Difference between revisions of "Applets:Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen (neues Applet)"
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*Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null. | *Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null. | ||
*Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe [[Aufgaben:5.4_Walsh–Funktionen_(PKKF,_PAKF)|Aufgabe 5.4]]. | *Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe [[Aufgaben:5.4_Walsh–Funktionen_(PKKF,_PAKF)|Aufgabe 5.4]]. | ||
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| − | Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der '''Hadamard-Matrizen''' erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = | + | Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der '''Hadamard-Matrizen''' erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und |
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*$J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge $w_0(t)$ meist nicht verwendet wird. | *$J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge $w_0(t)$ meist nicht verwendet wird. | ||
*Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$. | *Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$. | ||
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==Über die Autoren== | ==Über die Autoren== | ||
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. | Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert. | ||
| − | *Die erste Version wurde 2007 von [[ | + | *Die erste Version wurde 2007 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]] im Rahmen seiner Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]). |
| − | *2018/2019 wurde das Programm von | + | *2018/2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]] (Ingenieurspraxis, Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet. |
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster== | ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster== | ||
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Latest revision as of 15:49, 28 May 2021
Contents
Programmbeschreibung
Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen $\mathbf{H}_J$ zur Konstruktion der Walsh-Funktionen $w_j$. Dabei können der Faktor $J$ der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.
Theoretischer Hintergrund
Anwendung
Die Walsh-Funktionen sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.
- Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
- Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe Aufgabe 5.4.
- Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.
Konstruktion
Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der Hadamard-Matrizen erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und
- $$ \mathbf{H}_2 = \left[ \begin{array}{rr} +1 & +1\\ +1 & -1 \\ \end{array}\right] $$
gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen:
- $$ \mathbf{H}_{2N} = \left[ \begin{array}{rr} +\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\ +\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\ \end{array}\right] $$
$\text{Beispiel:}$ Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$ (rechts) und die damit $J -1$ konstruierbaren Spreizfolgen.
Walsh–Spreizfolgen $(J = 8)$ und Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$
- $J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge $w_0(t)$ meist nicht verwendet wird.
- Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$.
- Die Matrix $\mathbf H_4$ ist gelb hinterlegt.
Zur Handhabung des Applets
(A) Auswahl von $G$ ⇒ Faktor der Bandspreizung: $J= 2^G$
(B) Auswahl der zu markierenden Walsh-Funktion $w_j$
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2007 von Thomas Großer im Rahmen seiner Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2018/2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina (Ingenieurspraxis, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet.
