Difference between revisions of "Applets:Periodendauer periodischer Signale"

Revision as of 15:45, 28 May 2021

Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:

Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen

Programmbeschreibung

Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert: $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.

Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals (derzeit noch nicht realisiert) .

Theoretischer Hintergrund

Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt: $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.

Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.

$\text{Berechnungsvorschrift:}$ Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$

wobei „ggT" den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.

$\text{Beispiele:}$ Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:

(a) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 3.0$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ ⇒ $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 3.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ ⇒ $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(c) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 2.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ ⇒ $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d) $f_1' = 0.9$, $f_2' = 2.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ ⇒ $T_0 = 10.0 \ \rm ms$;

(e) $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ ⇒ $T_0 \to \infty$ ⇒ Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.

$\text{Anmerkung:}$ Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

(c) $T_1 = 1.0\ \rm ms$, $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ ⇒ $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel

(a) $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Vorschlag für die Versuchsdurchführung

Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:

(1) nach Voreinstellung: $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ A_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ wegen ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.

(2) Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten.

(3) Wählen Sie die Voreinstellung ⇒ „Recall Parameters" und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. In diesem Fall ist $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

(4) Wählen Sie die Voreinstellung ⇒ „Recall Parameters" und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ wegen ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.

(5) Wählen Sie die Voreinstellung ⇒ „Recall Parameters" und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters":

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$ wegen ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.

(6) Wählen Sie die letzte Einstellung ⇒ „Recall Parameters" und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters":

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ wegen ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.

(7) Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$

(8) Wählen Sie die letzte Einstellung ⇒ „Recall Parameters" und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$ ⇒ $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

(9) Wählen Sie die vorletzte Einstellung ⇒ „Recall Parameters" und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$ ⇒ $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

Zur Handhabung der Applet-Variante 1

(A) Parametereingabe per Slider

(B) Bereich der graphischen Darstellung

(C) Variationsmöglichkeit für die graphische Darstellung

(D) Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

(E) Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

(F) Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

(G) Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

(H) Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

Details zum obigen Punkt (C)

(*) Zoom–Funktionen „$+$" (Vergrößern), „$-$" (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

(*) Verschieben mit „$\leftarrow$" (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$" „$\downarrow$" und „$\rightarrow$"

Andere Möglichkeiten:

(*) Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

(*) Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Zur Handhabung der Applet-Variante 2

(A) Parametereingabe

(B) Bereich der graphischen Darstellung

(C) Größe der graphischen Darstellung

(D) Speichern/Zurückholen von Eingaben

(E) Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$;
in Grafik: blaue Linien im Abstand $T_0$

(F) Eingabe $t_\star$, Ausgabe von $x(t_*)$ und $x_{\rm max}$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5" umgesetzt und neu gestaltet ⇒ Applet-Variante 1.
Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster