Signal Representation/Analytical Signal and its Spectral Function

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3. Analytical Signal and its Spectral Function

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Definition in the Frequency Domain

We consider a real bandpass-like signal  $x(t)$  with the corresponding bandpass spectrum  $X(f)$, which has an even real and an odd imaginary part with respect to the frequency zero point. It is assumed that the carrier frequency  $f_{\rm T}$  is much larger than the bandwidth of the bandpass signal  $x(t)$ .

$\text{Definition:}$  The time function belonging to the physical signal  $x(t)$  analytical signal  $x_+(t)$  is that time function, whose spectrum fulfills the following property

Analytical Signal in the Frequency Domain

$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

The so called „signum function” is for positive values of  $f$  equal to  $+1$  and for negative  $f$-values equal to  $-1$.

• The (double sided) limit value returns  $\sign(0) = 0$.
• The index "+" should make clear that  $X_+(f)$  has only parts at positive frequencies.

From the graphic you can see the calculation rule for  $X_+(f)$:

The actual bandpass spectrum  $X(f)$  will

• doubled at the positive frequencies, and
• set to zero at the negative frequencies.

Example of a Spectrum of an Analytical Signal

$\text{Example 1:}$ 

The graphic

• at left shows the (complex) spectrum  $X(f)$  of the bandpass signal

$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$

• and on the right the (complex) spectrum of the analytical signal  $x_{+}(t)$.

Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich

To Derive the Analytical Signal

Now we will take a closer look at the spectrum  $X_+(f)$  of the analytical signal and divide it into a with respect to  $f = 0$  even part  $X_{\rm +g}(f)$  and an odd part  $X_{\rm +u}(f)$ :

$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$

All these spectra are generally complex.

If one considers the nbsp; Mapping Theorem  of the Fourier transform, then the following statements are possible on the basis of the graphic:

• Der gerade Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  von  $X_{+}(f)$  führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  zu einem imaginären.
• Es ist offensichtlich, dass  $X_{\rm +g}(f)$  gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum  $X(f)$  und damit der Realteil von  $x_{\rm +g}(t)$  gleich dem vorgegebenen Signal  $x(t)$  mit Bandpasseigenschaften ist.
• Bezeichnen wir den Imaginärteil mit  $y(t)$, so lautet das analytische Signal:

$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$

• Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem  Zuordnungssatz  gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:

$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$

• Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die  Faltungsoperation, und man erhält:

$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star \hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Darstellung mit der Hilberttransformation

An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch  Lineare zeitinvariante Systeme  noch eingehend behandelt wird.

$\text{Definition:}$  Für die  Hilberttransformierte  $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  gilt:

$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

• Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des  Cauchy–Hauptwertsatzes  ausgewertet werden.

• Entsprechend gilt im Frequenzbereich:

$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$

Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:

• Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal  $x(t)$  das analytische Signal  $x_+(t)$, indem man zu  $x(t)$  einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:

$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

• Die Hilberttransformierte  $\text{H}\{x(t)\}$  verschwindet nur für den Fall  $x(t) = \rm const.$   ⇒   Gleichsignal Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal  $x_+(t)$  somit stets komplex.
• Aus dem analytischen Signal  $x_+(t)$  kann das reale Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:

$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$

$\text{Beispiel 2:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:

• Nach der linken Darstellung  $\rm (A)$  kommt man vom physikalischen Signal  $x(t)$  zum analytischen Signal  $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil  ${\rm j} \cdot y(t)$  hinzufügt.
• Hierbei ist  $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums  $X(f)$  mit  $- {\rm j} \cdot \sign(f)$  angeben lässt.

Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten

Die rechte Darstellung  $\rm (B)$  ist äquivalent zu  $\rm (A)$:

• Nun gilt  $x_+(t) = x(t) + z(t)$  mit der rein imaginären Funktion  $z(t)$.
• Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich  $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$  ist.

Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung

Die Spektralfunktion  $X(f)$  einer harmonischen Schwingung  $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$  besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen

• $+f_{\rm T}$  mit dem komplexen Gewicht  $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
• $-f_{\rm T}$  mit dem komplexen Gewicht  $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.

Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals  $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz  $f =-f_{\rm T})$:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm T}) .$$

Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des  Verschiebungssatzes:

$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$  drehenden Zeiger.

$\text{Beispiel 3:}$  Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um  $90^\circ$  nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:

• Zum Startzeitpunkt  $t = 0$  liegt der Zeiger der Länge  $A$  (Signalamplitude) mit dem Winkel  $-\varphi$  in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt  $\varphi = 45^\circ$.
• Für Zeiten  $t > 0$  dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)  $\omega_{\rm T}$  in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
• Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius  $A$  und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit  $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung  $x(t)$.
• Die Projektion des analytischen Signals  $x_+(t)$  auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von  $x(t)$.

Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen

Für die weitere Beschreibung gehen wir für das analytische Signal von folgendem Spektrum aus:

$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$

Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel  $I = 3$. Wählt man  $I$  relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen  $X_+(f)$  angenähert werden.

Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei Schwingungen

Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:

$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

Zu dieser Grafik anzumerken:

• Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt  $t = 0$  entsprechend den Amplituden  $A_i$  und den Phasenlagen  $\varphi_i$.
• Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt  $t = 0$:

$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1 \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$

• Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
• Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei

$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\ & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx 1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$

• Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.

Das interaktive Applet  Physikalisches Signal & Analytisches Signal  verdeutlicht  $x_+(t)$  für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung

Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator

Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM

Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM