Theory of Stochastic Signals/Further Distributions

1. Theory of Stochastic Signals
2. Kontinuierliche Zufallsgrößen
3. Further Distributions

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Rayleigh PDF

$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  nennt man  rayleighverteilt, wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für  $x \ge 0$  mit dem Verteilungsparameter  $λ$  den folgenden Verlauf hat:

$$f_{x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot {\rm e}^{-x^2 / ( 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\lambda^2) } .$$

Der Name geht auf den englischen Physiker  John William Strutt  zurück, dem „dritten Baron Rayleigh”.  1904 erhielt er den Physik–Nobelpreis.

• Die Rayleighverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine zentrale Rolle.  Solche Kanäle werden im Buch  Mobile Kommunikation  beschrieben.
• So weist „nichtfrequenzselektives Fading” eine solche Verteilung auf, wenn zwischen der Basisstation und dem mobilen Teilnehmer keine Sichtverbindung besteht.

Charakteristische Eigenschaften der Rayleighverteilung:

• Eine rayleighverteilte Zufallsgröße  $x$  kann keine negativen Werte annehmen.
• Der theoretisch mögliche Wert  $x = 0$  tritt auch nur mit der Wahrscheinlichkeit „Null” auf.
• Das  $k$-te Moment einer rayleighverteilten Zufallsgröße  $x$  ergibt sich allgemein zu

$$m_k=(2\cdot \lambda^{\rm 2})^{\it k/\rm 2}\cdot {\rm \Gamma}( 1+ {\it k}/{\rm 2}) \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm \Gamma}(x)= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot {\rm e}^{-t} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$

• Daraus lassen sich der Mittelwert  $m_1$  und die Streuung  $\sigma_1$  folgendermaßen berechnen:

$$m_1=\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\rm \Gamma}(1.5) = \sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\sqrt{\pi}}/{2} =\lambda\cdot\sqrt{{\pi}/{2}},$$

$$m_2=2 \lambda^2 \cdot {\rm \Gamma}(2) = 2 \lambda^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma = \sqrt{m_2 - m_1^2} =\lambda\cdot\sqrt{2-{\pi}/{2}}.$$

• Zur Modellierung einer rayleighverteilten Zufallsgröße  $x$  verwendet man zum Beispiel zwei gaußverteilte, mittelwertfreie und statistisch unabhängige Zufallsgrößen  $u$  und  $v$, die beide die Streuung  $σ = λ$  aufweisen.  Die Größen  $u$  und  $v$  werden dann wie folgt verknüpft:

$$x=\sqrt{u^2+v^2}.$$

Mustersignal und WDF einer rayleighverteilten Zufallsgröße

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt

• den Zeitverlauf  $x(t)$  einer rayleighverteilten Zufallsgröße sowie
• die zugehörige Dichtefunktion  $f_{x}(x)$.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Die Rayleigh–WDF ist stets unsymmetrisch.
• Der Mittelwert  $m_1$  liegt etwa  $25\%$  oberhalb des WDF-Maximums.
• Das WDF-Maximum tritt bei  $x = λ$  auf.

Rice PDF

Auch die Riceverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine wichtige Rolle, unter anderem auch deshalb,

• weil  nichtfrequenzselektives Fading  dann riceverteilt ist,
• wenn zwischen der Basisstation und dem Mobilteilnehmer eine  Sichtverbindung  besteht.

$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  nennt man  riceverteilt, wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für  $x > 0$  den folgenden Verlauf hat:

$$f_{\rm x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot{\rm e}^{-({C^2+\it x^{\rm 2} })/ ({\rm 2 \it \lambda^{\rm 2} })}\cdot {\rm I_0}(\frac{\it x\cdot C}{\lambda^{\rm 2} }) \hspace{0.4cm}{\rm mit} \hspace{0.4cm} {\rm I_0}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x/2)^{2k} }{k! \cdot {\rm \Gamma ({\it k}+1)} }.$$

${\rm I_0}( ... )$ bezeichnet die  modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung.

Der Name geht auf den Mathematiker und Logiker  Henry Gordon Rice  zurück. Er lehrte als Mathematikprofessor an der University of New Hampshire.

Charakteristische Eigenschaften der Riceverteilung:

• Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter  $C$  ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente.  Je größer der Quotient  $C/λ$  ist, desto mehr nähert sich der  Rice–Kanal dem Gauß–Kanal an.  Für  $C = 0$  geht die Riceverteilung in die  Rayleighverteilung über.
• Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment  $m_k$  deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar.  Ist jedoch  $λ$  sehr viel kleiner als  $C$, so gilt  $m_1 ≈ C$  und  $σ ≈ λ$.
• Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine  Gaußverteilung  mit Mittelwert  $C$  und Streuung  $λ$  angenähert werden.
• Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße  $x$  verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen  $(u$  und/oder  $v$ )  einen Mittelwert ungleich Null aufweisen.

$$x=\sqrt{u^2+v^2}\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}|m_u| + |m_v| > 0 .$$

Mustersignal und WDF einer riceverteilten Zufallsgröße

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt den zeitlichen Verlauf einer riceverteilten Zufallsgröße  $x$  sowie deren Dichtefunktion  $f_{\rm x}(x)$, wobei  $C/λ = 2$  gilt.

• Etwas salopp ausgedrückt:   Die Riceverteilung ist ein Kompromiss zwischen der Rayleigh– und der Gaußverteilung.
• Der Mittelwert  $m_1$  ist hier etwas größer als  $C$.

Mit dem interaktiven Applet  WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen  können Sie sich unter anderem die Kenngrößen  $($WDF, VTF, Momente$)$  der Rayleigh– sowie der Riceverteilung anzeigen lassen.

Cauchy PDF

$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  nennt man  cauchyverteilt, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) und die Verteilungsfunktion (VTF) mit dem Verteilungsparameter  $λ$  folgende Form haben:

$$f_{x}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\lambda}{\lambda^2+x^2},$$

$$F_{x}(r)={\rm 1}/{2}+{\rm arctan}({r}/{\lambda}).$$

Manchmal wird in der Literatur auch noch ein Mittelwert  $m_1$  berücksichtigt.

Der Name geht auf den französischen Mathematiker  Augustin-Louis Cauchy  zurück, ein Pionier der Analysis, der die von  Gottfried Wilhelm Leibniz  und  Sir Isaac Newton  aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen formal bewies.  Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.

Die Cauchyverteilung hat weniger praktische Bedeutung für die Nachrichtentechnik, ist mathematisch aber sehr interessant.

Sie weist in der symmetrischen Form  $($mit Mittelwert  $m_1 = 0)$  folgende Eigenschaften auf:

• Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente  $m_k$  für gerades  $k$  einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter  $λ$.

• Damit besitzt diese Verteilung auch eine unendlich große Varianz  $\sigma^2 = m_2$   ⇒   Leistung.
• Deshalb ist es offensichtlich, dass keine physikalische Größe cauchyverteilt sein kann.
• Der Quotient  $u/v$  zweier unabhängiger gaußverteilter mittelwertfreier Größen  $u$  und  $v$  ist mit dem Verteilungsparameter  $λ = σ_u/σ_v$  cauchyverteilt.
• Eine cauchyverteilte Zufallsgröße  $x$  kann aus einer zwischen  $\pm1$  gleichverteilten Größe  $u$  durch folgende  nichtlineare Transformation erzeugt werden:

$$x=\lambda \cdot {\tan}( {\pi}/{2}\cdot u).$$

• Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades  $k$  alle Momente  $m_k = 0$, wenn man vom „Cauchy Principal Value” ausgeht.
• Somit gilt auch für den Mittelwert  $m_X = 0$  und die Charliersche Schiefe  $S_X = 0$.

WDF einer cauchyverteilten Zufallsgröße

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt den typischen Verlauf der Cauchy-WDF.

• Zu erkennen ist der langsame Abfall dieser Funktion zu den Rändern hin.
• Da dieser asymptotisch mit  $1/x^2$  erfolgt, sind die Varianz und alle Momente höherer Ordnung (mit geradzahligem Index) unendlich groß.

Tschebyscheffsche Ungleichung

Bei einer Zufallsgröße  $x$  mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{x}(x)$  kann die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $x$  betragsmäßig um mehr als einen Wert  $ε$  von ihrem Mittelwert  $m_{x}$  abweicht, entsprechend der in diesem Kapitel allgemein beschriebenen Weise exakt berechnet werden.

rechts

• Ist neben dem Mittelwert  $m_{x}$  zwar noch die Streuung  $σ_{x}$  bekannt, nicht jedoch der exakte WDF-Verlauf  $f_{x}(x)$, so lässt sich für diese Wahrscheinlichkeit zumindest eine obere Schranke angeben:

$${\rm Pr}(|x - m_{\rm x}|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma_{x}^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}. $$

• Diese von  Pafnuti L. Tschebyscheff  angegebene Schranke – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” – ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.  Sie sollte deshalb nur bei unbekanntem Verlauf der WDF  $f_{x}(x)$  angewendet werden.

$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen von einer gaußverteilten und mittelwertfreien Zufallsgröße  $x$  aus.

• Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass deren Betrag  $\vert x \vert $  größer als die dreifache Streuung  $(3 · σ_{x})$  ist, einfach berechenbar.  Ergebnis:  ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$
• Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier als eine obere Schranke den deutlich zu großen Wert  $1/9 ≈ 0.111$.
• Diese Schranke nach Tschebyscheff würde für jede beliebige WDF–Form ebenfalls gelten.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.10: Rayleighfading

Aufgabe 3.10Z: Rayleigh? Oder Rice?

Aufgabe 3.11: Tschebyscheffsche Ungleichung

Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung