Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.5: Distortion and Equalization"
Line 21: | Line 21: | ||
− | From subtask '''(6)''' onwards it shall be attempted to eliminate the distortions possibly generated by $H(f)$ by means of a downstream equaliser with | + | From subtask '''(6)''' onwards, it shall be attempted to eliminate the distortions possibly generated by $H(f)$ by means of a downstream equaliser with |
* frequency response $H_{\rm E}(f)$, | * frequency response $H_{\rm E}(f)$, | ||
* input signal $y(t)$, and | * input signal $y(t)$, and | ||
Line 33: | Line 33: | ||
*The task belongs to the chapter [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions|Linear Distortions]]. | *The task belongs to the chapter [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions|Linear Distortions]]. | ||
*In particular, reference is made to the page [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions#Entzerrungsverfahren|Entzerrungsverfahren]]. | *In particular, reference is made to the page [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions#Entzerrungsverfahren|Entzerrungsverfahren]]. | ||
− | * | + | *The term "overall distortion" used in the formulation of the questions refers to the input signal $x(t)$ and the output signal $z(t)$. |
Line 41: | Line 41: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | { | + | {What types of distortion can be ruled out for this system?? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | + Nonlinear distortions. |
− | - | + | - Attenuation distortions. |
− | + | + | + Phase distortions. |
− | { | + | {What characteristics does the system exhibit for the test signal $x_1(t)$ with $\underline{f_2 = 4 \ \rm kHz}$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | + It acts like an ideal system. |
− | + | + | + It acts like a distortion-free system. |
− | - | + | - It can be seen that the system at hand is a distorting system. |
− | { | + | {What characteristics does the system exhibit for the test signal $x_1(t)$ with $\underline{f_2 = 10 \ \rm kHz}$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - | + | - It acts like an ideal system. |
− | - | + | - It acts like a distortion-free system. |
− | + | + | + It can be seen that the system at hand is a distorting system. |
− | { | + | {For the test signal $x_2(t)$ with $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$, what is the maximum deviation $\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. <br>At what point $t_0$ does $\varepsilon_{\rm max}$ occur for the first time? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.156 3% } $\ \rm V$ | $\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.156 3% } $\ \rm V$ | ||
Line 68: | Line 68: | ||
− | { | + | {What is the maximum deviation $\varepsilon_{\rm max}$ with $\underline{f_0 = 2 \ \rm kHz}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.114 3% } $\ \rm V$ | $\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.114 3% } $\ \rm V$ | ||
− | { | + | {What curve shape should the equaliser $H_{\rm E}(f)$ have to compensate all distortions of $H(f)$ in the best possible way. <br>What magnitude value arises as a result for $\underline{f = 10 \ \rm kHz}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$|H_E(f = 10 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 4 3% } | $|H_E(f = 10 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 4 3% } | ||
− | { | + | {For which of the signals listed is complete equalisation possible? <br>$z(t) = x(t)$ should be understood by "complete equalisation". |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | + For signal $x_1(t)$ with $f_2 = 10 \ \rm kHz$, |
− | - | + | - for signal $x_2(t)$, |
− | - | + | - for signal $x_3(t)$. |
Line 89: | Line 89: | ||
===Solution=== | ===Solution=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' | + | '''(1)''' <u>Proposed solutions 1 and 3</u> are correct: |
*Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können. | *Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können. | ||
*Da $H(f)$ rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden. | *Da $H(f)$ rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden. |
Revision as of 22:15, 16 September 2021
A communication system with input $x(t)$ and output $y(t)$, which is fully described by the trapezoidal frequency response $H(f)$ according to the top graph, is considered. Using the roll-off factor $r = 0.5$ and the equivalent bandwidth $\Delta f = 16 \ \rm kHz$ the corresponding impulse response, which is computable by applying the inverse Fourier transform, is:
- $$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t ) .$$
The available input signals are:
- The sum of two harmonic oscillations:
- $$x_1(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot t).$$
- Here, the following holds: $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$ and $\omega_2 \gt \omega_1$.
- A periodic triangular signal:
- $$x_2(t) = \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) + {1}/{9} \cdot \cos(3\omega_0 t) + {1}/{25} \cdot \cos(5\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}\big].$$
- It should be noted that the fundamental frequency is $f_0 = 2 \ \rm kHz$ or $3\ \rm kHz$ beträgt. At time $t = 0$ the signal value in both cases is $1 \ \rm V$.
- A rectangular pulse $x_3(t)$ with amplitude $A = 1 \ \rm V$ and duration $T = 1 \ \rm ms$. Since its spectrum $X_3(f)$ extends to infinity, $H(f)$ always results in linear distortions here.
From subtask (6) onwards, it shall be attempted to eliminate the distortions possibly generated by $H(f)$ by means of a downstream equaliser with
- frequency response $H_{\rm E}(f)$,
- input signal $y(t)$, and
- output signal $z(t)$.
Please note:
- The task belongs to the chapter Linear Distortions.
- In particular, reference is made to the page Entzerrungsverfahren.
- The term "overall distortion" used in the formulation of the questions refers to the input signal $x(t)$ and the output signal $z(t)$.
Questions
Solution
- Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können.
- Da $H(f)$ rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Das Ausgangssignal ist $y_1(t) = x_1(t)$.
- Somit ist das System nicht nur verzerrungsfrei, sondern kann für diese Anwendung auch als ideal bezeichnet werden.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- In diesem Fall erhält man für das Ausgangssignal:
- $$y_1(t)= 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + {1}/{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
- Während der Anteil bei $f_1$ unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit $f_2$ auf ein Viertel gedämpft.
- Also liegen Dämpfungsverzerrungen vor.
(4) Das Ausgangssignal $y_2(t)$ hat die folgende Form, wenn man die Grundfrequenz $f_0 = 3 \ \rm kHz$ berücksichtigt:
- $$y_2(t)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0 t) + \frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0 t)\right) .$$
- Der Faktor $3/8$ beschreibt $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei $15 \ \rm kHz$, $21 \ \rm kHz$, usw. werden vom System unterdrückt.
- Die stärksten Abweichungen zwischen $x_2(t)$ und $y_2(t)$ wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt $\underline{t= 0}$:
- $$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + {3}/{72}\right)= 0.844\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm max} = |y_2(t=0)- x_2(t=0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.156\,{\rm V}}.$$
(5) Mit der Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ sowie den Übertragungswerten $H(3f_0) = 0.75$, $H(5f_0) = 0.25$, $H(7f_0) = 0$ ergibt sich:
- $$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm V}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\varepsilon_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.114\,{\rm V}}.$$
(6) Im Bereich bis $4 \ \rm kHz$ ist $H_{\rm E}(f) = H(f) = 1$ zu setzen. Dagegen gilt im Bereich von $4 \ \rm kHz$ bis $12 \ \rm kHz$:
- $$H_{\rm E}(f)= \frac{1}{H(f)} = \frac{1}{1.5 \cdot \big[1 - f/(12\,{\rm kHz})\big]} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} H_{\rm E}(f = 10\,{\rm kHz})\hspace{0.15cm}\underline{= 4} .$$
Der Nennerausdruck beschreibt hierbei die Geradengleichung des Flankenabfalls.
(7) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Sowohl $x_2(t)$ als auch $x_3(t)$ beinhalten auch Spektralanteile bei Frequenzen größer als $12 \ \rm kHz$.
- Wurden diese von $H(f)$ abgeschnitten ⇒ Bandbegrenzung, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden.
- Das heißt, dass nur das Signal $x_1(t)$ durch $H_{\rm E}(f)$ wieder hergestellt werden kann, allerdings nur dann, wenn $f_2 < 12 \ \rm kHz$ gilt:
- $$z_1(t)= \underline{1} \cdot 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + \underline{4} \cdot \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
- Die jeweils ersten (unterstrichenen) Faktoren geben jeweils die Verstärkungswerte von $H_{\rm E}(f)$ an.