Aufgaben:Exercise 3.6: PM or FM? Or AM?

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Zwei verschiedene Ortskurven für Winkelmodulation

Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$

angelegt, wobei die Signalamplitude stets  $A_{\rm N} = 2\ \rm V$  beträgt.

• Mit der Signalfrequenz  $f_{\rm N} = f_1 = 5 \ \rm kHz$  wird die Ortskurve  $\rm O_1$  ermittelt.
• Verwendet man die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_2$, so stellt sich die Ortskurve  $\rm O_2$  ein.

Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex  $η$  und der Modulatorkonstanten  $K_{\rm WM}$ besteht:

$$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ {K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}/({2 \pi \cdot f_{\rm N})} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Frequenzmodulation.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  Phasenmodulation.

Fragebogen

1

Um welchen Modulator handelt es sich?

	AM–Modulator.
	PM–Modulator.
	FM–Modulator.

2

Wie groß ist der Modulationsindex mit der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_1 = 5 \ \rm kHz$?

$η_1 \ = \ $

3

Welchen Wert besitzt die Modulatorkonstante?   Hinweis:   Die "Einheit" steht für $\rm V^{-1}$ (bei PM) oder $\rm (Vs)^{-1}$ (bei FM).

$K_{\rm WM} \ = \ $ $\ \cdot 10^4 $ "Einheit"

4

Welchen Winkel  $ϕ_0$  (gegenüber der reellen Achse) weist die Ortskurve  $\rm O_1$  mit  $ϕ_{\rm N} = 30^\circ$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  auf?

$ϕ_0 \ = \ $ $\ \rm Grad$

5

Mit welcher Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_2$  wurde die Ortskurve  $\rm O_2$  ermittelt?

$f_2 \ = \ $ $\ \rm kHz$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist die Antwort 3:

• Da die Ortskurve einen Kreisbogen beschreibt, handelt es sich um einen Winkelmodulator (PM oder FM) mit dem Modulationsindex  $η$.
• Da aber hier  $η$  offensichtlich von der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$  abhängt, kann eine Phasenmodulation ausgeschlossen werden.

(2)  Der Modulationsindex kann aus der Grafik abgelesen werden.  Es gilt  $η_1 = 75^\circ/180^\circ · π\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.3}$.

(3)  Bei Frequenzmodulation gilt:

$$ K_{\rm WM} = K_{\rm FM} = \frac{ 2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot \eta}{A_{\rm N}} = \frac{ 2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,\,{\rm Hz}\cdot 1.3}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.04 \cdot 10^4 \hspace{0.1cm}{\rm V^{-1}}{\rm s^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Der Frequenzmodulator kann als Phasenmodulator realisiert werden, wenn vorher das Quellensignal integriert wird.  Dieses lautet:

$$q_{\rm I}(t) = \int q(t)\hspace{0.15cm}{\rm d}t = A_{\rm N} \cdot\int \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.15cm}{\rm d}t =\frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N} - 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$

• Somit ergibt sich für das äquivalente Tiefpass-Signal mit  $ϕ_{\rm N} = 30^\circ$:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t \hspace{0.03cm} - \hspace{0.03cm}60^\circ)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\hspace{0.03cm}60^\circ)} = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta /2}\hspace{0.05cm}.$$

• Der Nullphasenwinkel ist somit gleich  $η/2$  entsprechend  $ϕ_0\hspace{0.15cm}\underline {\approx 37.5^\circ}$.

(5)  Aus der Definition des Modulationsindex bei Frequenzmodulation folgt:

$$\eta_1 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 1}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \eta_2 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 2}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{f_2}{f_1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_2 = \frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot f_1 = \frac{75^\circ}{125^\circ} \cdot 5\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline {= 3\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$