Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.5: Distortion and Equalization"

From LNTwww
Line 21: Line 21:
  
  
From subtask  '''(6)'''  onwards it shall be attempted to eliminate the distortions possibly generated by  $H(f)$  by means of a downstream equaliser with
+
From subtask  '''(6)'''  onwards, it shall be attempted to eliminate the distortions possibly generated by  $H(f)$  by means of a downstream equaliser with
 
* frequency response  $H_{\rm E}(f)$,
 
* frequency response  $H_{\rm E}(f)$,
 
* input signal  $y(t)$,  and
 
* input signal  $y(t)$,  and
Line 33: Line 33:
 
*The task belongs to the chapter  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions|Linear Distortions]].
 
*The task belongs to the chapter  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions|Linear Distortions]].
 
*In particular, reference is made to the page   [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions#Entzerrungsverfahren|Entzerrungsverfahren]].
 
*In particular, reference is made to the page   [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Linear_Distortions#Entzerrungsverfahren|Entzerrungsverfahren]].
*Der im Fragenkatalog verwendete Begriff "Gesamtverzerrung" bezieht sich auf das Eingangssignal  $x(t)$  und das Ausgangssignal  $z(t)$.
+
*The term "overall distortion" used in the formulation of the questions refers to the input signal  $x(t)$  and the output signal  $z(t)$.
 
   
 
   
  
Line 41: Line 41:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche Verzerrungsarten können bei diesem System ausgeschlossen werden?
+
{What types of distortion can be ruled out for this system??
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Nichtlineare Verzerrungen.
+
+ Nonlinear distortions.
- Dämpfungsverzerrungen.
+
- Attenuation distortions.
+ Phasenverzerrungen.
+
+ Phase distortions.
  
  
{Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit&nbsp; $\underline{f_2 = 4 \ \rm kHz}$?
+
{What characteristics does the system exhibit for the test signal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; with&nbsp; $\underline{f_2 = 4 \ \rm kHz}$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Es wirkt wie ein ideales System.
+
+ It acts like an ideal system.
+ Es wirkt wie ein verzerrungsfreies System.
+
+ It acts like a distortion-free system.
- Man erkennt, dass ein verzerrendes System vorliegt.
+
- It can be seen that the system at hand is a distorting system.
  
  
{Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit&nbsp; $\underline{f_2 = 10 \ \rm kHz}$?
+
{What characteristics does the system exhibit for the test signal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; with&nbsp; $\underline{f_2 = 10 \ \rm kHz}$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Es wirkt wie ein ideales System.
+
- It acts like an ideal system.
- Es wirkt wie ein verzerrungsfreies System.
+
- It acts like a distortion-free system.
+ Man erkennt, dass ein verzerrendes System vorliegt.
+
+ It can be seen that the system at hand is a distorting system.
  
  
{Wie groß ist beim Testsignal&nbsp; $x_2(t)$&nbsp;  mit&nbsp; $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$&nbsp; die Maximalabweichung &nbsp;$\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. <br>An welcher Stelle &nbsp;$t_0$&nbsp; tritt&nbsp; $\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; zum ersten Mal auf?
+
{For the test signal&nbsp; $x_2(t)$&nbsp;  with&nbsp; $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$,&nbsp; what is the maximum deviation&nbsp;$\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. <br>At what point&nbsp;$t_0$&nbsp; does&nbsp; $\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; occur for the first time?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.156 3% } $\ \rm V$
 
$\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.156 3% } $\ \rm V$
Line 68: Line 68:
  
  
{Wie groß ist die maximale Abweichung &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; mit &nbsp;$\underline{f_0 = 2 \ \rm kHz}$?
+
{What is the maximum deviation&nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; with&nbsp;$\underline{f_0 = 2 \ \rm kHz}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.114 3% } $\ \rm V$
 
$\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.114 3% } $\ \rm V$
  
  
{Welchen Verlauf sollte der Entzerrer&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; besitzen, um alle Verzerrungen von&nbsp; $H(f)$&nbsp; bestmöglich zu kompensieren. <br>Welcher Betragswert ergibt sich bei&nbsp; $\underline{f = 10 \ \rm kHz}$?
+
{What curve shape should the equaliser&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; have to compensate all distortions of&nbsp; $H(f)$&nbsp; in the best possible way. <br>What magnitude value arises as a result for&nbsp; $\underline{f = 10 \ \rm kHz}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$|H_E(f = 10 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 4 3% }
 
$|H_E(f = 10 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 4 3% }
  
  
{Bei welchen der aufgeführten Signale ist eine vollständige Entzerrung möglich? <br>Unter "vollständiger Entzerrung" soll dabei&nbsp; $z(t) = x(t)$&nbsp; verstanden werden.
+
{For which of the signals listed is complete equalisation possible? <br>$z(t) = x(t)$&nbsp; should be understood by "complete equalisation".
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Beim Signal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit&nbsp; $f_2 = 10 \ \rm kHz$,
+
+ For signal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; with&nbsp; $f_2 = 10 \ \rm kHz$,
- beim Signal&nbsp; $x_2(t)$,
+
- for signal&nbsp; $x_2(t)$,
- beim Signal&nbsp; $x_3(t)$.
+
- for signal&nbsp; $x_3(t)$.
  
  
Line 89: Line 89:
 
===Solution===
 
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+
'''(1)'''&nbsp; <u>Proposed solutions 1 and 3</u> are correct:
 
*Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können.  
 
*Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können.  
 
*Da&nbsp; $H(f)$&nbsp; rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden.
 
*Da&nbsp; $H(f)$&nbsp; rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden.

Revision as of 22:15, 16 September 2021

Trapezoidal spectrum (top) and
associated impulse response (bottom)

A communication system with input  $x(t)$  and output  $y(t)$, which is fully described by the trapezoidal frequency response  $H(f)$  according to the top graph, is considered. Using the roll-off factor  $r = 0.5$  and the equivalent bandwidth  $\Delta f = 16 \ \rm kHz$  the corresponding impulse response, which is computable by applying the inverse Fourier transform, is:

$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t ) .$$

The available input signals are:

  • The sum of two harmonic oscillations:
$$x_1(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot t).$$
Here, the following holds:  $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$  and  $\omega_2 \gt \omega_1$.
  • A periodic triangular signal:
$$x_2(t) = \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) + {1}/{9} \cdot \cos(3\omega_0 t) + {1}/{25} \cdot \cos(5\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}\big].$$
It should be noted that the fundamental frequency is  $f_0 = 2 \ \rm kHz$  or  $3\ \rm kHz$  beträgt. At time  $t = 0$  the signal value in both cases is  $1 \ \rm V$.
  • A rectangular pulse  $x_3(t)$  with amplitude  $A = 1 \ \rm V$  and duration  $T = 1 \ \rm ms$. Since its spectrum  $X_3(f)$  extends to infinity,   $H(f)$  always results in linear distortions here.


From subtask  (6)  onwards, it shall be attempted to eliminate the distortions possibly generated by  $H(f)$  by means of a downstream equaliser with

  • frequency response  $H_{\rm E}(f)$,
  • input signal  $y(t)$,  and
  • output signal  $z(t)$.



Please note:

  • The task belongs to the chapter  Linear Distortions.
  • In particular, reference is made to the page  Entzerrungsverfahren.
  • The term "overall distortion" used in the formulation of the questions refers to the input signal  $x(t)$  and the output signal  $z(t)$.



Questions

1

What types of distortion can be ruled out for this system??

Nonlinear distortions.
Attenuation distortions.
Phase distortions.

2

What characteristics does the system exhibit for the test signal  $x_1(t)$  with  $\underline{f_2 = 4 \ \rm kHz}$?

It acts like an ideal system.
It acts like a distortion-free system.
It can be seen that the system at hand is a distorting system.

3

What characteristics does the system exhibit for the test signal  $x_1(t)$  with  $\underline{f_2 = 10 \ \rm kHz}$?

It acts like an ideal system.
It acts like a distortion-free system.
It can be seen that the system at hand is a distorting system.

4

For the test signal  $x_2(t)$  with  $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$,  what is the maximum deviation $\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$.
At what point $t_0$  does  $\varepsilon_{\rm max}$  occur for the first time?

$\varepsilon_\text{max} \ = \ $

$\ \rm V$
$t_0 \ = \ $

$\ \rm ms$

5

What is the maximum deviation $\varepsilon_{\rm max}$  with $\underline{f_0 = 2 \ \rm kHz}$?

$\varepsilon_\text{max} \ = \ $

$\ \rm V$

6

What curve shape should the equaliser  $H_{\rm E}(f)$  have to compensate all distortions of  $H(f)$  in the best possible way.
What magnitude value arises as a result for  $\underline{f = 10 \ \rm kHz}$?

$|H_E(f = 10 \ \rm kHz)| \ = \ $

7

For which of the signals listed is complete equalisation possible?
$z(t) = x(t)$  should be understood by "complete equalisation".

For signal  $x_1(t)$  with  $f_2 = 10 \ \rm kHz$,
for signal  $x_2(t)$,
for signal  $x_3(t)$.


Solution

(1)  Proposed solutions 1 and 3 are correct:

  • Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können.
  • Da  $H(f)$  rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Das Ausgangssignal ist  $y_1(t) = x_1(t)$.
  • Somit ist das System nicht nur verzerrungsfrei, sondern kann für diese Anwendung auch als ideal bezeichnet werden.


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • In diesem Fall erhält man für das Ausgangssignal:
$$y_1(t)= 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + {1}/{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
  • Während der Anteil bei  $f_1$  unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit  $f_2$  auf ein Viertel gedämpft.
  • Also liegen Dämpfungsverzerrungen vor.


(4)  Das Ausgangssignal  $y_2(t)$  hat die folgende Form, wenn man die Grundfrequenz  $f_0 = 3 \ \rm kHz$  berücksichtigt:

$$y_2(t)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0 t) + \frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0 t)\right) .$$
  • Der Faktor  $3/8$  beschreibt  $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei  $15 \ \rm kHz$,  $21 \ \rm kHz$,  usw. werden vom System unterdrückt.
  • Die stärksten Abweichungen zwischen  $x_2(t)$  und  $y_2(t)$  wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt  $\underline{t= 0}$:
$$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + {3}/{72}\right)= 0.844\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm max} = |y_2(t=0)- x_2(t=0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.156\,{\rm V}}.$$


(5)  Mit der Grundfrequenz  $f_0 = 2 \ \rm kHz$  sowie den Übertragungswerten  $H(3f_0) = 0.75$,  $H(5f_0) = 0.25$,  $H(7f_0) = 0$  ergibt sich:

$$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm V}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\varepsilon_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.114\,{\rm V}}.$$


(6)  Im Bereich bis  $4 \ \rm kHz$  ist  $H_{\rm E}(f) = H(f) = 1$  zu setzen. Dagegen gilt im Bereich von  $4 \ \rm kHz$  bis  $12 \ \rm kHz$:

$$H_{\rm E}(f)= \frac{1}{H(f)} = \frac{1}{1.5 \cdot \big[1 - f/(12\,{\rm kHz})\big]} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} H_{\rm E}(f = 10\,{\rm kHz})\hspace{0.15cm}\underline{= 4} .$$

Der Nennerausdruck beschreibt hierbei die Geradengleichung des Flankenabfalls.


(7)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Sowohl  $x_2(t)$  als auch  $x_3(t)$  beinhalten auch Spektralanteile bei Frequenzen größer als  $12 \ \rm kHz$.
  • Wurden diese von  $H(f)$  abgeschnitten   ⇒   Bandbegrenzung, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden.
  • Das heißt, dass nur das Signal  $x_1(t)$  durch  $H_{\rm E}(f)$  wieder hergestellt werden kann, allerdings nur dann, wenn  $f_2 < 12 \ \rm kHz$ gilt:
$$z_1(t)= \underline{1} \cdot 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + \underline{4} \cdot \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
  • Die jeweils ersten (unterstrichenen) Faktoren geben jeweils die Verstärkungswerte von  $H_{\rm E}(f)$  an.