Difference between revisions of "Applets:Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen (neues Applet)"

Latest revision as of 15:49, 28 May 2021

Programmbeschreibung

Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen $\mathbf{H}_J$ zur Konstruktion der Walsh-Funktionen $w_j$. Dabei können der Faktor $J$ der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.

Theoretischer Hintergrund

Anwendung

Die Walsh-Funktionen sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.

Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe Aufgabe 5.4.
Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.

Konstruktion

Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der Hadamard-Matrizen erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und

$$ \mathbf{H}_2 = \left[ \begin{array}{rr} +1 & +1\\ +1 & -1 \\ \end{array}\right] $$

gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen:

$$ \mathbf{H}_{2N} = \left[ \begin{array}{rr} +\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\ +\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\ \end{array}\right] $$

$\text{Beispiel:}$ Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$ (rechts) und die damit $J -1$ konstruierbaren Spreizfolgen.

Walsh–Spreizfolgen $(J = 8)$ und Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$

$J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge $w_0(t)$ meist nicht verwendet wird.
Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$.
Die Matrix $\mathbf H_4$ ist gelb hinterlegt.

Zur Handhabung des Applets

(A) Auswahl von $G$ ⇒ Faktor der Bandspreizung: $J= 2^G$

(B) Auswahl der zu markierenden Walsh-Funktion $w_j$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2007 von Thomas Großer im Rahmen seiner Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: Günter Söder).
2018/2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina (Ingenieurspraxis, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Open Applet in a new tab

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{LntAppletLink|qfunction}}
+{{LntAppletLink|walsh}}
@@ Line 6: / Line 6: @@
 ==Programmbeschreibung==
 <br>
-Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen $H_J$ zur Konstruktion der Walsh-Funktionen $w_j$. Dabei können der Faktor $J$ der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.
+Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen&nbsp; $\mathbf{H}_J$&nbsp; zur Konstruktion der Walsh-Funktionen&nbsp; $w_j$. Dabei können der Faktor&nbsp; $J$&nbsp; der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.
 ==Theoretischer Hintergrund==
 <br>
-Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit der Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; einen vorgegebenen Wert&nbsp; $x_0$&nbsp; überschreitet. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt:
+===Anwendung===
-:$${\rm Pr}(x > x_0)={\rm Q}(\frac{x_0}{\sigma}) = 1/2 \cdot {\rm erfc}(\frac{x_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma}).$$
 <br>
+Die&nbsp; '''Walsh-Funktionen'''&nbsp; sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.
-===Die Funktion ${\rm Q}(x )$===
+*Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
+*Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: &nbsp; Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe &nbsp;[[Aufgaben:5.4_Walsh–Funktionen_(PKKF,_PAKF)|Aufgabe 5.4]].
+*Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: &nbsp; Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: &nbsp; Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.
 <br>
-Die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; bezeichnet man als das ''Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral''. Es gilt folgende Berechnungsvorschrift:
-:$${\rm Q}(x ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}/\hspace{0.05cm} 2}\,{\rm d} u .$$
-*Dieses Integral ist nicht analytisch lösbar und muss &ndash; wenn man dieses Applet nicht zur Verfügung hat &ndash; aus Tabellen entnommen werden.
-*Speziell für größere&nbsp; $x$–Werte (also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten) liefern die nachfolgend angegebenen Schranken eine brauchbare Abschätzung für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral, die auch ohne Tabellen berechnet werden können.
-*Eine obere Schranke (englisch:&nbsp; ''Upper Bound '') des Komplementären Gaußschen Fehlerintegrals lautet:
-:$${\rm Q}_{\rm UB}(x  )=\text{Upper Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}/\hspace{0.05cm}2} > {\rm Q}(x).$$
-*Entsprechend gilt für die untere Schranke (englisch:&nbsp; ''Lower Bound ''):
-:$${\rm Q}_{\rm LB}(x  )=\text{Lower Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] =\frac{1-1/x^2}{\sqrt{2\pi}\cdot  x}\cdot {\rm e}^{-x^ 2/\hspace{0.05cm}2}  ={\rm Q}_{\rm UB}(x  ) \cdot (1-1/x^2)< {\rm Q}(x).$$
-In vielen Programmbibliotheken findet man allerdings  die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x )$&nbsp; nicht.
+===Konstruktion===
 <br>
+Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der '''Hadamard-Matrizen''' erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die  $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und
+:$$
-===Die Funktion $1/2 \cdot {\rm erfc}(x )$===
+\mathbf{H}_2 =
+\left[ \begin{array}{rr}
++1 & +1\\
++1 & -1 \\
+\end{array}\right]
+$$
+gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen:
+:$$
+ \mathbf{H}_{2N} =
+\left[ \begin{array}{rr}
++\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\
++\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\
+\end{array}\right]
+$$
 <br>
-In fast allen Programmbibliotheken findet man dagegen die ''Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion'' (englisch:&nbsp; ''Complementary Gaussian Error Function'')
+{{GraueBox|TEXT=
-:$${\rm erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$
+$\text{Beispiel:}$&nbsp; Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix &nbsp;$\mathbf H_8$&nbsp; (rechts) und die damit &nbsp;$J -1$&nbsp; konstruierbaren Spreizfolgen.
-die mit&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt zusammenhängt: &nbsp; ${\rm Q}(x)=1/2\cdot {\rm erfc}(x/{\sqrt{2}}).$ Da bei fast allen Anwendungen diese Funktion mit dem Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; verwendet wird, wurde in diesem Applet genau diese Funktion realisiert:
+[[File:P_ID1882__Mod_T_5_3_S7_neu.png|right|frame| Walsh–Spreizfolgen &nbsp;$(J = 8)$&nbsp; und Hadamard–Matrix &nbsp;$\mathbf H_8$&nbsp;]]
-:$$1/2 \cdot{\rm erfc}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$
+*$J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge &nbsp;$w_0(t)$&nbsp; meist nicht verwendet wird.
+*Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen &nbsp;$w_j(t)$.
+*Die Matrix &nbsp;$\mathbf H_4$&nbsp; ist gelb hinterlegt.}}
+<br clear=all>
-*Auch für diese Funktion kann wieder eine obere und eine untere Schranke angegeben werden:
+==Zur Handhabung des Applets==
-:$$\text{Upper Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x)  \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} ,$$
-:$$\text{Lower Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x)  \big ] = \frac{ {1-1/(2x^2)}}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} .$$
-<br>
-===Wann bietet welche Funktion Vorteile?===
 <br>
-{{GraueBox|TEXT=
+[[File:Walsh Handhabung.png|right|550px]]
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten die binäre Basisbandübertragung. Hier lautet die Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp;  $p_{\rm B} =  {\rm Q}({s_0}/{\sigma_d})$, wobei das Nutzsignal die Werte&nbsp; $\pm s_0$&nbsp; annehmen kann und der Rauscheffektivwert&nbsp; $\sigma_d$&nbsp; ist.
-Es wird vorausgesetzt, dass Tabellen zur Verfügung stehen, in denen das Argument der Gaußschen Fehlerfunktionen im Abstand&nbsp; $0.1$&nbsp; aufgelistet sind. Mit&nbsp; $s_0/\sigma_d = 4$&nbsp; erhält man für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gemäß der Q&ndash;Funktion:
+&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl von&nbsp; $G$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Faktor der Bandspreizung:&nbsp;  $J= 2^G$
-:$$p_{\rm B} = {\rm Q} (4) \approx 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
-Nach der zweiten Gleichung ergibt sich:
-:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( {4}/{\sqrt{2} })= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.828)\approx {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.8)= 0.375 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
-*Richtiger ist der erste Wert. Bei der zweiten Berechnungsart muss man runden oder &ndash; noch besser &ndash; interpolieren, was aufgrund der starken Nichtlinearität dieser Funktion sehr schwierig ist.<br>
-*Bei den gegebenen Zahlenwerten ist demnach  Q&ndash;Funktion besser geeignet. Außerhalb von Übungsbeispielen wird allerdings&nbsp; $s_0/\sigma_d$&nbsp; in der Regel einen &bdquo;krummen&rdquo; Wert besitzen. In diesem Fall bietet&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp;  natürlich keinen Vorteil gegenüber&nbsp; $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$. }}
+&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der zu markierenden Walsh-Funktion&nbsp; $w_j$
+<br clear=all>
-{{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Mit der Energie pro Bit&nbsp;  $(E_{\rm B})$&nbsp; und der Rauschleistungsdichte&nbsp; $(N_0)$&nbsp; gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
-:$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2  E_{\rm B} }/{N_0} }\right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0} }\right )  \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Zahlenwerte&nbsp; $E_{\rm B} = 16 \ \rm mWs$ und $N_0 = 16 \ \rm mW/Hz$&nbsp; erhält man:
-:$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left (4 \cdot \sqrt{ 2} \right ) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left ( 4\right )  \hspace{0.05cm}.$$
-*Der erste Weg führt zum Ergebnis&nbsp; $p_{\rm B} = {\rm Q} (5.657) \approx {\rm Q} (5.7) = 0.6 \cdot 10^{-8}\hspace{0.05cm}$, während&nbsp; $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$&nbsp; hier den richtigeren Wert&nbsp; $p_{\rm B} \approx 0.771 \cdot 10^{-8}$&nbsp; liefert.
-*Wie im ersten Beispiel erkennt man aber auch hier: &nbsp; Die Funktionen&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und&nbsp; $1/2 \cdot{\rm erfc}(x)$&nbsp; sind grundsätzlich gleich gut geeignet. Vor&ndash; oder Nachteile der einen oder anderen Funktion ergeben sich nur bei konkreten Zahlenwerten.}}
-<br>
-==Zur Handhabung des Applets==
-<br>
-[[File:Qfunction bedienung.png|right|550px]]
-&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Verwendete Gleichungen am Beispiel &nbsp;${\rm Q}(x)$
-&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahloption für &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; oder &nbsp;${\rm 0.5 \cdot erfc}(x)$
-&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Schranken &nbsp;${\rm LB}$&nbsp; und &nbsp;${\rm UB}$&nbsp; werden gezeichnet
-&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl, ob Abszisse linear &nbsp;$\rm (lin)$&nbsp; oder logarithmisch &nbsp;$\rm (log)$&nbsp;
-&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl, ob Ordinate linear &nbsp;$\rm (lin)$&nbsp; oder logarithmisch &nbsp;$\rm (log)$&nbsp;
-&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe am Beispiel &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; bei linearer Abszisse
-&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Slidereingabe des Abszissenwertes &nbsp;$x$&nbsp; für lineare Abszisse
-&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Slidereingabe des Abszissenwertes &nbsp;$\rho \ \rm [dB]$&nbsp; für logarithmische Abszisse
-&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp; Grafikausgabe der Funktion  &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; &ndash; hier:&nbsp; lineare Abszisse
-&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Grafikausgabe der Funktion  &nbsp;${\rm 0.5 \cdot erfc}(x)$&nbsp; &ndash; hier:&nbsp; lineare Abszisse
-&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeit für die graphischen Darstellungen
-$\hspace{1.5cm}$&bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern),
-$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern)
-$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\rm o$&rdquo; (Zurücksetzen)
-$\hspace{1.5cm}$ &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Verschieben nach links),  usw.
-<br clear=all>
 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2007 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2007 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-*2018/2019 wurde das Programm  von&nbsp; ''Marwen Ben Ammar''&nbsp;   und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]&nbsp; (Bachelorarbeit, Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
+*2018/2019 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; (Ingenieurspraxis, Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet.
 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 <br>
-{{LntAppletLink|qfunction}}
+{{LntAppletLink|walsh}}