Information Theory/AWGN Channel Capacity for Discrete-Valued Input

1. Information Theory
2. Wertkontinuierliche Informationstheorie
3. AWGN Channel Capacity for Discrete-Valued Input

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AWGN model for discrete-time band-limited signals

At the end of the  last chapter , the AWGN model was used according to the left graph, characterised by the two random variables  $X$  and  $Y$  at the input and output and the stochastic noise  $N$  as the result of a mean-free Gaussian random process   ⇒   „White noise” with variance  $σ_N^2$.  The interference power  $P_N$  is also equal toh  $σ_N^2$.

Two largely equivalent models for the AWGN channel

The maximum mutual information  $I(X; Y)$  between input and output   ⇒   channel capacity  $C$  is obtained when there is a Gaussian input PDF $f_X(x)$  vorliegt.  With the transmit power  $P_X = σ_X^2$   ⇒   variance of the random variable  $X$ , the channel capacity equation is:

$$C = 1/2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + {P_X}/{P_N}) \hspace{0.05cm}.$$

Now we describe the AWGN channel model according to the case sketched on the right, where the sequence  $〈X_ν〉$  is applied to the channel input, where the distance between successive values is  $T_{\rm A}$ .  This sequence is the discrete-time equivalent of the continuous-time signal  $X(t)$  after band limiting and sampling.

The relationship between the two models can be established by means of a graph, which is described in more detail below.

  The  $\text{important insights}$ :

• In the right-hand model, the same relationship  $Y_ν = X_ν + N_ν$  applies at the sampling times  $ν·T_{\rm A}$  as in the left-hand model.
• The noise component  $N_ν$  is now to be modelled by band-limited  $($auf  $±B)$  white noise with the two-sided power density  ${\it Φ}_N(f) = N_0/2$ , where  $B = 1/(2T_{\rm A})$  must hold   ⇒  see   sampling theorem.

$\text{ Interpretation:}$

In the modified model, we assume an infinite sequence  $〈X_ν〉$  of Gaussian random variables impressed on a  Diracpuls  $p_δ(t)$  .  The resulting discrete-time signal is thus:

$$X_{\delta}(t) = T_{\rm A} \cdot \hspace{-0.1cm} \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} X_{\nu} \cdot \delta(t- \nu \cdot T_{\rm A} )\hspace{0.05cm}.$$

The spacing of all (weighted) Dirac functions is uniform  $T_{\rm A}$.

AWGN model considering time discretisation and band limitation

Through the interpolation filter with the impulse response  $h(t)$  as well as the frequency response  $H(f)$, where

$$h(t) = 1/T_{\rm A} \cdot {\rm si}(\pi \cdot t/T_{\rm A}) \quad \circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \le B, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| > B, \\ \end{array} \hspace{0.5cm} B = \frac{1}{T_{\rm A}}$$

must hold, the continuous-time signal  $X(t)$  is obtained with the following properties:

• The samples  $X(ν·T_{\rm A})$  are identical to the input values  $X_ν$ for all integers $ν$  , which can be justified by the equidistant zeros of the  sinc - function   ⇒   $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ .
• According to the sampling theorem,  $X(t)$  is ideally bandlimited to the spectral range  $±B$ , as the above calculation has shown   ⇒   rectangular frequency response  $H(f)$  of the one-sided bandwidth  $B$.

$\text{Noise power:}$  After adding the noise  $N(t)$  with the (two-sided) power density   ${\it Φ}_N(t) = N_0/2$  , the matched filter  $\rm (MF)$  with sinc–shaped impulse response follows.  The following then applies to the  noise power at the MF output :

$$P_N = {\rm E}\big[N_\nu^2 \big] = \frac{N_0}{2T_{\rm A} } = N_0 \cdot B\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Proof:}$  With  $B = 1/(2T_{\rm A} )$  one obtains for the impulse response  $h_{\rm E}(t)$  and the spectral function  $H_{\rm E}(f)$:

$$h_{\rm E}(t) = 2B \cdot {\rm si}(2\pi \cdot B \cdot t) \quad \circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad H_{\rm E}(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} \text{für} \hspace{0.3cm} \vert f \vert \le B, \\ \text{für} \hspace{0.3cm} \vert f \vert > B. \\ \end{array} $$

It follows, according to the insights of  theory of stochastic signals:

$$P_N = \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.3cm} {\it \Phi}_N (f) \cdot \vert H_{\rm E}(f)\vert^2 \hspace{0.15cm}{\rm d}f = \int_{-B}^{+B} \hspace{-0.3cm} {\it \Phi}_N (f) \hspace{0.15cm}{\rm d}f = \frac{N_0}{2} \cdot 2B = N_0 \cdot B \hspace{0.05cm}.$$

Further:

• If one samples the matched–filter output signal at equidistant intervals   $T_{\rm A}$ , the same constellation as before results for the time instants  $ν ·T_{\rm A}$ , namely:   $Y_ν = X_ν + N_ν$.

• The noise component  $N_ν$  in the discrete-time output signal   $Y_ν$  is thus „band limited” and „white”.  The channel capacity equation thus needs to be adjusted only slightly.

• With  $\text{energy per symbol}$   $E_{\rm S} = P_X \cdot T_{\rm A}$   ⇒   transmission energy within a „symbol duration”  $T_{\rm A}$  then holds:

$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac {P_X}{N_0 \cdot B}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac {2 \cdot P_X \cdot T_{\rm A}}{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac {2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) \hspace{0.05cm}.$$

The channel capacity  $C$  as a function of  $E_{\rm S}/N_0$

$\text{Example 1:}$  The graph shows the variation of the AWGN channel capacity as a function of the quotient  $E_{\rm S}/N_0$, where the left coordinate axis and the red labels are valid:

$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S} }{N_0}) \hspace{0.5cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Kanalzugriff\hspace{0.15cm} (englisch\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/channel\hspace{0.15cm}use)} \hspace{0.05cm}.$$

The (pseudo–)unit is sometimes also referred to as „bit/source symbol” or „bit/symbol” for short.

Channel capacities  $C$  and  $C^{\hspace{0.05cm}*}$  via  $E_{\rm S}/N_0$

The right (blue) axis label takes into account the relation  $B = 1/(2T_{\rm A})$  and thus provides an upper bound for the bit rate  $R$  a digital system that is still possible for this AWGN channel.

$$C^{\hspace{0.05cm}*} = \frac{C}{T_{\rm A} } = B \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S} }{N_0}) \hspace{1.0cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/second} \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Example 2:}$  Often one gives the quotient of symbol energy  $(E_{\rm S})$  and AWGN noise power density  $(N_0)$  logarithmically.

AWGN channel capacities  $C$  and  $C^{\hspace{0.05cm}*}$  as a function of  $10 \cdot \lg \ E_{\rm S}/N_0$

• This graph shows the channel capacitances  $C$  and  $C^{\hspace{0.05cm}*}$  respectively as a function of  $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0)$  in the range from  $-20 \ \rm dB$  to  $+30 \ \rm dB$.
• From about  $10 \ \rm dB$  onwards, a (nearly) linear curve results here.

System model for the interpretation of the AWGN channel capacity

In order to discuss the  channel coding theorem  in the context of the AWGN channel, we still need an „encoder”, but here it is characterized in information-theoretic terms by the code rate  $R$  alone.

Model for the interpretation of the AWGN channel capacity

Die Grafik beschreibt das von Shannon betrachtete Nachrichtensystem mit den Blöcken Quelle, Coder, (AWGN–)Kanal, Decoder und Empfänger.  Im Hintergrund erkennt man ein Originalbild aus einem Aufsatz über die Shannon–Theorie.  Rot eingezeichnet wurden von uns einige Bezeichnungen und Erläuterungen für den folgenden Text:

• Das Quellensymbol  $U$  entstammt einem Alphabet mit  $M_U = |U| = 2^k$  Symbolen und kann durch  $k$  gleichwahrscheinliche statistisch unabhängige Binärsymbole repräsentiert werden.
• Das Alphabet des Codesymbols  $X$  hat den Symbolumfang  $M_X = |X| = 2^n$, wobei sich  $n$  aus der Coderate  $R = k/n$  ergibt.
• Für die Coderate  $R = 1$  gilt somit  $n = k$  und der Fall  $n > k$  führt zu einer Coderate  $R < 1$.

  $\rm Kanalcodierungstheorem$ 

Dieses besagt, dass es (mindestens) einen Code der Rate  $R$  gibt, der zur Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} = \text{Pr}(V ≠ U) \equiv 0$  führt, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Die Coderate  $R$  ist nicht größer als die Kanalkapazität  $C$.
• Ein solcher geeigneter Code ist unendlich lang:   $n → ∞$.  Deshalb ist auch tatsächlich eine Gaußverteilung  $f_X(x)$  am Kanaleingang möglich, die der bisherigen Berechnung der AWGN–Kanalkapazität stets zugrunde gelegt wurde:

$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S} }{N_0}) \hspace{0.5cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Kanalzugriff\hspace{0.15cm} (englisch\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/channel \hspace{0.15cm}use)} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Kanaleingangsgröße  $X$  ist also wertkontinuierlich.  Gleiches gilt für  $U$  und für die Größen  $Y$,  $V$  nach dem AWGN–Kanal.

• Für einen Systemvergleich ist die Energie pro Symbol  $(E_{\rm S} )$  allerdings ungeeignet.  Ein Vergleich sollte vielmehr auf der Energie  $E_{\rm B}$  pro Informationsbit   ⇒   kurz:  $\text{Energie pro Bit}$  basieren.  Mit  $E_{\rm B} = E_{\rm S}/R$  gilt somit auch:

$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B} }{N_0}) \hspace{0.2cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Kanalzugriff\hspace{0.1cm} (englisch\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/channel \hspace{0.15cm}use)} \hspace{0.05cm}.$$

Diese beiden Gleichungen werden auf der nächsten Seite diskutiert.

Die Kanalkapazität  $C$  als Funktion von  $E_{\rm B}/N_0$

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zu diesem Beispiel zeigt die AWGN–Kanalkapazität  $C$  als Funktion

• von  $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0)$   ⇒   roter Kurvenverlauf:

$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S} }{N_0}) \hspace{1.5cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Kanalzugriff\hspace{0.15cm} (oder\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Symbol)} \hspace{0.05cm}.$$

            $\text{Rote Zahlen:}$   Kapazität  $C$  in  „$\rm bit/Symbol$”  für   $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = -20 \ \rm dB, -15 \ \rm dB$, ... , $+30\ \rm dB$.

• von  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$   ⇒   grüner Kurvenverlauf:

$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B} }{N_0}) \hspace{1.2cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Kanalzugriff\hspace{0.1cm} (oder \hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Symbol)} \hspace{0.05cm}.$$

            $\text{Grüne Zahlen:}$   Erforderliches  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$  in  „$\rm dB$” für    $C = 0,\ 1$,  ... ,  $5$  in „$\rm bit/Symbol$”.

Die ausführliche  $C(E_{\rm B}/N_0)$–Berechnung finden Sie in der  Aufgabe 4.8  und der zugehörigen Musterlösung.

Die AWGN–Kanalkapazität in zwei unterschiedlichen Darstellungen

Im Folgenden interpretieren wir das (grüne)  $C(E_{\rm B}/N_0)$–Ergebnis im Vergleich zur (roten)  $C(E_{\rm S}/N_0)$–Kurve:

• Wegen  $E_{\rm S} = R · E_{\rm B}$  liegt der Schnittpunkt beider Kurven bei  $C (= R) = 1$ (bit/Symbol).  Erforderlich sind  $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = 1.76\ \rm dB$  bzw.  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 1.76\ \rm dB$  gleichermaßen.
• Im Bereich  $C > 1$  liegt die grüne Kurve stets über der roten.  Beispielsweise ergibt sich für  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 20\ \rm dB$  die Kanalkapazität  $C ≈ 5$, für  $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = 20\ \rm dB$  nur  $C = 3.83$.
• Ein Vergleich in horizontaler Richtung zeigt, dass die Kanalkapazität  $C = 3$  bit/Symbol schon mit  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) \approx 10\ \rm dB$  erreichbar ist, man aber  $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) \approx 15\ \rm dB$  benötigt.
• Im Bereich  $C < 1$  liegt die rote Kurve stets über der grünen.  Für jedes  $E_{\rm S}/N_0 > 0$  gilt  $C > 0$.  Bei logarithmischer Abszisse wie in der vorliegenden Darstellung reicht somit die rote Kurve bis ins „Minus–Unendliche”.
• Dagegen endet die grüne Kurve bei  $E_{\rm B}/N_0 = \ln (2) = 0.693$   ⇒   $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)= -1.59 \rm dB$   ⇒   absolute Grenze für die (fehlerfreie) Übertragung über den AWGN–Kanal.

AWGN–Kanalkapazität für binäre Eingangssignale

Auf den bisherigen Seiten dieses Kapitels wurde stets gemäß der Shannon–Theorie von einem gaußverteilten, also wertkontinuierlichen AWGN–Eingang  $X$  ausgegangen.  Nun betrachten wir den binären Fall und werden somit erst jetzt der Kapitel–Überschrift „AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang” gerecht.

Zur Berechnung der AWGN–Kanalkapazität für BPSK

Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Blockschaltbild für  Binary Phase Shift Keying  (BPSK) mit binärem Eingang  $U$  und binärem Ausgang  $V$.  Durch die bestmögliche Codierung soll erreicht werden, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit  $\text{Pr}(V ≠ U)$  verschwindend klein wird.

• Der Coderausgang ist gekennzeichnet durch die binäre Zufallsgröße  $X \hspace{0.03cm}' = \{0, 1\}$   ⇒   $M_{X'} = 2$, während der Ausgang  $Y$  des AWGN–Kanals weiterhin wertkontinuierlich ist:   $M_Y → ∞$.
• Durch das Mapping  $X = 1 - 2X\hspace{0.03cm} '$  kommt man von der unipolaren Darstellung zu der für BPSK besser geeigneten bipolaren (antipodalen) Beschreibung:   $X\hspace{0.03cm} ' = 0 → \ X = +1; \hspace{0.5cm} X\hspace{0.03cm} ' = 1 → X = -1$.

Bedingte WDF für
$-1$ (rot) und $+1$ (blau)

• Der AWGN–Kanal wird durch zwei bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen charakterisiert:

$$f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}=+1) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot {\rm exp}\left [-\frac{(y - 1)^2} { 2 \sigma^2})\right ] \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\text{Kurzform:} \ \ f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}+1)\hspace{0.05cm},$$

$$f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}=-1) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot {\rm exp}\left [-\frac{(y + 1)^2} { 2 \sigma^2})\right ] \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\text{Kurzform:} \ \ f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}-1)\hspace{0.05cm}.$$

• Da hier das Nutzsignal  $X$  auf  $±1$  normiert ist   ⇒   Leistung  $1$  anstelle von  $P_X$, muss die Varianz des AWGN–Rauschens  $N$  in gleicher Weise normiert werden:   $σ^2 = P_N/P_X$.
• Der Empfänger trifft aus der reellwertigen Zufallsgröße  $Y$  (am AWGN–Kanalausgang) eine  Maximum–Likelihood–Entscheidung.  Der Empfängerausgang  $V$  ist binär  $(0$  oder  $1)$.

Ausgehend von diesem Modell berechnen wir nun die Kanalkapazität des AWGN–Kanals.

Diese lautet bei einer binären Eingangsgröße  $X$  allgemein unter Berücksichtigung von  $\text{Pr}(X = -1) = 1 - \text{Pr}(X = +1)$:

$$C_{\rm BPSK} = \max_{ {\rm Pr}({X} =+1)} \hspace{-0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund des symmetrischen Kanals ist offensichtlich, dass die Eingangswahrscheinlichkeiten

$${\rm Pr}(X =+1) = {\rm Pr}(X =-1) = 0.5 $$

zum Optimum führen werden.  Gemäß der Seite  Transinformationsberechnung bei additiver Störung  gibt es mehrere Berechnungsmöglichkeiten:

$$ \begin{align*}C_{\rm BPSK} & = h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm},\\ C_{\rm BPSK} & = h(Y) - h(Y|X)\hspace{0.05cm},\\ C_{\rm BPSK} & = h(X) - h(X|Y)\hspace{0.05cm}. \end{align*}$$

Alle Ergebnisse sind noch um die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” zu ergänzen.  Wir wählen hier die mittlere Gleichung:

• Die hierfür benötigte bedingte differentielle Entropie ist gleich

$$h(Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}X) = h(N) = 1/2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(2\pi{\rm e}\cdot \sigma^2) \hspace{0.05cm}. $$

• Die differentielle Entropie  $h(Y)$  ist vollständig durch die WDF  $f_Y(y)$  gegeben.  Mit den vorne definierten und skizzierten bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen erhält man:

$$f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \big [ f_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}=-1) + f_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}=+1) \big ]\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} h(Y) \hspace{-0.01cm}=\hspace{0.05cm} -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{y \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.65cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [f_Y(y)] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm}.$$

Es ist offensichtlich, dass  $h(Y)$  nur durch numerische Integration ermittelt werden kann, insbesondere, wenn man berücksichtigt, dass sich  $f_Y(y)$  im Überlappungsbereich aus der Summe der beiden bedingten Gauß–Funktionen ergibt.

In der folgenden Grafik sind über der Abszisse  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$  drei Kurven dargestellt:

• die blau gezeichnete Kanalkapazität  $C_{\rm Gauß}$, gültig für eine Gaußsche Eingangsgröße  $X$   ⇒   $M_X → ∞$,
• die grün gezeichnete Kanalkapazität  $C_{\rm BPSK}$  für die Zufallsgröße  $X = (+1, –1)$, sowie
• die mit „BPSK ohne Codierung” bezeichnete rote Horizontale.

Die Kanalkapazitätsgrenzen  $C_{\rm BPSK}$  und  $C_{\rm Gauß}$  im Vergleich

Diese Kurvenverläufe sind wie folgt zu interpretieren:

• Die grüne Kurve  $C_{\rm BPSK}$  gibt die maximal zulässige Coderate  $R$  von  Binary Phase Shift Keying  (BPSK) an, bei der für das gegebene  $E_{\rm B}/N_0$  durch bestmögliche Codierung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} \equiv 0$  möglich ist.
• Für alle BPSK–Systeme mit den Koordinaten  $(10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0, \ R)$  im „grünen Bereich” ist  $p_{\rm B} \equiv 0$  prinzipiell erreichbar.  Aufgabe der Nachrichtentechniker ist es, hierfür geeignete Codes zu finden.
• Die BPSK–Kurve liegt stets unter der absoluten Shannon–Grenzkurve  $C_{\rm Gauß}$  für  $M_X → ∞$ (blaue Kurve).  Im unteren Bereich gilt  $C_{\rm BPSK} ≈ C_{\rm Gauß}$.  Zum Beispiel muss ein BPSK–System mit  $R = 1/2$  nur ein um  $0.1\ \rm dB$  größeres  $E_{\rm B}/N_0$  bereitstellen, als es die (absolute) Kanalkapazität  $C_{\rm Gauß}$  fordert.
• Ist  $E_{\rm B}/N_0$  endlich, so gilt stets  $C_{\rm BPSK} < 1$   ⇒   siehe  Aufgabe 4.9Z.  Eine BPSK mit  $R = 1$  (und somit ohne Codierung) wird also stets eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} > 0$  zur Folge haben.
• Die Fehlerwahrscheinlichkeiten eines solchen BPSK–Systems ohne Codierung  $($mit  $R = 1)$  sind auf der roten Horizontalen angegeben.  Um  $p_{\rm B} ≤ 10^{–5}$  zu erreichen, benötigt man mindestens  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 9.6\ \rm dB$.
• Diese Wahrscheinlichkeiten ergeben sich gemäß dem Kapitel  Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK-Systems  im Buch „Digitalsignalübertragung” zu

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{S \hspace{-0.06cm}N\hspace{-0.06cm}R}\right ) \hspace{0.45cm} {\rm mit } \hspace{0.45cm} S\hspace{-0.06cm}N\hspace{-0.06cm}R = 2\cdot E_{\rm B}/{N_0} \hspace{0.05cm}. $$

Hinweise:

• In obiger Grafik ist als zweite, zusätzliche Abszissenachse  $10 · \lg (SNR)$  eingezeichnet.
• Die Funktion  ${\rm Q}(x)$  bezeichnet man als die  komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion.

Vergleich zwischen Theorie und Praxis

Anhand zweier Grafiken soll gezeigt werden, in wie weit sich etablierte Kanalcodes der BPSK–Kanalkapazität (grüne Kurve) annähern.  Als Ordinate aufgetragen ist die Rate  $R = k/n$  dieser Codes bzw. die Kapazität  $C$  (wenn noch die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” hinzugefügt wird).

Vorausgesetzt ist:

• der AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$ in dB, und
• für die durch Kreuze markierten realisierten Codes eine  Bitfehlerrate  (BER) von  $10^{–5}$.

Zu beachten ist, dass die Kanalkapazitätskurven stets für  $n → ∞$  und  $\rm BER \equiv 0$  gelten.

• Würde man diese strenge Forderung „feherfrei” auch an die betrachteten Kanalcodes endlicher Codelänge  $n$  anlegen, so wäre hierfür stets  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) \to \infty$ erforderlich.
• Dies ist aber ein eher akademisches Problem, also wenig praxisrelevant.  Für  $\text{BER} = 10^{–10}$  ergäbe sich eine qualitativ ähnliche Grafik.

$\text{Beispiel 4:}$  In der Grafik sind die Kenndaten von frühen Systemen mit Kanalcodierung und klassischer Decodierung angegeben.

• Es folgen einige Erläuterungen zu den Daten, die der Vorlesung  [Liv10]  entnommen wurden.
• Die Links bei diesen Erläuterungen beziehen sich oft auf das  $\rm LNTwww$–Buch Channel Coding.

Raten und erforderliches  $E_{\rm B}/{N_0}$  verschiedener Kanalcodes

• Die Punkte  $\rm A$,  $\rm B$  und  $\rm C$  markieren  Hamming–Codes  der Raten  $R = 4/7 ≈ 0.57$,  $R ≈ 0.73$  bzw.  $R ≈ 0.84$.  Für $\text{BER} = 10^{–5}$  benötigen diese sehr frühen Codes (aus dem Jahr 1950) alle  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm dB$.
• Die Markierung  $\rm D$  kennzeichnet den binären  Golay–Code  mit der Rate  $R = 1/2$  und der Punkt  $\rm E$  einen  Reed–Muller–Code.  Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der  Raumsonde Mariner 9  zum Einsatz.
• Die  Reed–Solomon–Codes  (RS–Codes, ca. 1960)  sind eine Klasse zyklischer Blockcodes.  $\rm F$ markiert einen RS–Code der Rate  $223/255 \approx 0.875$  und einem erforderlichen  $E_{\rm B}/N_0 < 6 \ \rm dB$.
• $\rm G$  und  $\rm H$  bezeichnen zwei  Faltungscodes  $($englisch:  Convolutional Codes,  $\rm CC)$  mittlerer Rate.  Der Code  $\rm G$  wurde schon 1972 bei der  Pioneer 10–Mission  eingesetzt.
• Die Kanalcodierung der  Voyager–Mission  Ende der 1970er Jahre ist mit  $\rm I$  markiert. Es handelt sich um die  Verkettung  eines  $\text{(2, 1, 7)}$–Faltungscodes mit einem Reed–Solomon–Code.

Anzumerken ist, dass bei den Faltungscodes der dritte Kennungsparameter eine andere Bedeutung hat als bei den Blockcodes.  So weist beispielsweise die Kennung  $\text{(2, 1, 32)}$  auf das Memory  $m = 32$  hin.

Raten und erforderliches  $E_{\rm B}/{N_0}$  für iterative Codierverfahren

$\text{Beispiel 5:}$  Die im  $\text{Beispiel 4}$  genannten frühen Kanalcodes liegen noch relativ weit von der Kanalkapazitätskurve entfernt. 

Dies war wahrscheinlich auch ein Grund, warum dem Autor dieses Lerntutorials die auch große praktische Bedeutung der Informationstheorie verschlossen blieb, als er diese Anfang der 1970er Jahre im Studium kennengelernt hat.

Die Sichtweise hat sich deutlich verändert, als in den 1990er Jahren sehr lange Kanalcodes zusammen mit iterativer Decodierung aufkamen.  Die neuen Markierungspunkte liegen deutlich näher an der Kapazitätsgrenzkurve.
Hier noch einige Erläuterungen zu dieser Grafik:

• Rote Kreuze markieren die so genannten  Turbo–Codes  nach  $\rm CCSDS$  (Consultative Committee for Space Data Systems)  mit jeweils  $k = 6920$  Informationsbit und unterschiedlichen Codelängen  $n = k/R$.  Diese von  Claude Berrou  um 1990 erfundenen Codes können iterativ decodiert werden.  Die (roten) Markierungen liegen jeweils weniger als  $1 \ \rm dB$  von der Shannon–Grenze entfernt.
• Ähnlich verhalten sich die  LDPC–Codes  (Low Density Parity–check Codes)  mit konstanter Codelänge  $n = 64800$   ⇒   weiße Rechtecke).  Sie werden seit 2006 bei  DVB–S2  (Digital Video Broadcast over Satellite)  eingesetzt und eignen sich aufgrund der spärlichen Einsen–Belegung der Prüfmatrix sehr gut für die iterative Decodierung mittels  Faktor–Graphen  und  Exit Charts.
• Schwarze Punkte markieren die von  $\rm CCSDS$  spezifizierten  LDPC–Codes  mit konstanter Anzahl an Informationsbits  $(k = 16384)$  und variabler Wortlänge  $n = k/R$.  Diese Codeklasse erfordert ein ähnliches  $E_{\rm B}/N_0$  wie die roten Kreuze und die weißen Rechtecke.

• Um das Jahr 2000 hatten viele Forscher den Ehrgeiz, sich der Shannon–Grenze bis auf Bruchteile von einem  $\rm dB$  anzunähern.  Das gelbe Kreuz markiert ein solches Ergebnis  $(0.0045 \ \rm dB)$  von  [CFRU01]  mit einem irregulären LDPC–Code der Rate  $ R =1/2$  und der Länge  $n = 10^7$.

$\text{Fazit:}$  An dieser Stelle soll nochmals die Brillanz und der Weitblick von  Claude E. Shannon  hervorgehoben werden:

• Er hat 1948 eine bis dahin nicht bekannte Theorie entwickelt, mit der die Möglichkeiten, aber auch die Grenzen der Digitalsignalübertragung aufgezeigt werden.
• Zu dieser Zeit waren die ersten Überlegungen zur digitalen Nachrichtenübertragung gerade mal zehn Jahre alt   ⇒   Pulscodemodulation  (Alec Reeves, 1938) und selbst der Taschenrechner kam erst mehr als zwanzig Jahre später.
• Shannon's Arbeiten zeigen uns, dass man auch ohne gigantische Computer Großes leisten kann.

Kanalkapazität des komplexen AWGN–Kanals

Höherstufige Modulationsverfahren können jeweils durch eine Inphase– und eine Quadraturkomponente dargestellt werden.  Hierzu gehören zum Beispiel

• die  M–QAM    ⇒   Quadraturamplitudenmodulation;  $M ≥ 4$  quadratisch angeordnete Signalraumpunkte,
• die  M–PSK   ⇒   $M ≥ 4$  Signalraumpunkte in kreisförmiger Anordnung

Die beiden Komponenten lassen sich im  äquivalenten Tiefpassbereich  auch als  Realteil  bzw. Imaginärteil  eines komplexen Rauschterms  $N$  beschreiben.

• Alle oben genannten Verfahren sind zweidimensional.
• Der (komplexe) AWGN–Kanal stellt somit  $K = 2$  voneinander unabhängige Gaußkanäle zur Verfügung.
• Entsprechend der Seite  Parallele Gaußsche Kanäle  ergibt sich deshalb für die Kapazität eines solchen Kanals:

2D–WDF des Komplexen Gaußschen Rauschens

$$C_{\text{ Gauß, komplex} }= C_{\rm Gesamt} ( K=2) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_X/2}{\sigma^2}) \hspace{0.05cm}.$$

• $P_X$  bezeichnet die gesamte Nutzleistung von Inphase– und Quadraturkomponente.
• Dagegen bezieht sich die Varianz  $σ^2$  der Störung nur auf eine Dimension:   $σ^2 = σ_{\rm I}^2 = σ_{\rm Q}^2$.

Die Skizze zeigt die 2D–WDF  $f_N(n)$  des Gaußschen Rauschprozesses  $N$  über den beiden Achsen

• $N_{\rm I}$  (Inphase–Anteil, Realteil) und
• $N_{\rm Q}$  (Quadraturanteil, Imaginärteil).

Dunklere Bereiche der rotationssymmetrischen WDF  $f_N(n)$  um den Nullpunkt weisen auf mehr Störanteile hin.  Für die Varianz des komplexen Gaußschen Rauschens  $N$  gilt aufgrund der Rotationsinvarianz  $(σ_{\rm I} = σ_{\rm Q})$  folgender Zusammenhang:

$$\sigma_N^2 = \sigma_{\rm I}^2 + \sigma_{\rm Q}^2 = 2\cdot \sigma^2 \hspace{0.05cm}.$$

Damit lässt sich die Kanalkapazität auch wie folgt ausdrücken:

$$C_{\text{ Gauß, komplex} }= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_X}{\sigma_N^2}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + SNR) \hspace{0.05cm}.$$

Die Gleichung wird auf der nächsten Seite numerisch ausgewertet.  Man kann aber jetzt schon sagen, dass für das Signal–zu–Störleistungsverhältnis gelten wird:

$$SNR = {P_X}/{\sigma_N^2} \hspace{0.05cm}.$$

Maximale Coderate für QAM–Strukturen

Kanalkapazität von BPSK und  $M$–QAM

Die Grafik zeigt die Kapazität des komplexen AWGN–Kanals als rote Kurve:

$$C_{\text{ Gauß, komplex} }= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + SNR) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Einheit dieser Kanalkapazität ist „bit/Kanalzugriff” oder „bit/Quellensymbol”.
• Als Abszisse bezeichnet das Signal–zu–Störleistungsverhältnis  $10 · \lg (SNR)$  mit  ${SNR} = P_X/σ_N^2$.
• Die Grafik wurde  [Göb10]  entnommen.  Wir danken  Bernhard Göbel, unserem ehemaligen Kollegen am LÜT, für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.

Die rote Kurve basiert entsprechend der Shannon–Theorie wieder auf einer Gaußverteilung  $f_X(x)$  am Eingang.  Zusätzlich eingezeichnet sind zehn weitere Kapazitätskurven für wertdiskreten Eingang:

• die Kurve für  Binary Phase Shift Keying  $($BPSK, mit „1” markiert   ⇒   $K = 1)$,
• die  $M$–stufige Quadratur–Amplitudenmodulation  $($mit $M = 2^K, K = 2$, ... , $10)$.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Die BPSK–Kurve und alle  $M$–QAM–Kurven liegen rechts von der roten Shannon–Grenzkurve.  Bei kleinem  $SNR$  sind allerdings alle Kurven von der roten Kurve fast nicht mehr zu unterscheiden.
• Der Endwert aller Kurven für wertdiskrete Eingangssignale ist  $K = \log_2 (M)$.  Für  $SNR \to ∞$  erhält man beispielsweise  $C_{\rm BPSK} = 1 \ \rm bit/Symbol$  sowie  $C_{\rm 4-QAM} = C_{\rm QPSK} = 2\ \rm bit/Symbol$.
• Die blauen Markierungen zeigen, dass eine  $\rm 2^{10}–QAM$  mit  $10 · \lg (SNR) ≈ 27 \ \rm dB$  eine Coderate von  $R ≈ 8.2$  ermöglicht.  Der Abstand zur Shannon–Kurve beträgt hier  $1.53\ \rm dB$.
• Der  Shaping Gain  beträgt  $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.  Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der  $2^{10} = 32^2$  quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt   ⇒  Signal Shaping.

$\text{Fazit:}$  In der  Aufgabe 4.10  werden die AWGN–Kapazitätskurven von BPSK und QPSK diskutiert:

• Ausgehend von der Abszisse  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$  mit  $E_{\rm B}$  (Energie pro Informationsbit)  kommt man zur QPSK–Kurve durch Verdopplung der BPSK–Kurve:

$$C_{\rm QPSK}\big [10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})\big ] = 2 \cdot C_{\rm BPSK}\big [10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) \big ] .$$

• Vergleicht man aber BPSK und QPSK bei gleicher Energie  $E_{\rm S}$  pro Informationssymbol, so gilt:

$$C_{\rm QPSK}[10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm S}/{N_0})] = 2 \cdot C_{\rm BPSK}[10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm S}/{N_0}) - 3\,{\rm dB}] .$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur  $E_{\rm S}/2$  beträgt.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.8: Numerische Auswertung der AWGN-Kanalkapazität

Aufgabe 4.8Z: Was sagt die AWGN-Kanalkapazitätskurve aus?

Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation

Aufgabe 4.9Z: Ist bei BPSK die Kanalkapazität $C ≡ 1$ möglich?

Aufgabe 4.10:   QPSK–Kanalkapazität