Aufgaben:Exercise 5.8: Equalization in Matrix Vector Notation

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Blockschaltbild der OFDM-Übertragung

Wir betrachten die in der Grafik hinterlegten Blöcke eines OFDM–Systems, wobei wir von einem System mit  $N = 4$  Trägern und einem Kanal mit  $L = 2$  Echos ausgehen.

• Es wird nur ein einziger Rahmen betrachtet und für den Sendevektor (im Zeitbereich) gelte:

$${\rm\bf{d}} = (d_0, \ d_1,\ d_2,\ d_3 ) = (+1, -1, +1, -1 ).$$

• Die Kanalimpulsantwort sei beschrieben durch

$${\rm\bf{h}} = (h_0, \ h_1,\ h_2 ) = (0, \ 0.6, \ 0.4 ).$$

• Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir in dieser Aufgabe statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix  ${\rm\bf{H}}_{\rm ext}$  die zyklische Übertragungsmatrix

$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right).$$

• Für die Spektralkoeffizienten am Empfänger gelte nach der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$:

$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) ,$$

wobei die Diagonalelemente wie folgt zu berechnen sind:

$$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\mu }/{4}} } .$$

• Die Entzerrung am Empfänger erfolgt durch Multiplikation im Frequenzbereich mit den Koeffizienten  $ e_\mu = {1}/{H_\mu }.$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Realisierung von OFDM-Systemen.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Diskrete Fouriertransformation  im Buch „Signaldarstellung”.

• Für die Diskrete Fouriertransformation (DFT) gilt in Matrix–Vektor–Notation:

$${\rm\bf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & {} & {} & {} \\ \vdots & {} & {{\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}{\kern 1pt} \nu {\kern 1pt} \mu /N} } & {} \\ 1 & {} & {} & {} \\ \end{array}} \right), \qquad {\rm{DFT\; mit}} \; {1}/{N} \cdot {\rm\bf{F}}; \qquad {\rm{IDFT \; mit}} \; {\rm\bf{F}}^*.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie die diskreten Empfangswerte  $r = (r_0, r_1, r_2, r_3)$  im Zeitbereich.  Geben Sie zur Kontrolle  $r_0$  und  $r_1$  ein:

${\rm Re}\big[r_0\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[r_0\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[r_1\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[r_1\big] \ = \ $

2

Wie lauten die diskreten Spektralbereichskoeffizienten  ${\rm\bf{D}}= (D_0, D_1, D_2, D_3)$  am Sender?  Geben Sie zur Kontrolle  $D_2$  und  $D_3$  ein.

${\rm Re}\big[D_2\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[D_2\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[D_3\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[D_3\big] \ = \ $

3

Berechnen Sie die diskreten Spektralkoeffizienten  ${\rm\bf{R}}= (R_0, R_1, R_2, R_3)$  nach dem Kanal.  Geben Sie zur Kontrolle  $R_2$  und  $R_3$  ein:

${\rm Re}\big[R_2\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[R_2\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[R_3\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[R_3\big] \ = \ $

4

Bestimmen Sie die diskreten Entzerrerkoeffizienten  ${\rm\bf{e}}= (e_0, e_1, e_2, e_3)$:

${\rm Re}\big[e_0\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[e_0\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[e_1\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[e_1\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[e_2\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[e_2\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[e_3\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[e_3\big] \ = \ $

5

Wie bezeichnet man den verwendeten Entzerrungsansatz?

	Als „Zero Forcing”–Ansatz,
	als „Matched Filter”–Ansatz,
	als „Minimum Mean Square Error  $\rm (MMSE)$”–Ansatz.

Musterlösung

Solution

(1)  Die diskreten Zeitbereichswerte am Empfänger berechnen sich mit der zyklischen Übertragungsmatrix  ${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} $  wie folgt:

$${\rm\bf{r}} = {\rm\bf{d}} \cdot {\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {+1 ,-1 ,+1 ,-1 } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {0 } & {0.6 } & {0.4 } & {} \\ {} & {0 } & {0.6 } & {0.4 } \\ \hline {0.4 } & {} & {0 } & {0.6 } \\ {0.6 } & {0.4 } & {} & {0 } \\ \end{array}} \right)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm\bf{r}} = \left( {r_0 ,r_1 ,r_2 ,r_3 } \right) = \left( {-0.2, +0.2,-0.2, +0.2} \right) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[r_0]\hspace{0.15cm} \underline{=-0.2},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[r_0]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[r_1]\hspace{0.15cm} \underline{=+0.2},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[r_1]\hspace{0.15cm} \underline{=0}. $$

(2)  Die Spektralkoeffizienten  ${\rm\bf{D}}$  ergeben sich direkt aus der Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  der Zeitbereichskoeffizienten  ${\rm\bf{d}}= (+1, -1, +1, -1)$.

• Diese Zeitbereichsfolge entspricht einer diskreten Cosinusfunktion mit der doppelten Grundfrequnz  $(2 \cdot f_0)$  und der Amplitude  $1$.  Daraus folgt:

$${\rm\bf{D}} = \left( {D_0 ,D_1 ,D_2 ,D_3 } \right) =\left( {0, 0,1, 0} \right)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_2]\hspace{0.15cm} \underline{=1},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[d_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[d_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[d_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$

(3)  Der Vektor  ${\rm\bf{R}}$  der Spektralkoeffizienten nach dem Kanal könnte analog zur Teilaufgabe  (2)  durch die DFT des Vektors  ${\rm\bf{r}}$  berechnet werden.

• Ein alternativer Lösungsweg lautet:

$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) .$$

• Für die Diagonalelemente erhält man:

$$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\mu }/{4}} } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_0 = 1,\hspace{0.1cm}H_1 = -0.4 - {\rm{j}} \cdot 0.6,\hspace{0.1cm}H_2 = -0.2,\hspace{0.1cm}H_3 = -0.4 + {\rm{j}} \cdot 0.6 $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm\bf{R}} = \left( {R_0 ,R_1 ,R_2 ,R_3 } \right)= \left( \hspace{0.15cm}0,\hspace{0.15cm}0,\hspace{0.15cm}-0.2, \hspace{0.15cm}0 \right) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[r_2]\hspace{0.15cm} \underline{=-0.2},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[r_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[r_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[r_3]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$

(4)  Die Entzerrerkoeffizienten ergeben sich zu  $e_\mu = 1/H_\mu$.

• Mit dem Ergebnis zu Teilaufgabe  (3)  sind die Koeffizienten  $e_0 = 1$,  $e_2 = -5$ reell:

$${\rm Re}[e_0]\hspace{0.15cm} \underline{=1},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[e_0]\hspace{0.15cm} \underline{=0}, \hspace{0.2cm}{\rm Re}[e_2]\hspace{0.15cm} \underline{=-5},\hspace{0.2cm} {\rm Im}[e_2]\hspace{0.15cm} \underline{=0}.$$

• Für die beiden anderen Koeffizienten gilt:

$$e_1 = \frac {1}{-0.4 - {\rm{j}} \cdot 0.6} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm{Re}}[e_1] = \frac {-0.4}{0.4^2 + 0.6^2}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx -0.77},\hspace{0.3cm} {\rm{Im}}[e_1] = \frac {0.6}{0.4^2 + 0.6^2} \hspace{0.15cm} \underline{\approx +1.15},$$

$$e_3 = \frac {1}{-0.4 + {\rm{j}} \cdot 0.6} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm{Re}}[e_3] = \frac {-0.4}{0.4^2 + 0.6^2}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx -0.77},\hspace{0.3cm} {\rm{Im}}[e_3] = \frac {-0.6}{0.4^2 + 0.6^2} \hspace{0.15cm} \underline{\approx -1.15}.$$

(5)  Die unter  (4)  berechnete Entzerrung folgt dem "Zero Forcing"–Ansatz   ⇒   Antwort 1.