    (*)   Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

About the Authors

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
• 2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet   ⇒   Applet-Variante 1.
• Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.

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