Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.9: Selection of OFDM Parameters"

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{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/OFDM für 4G–Netze
+
{{quiz-Header|Buchseite=Modulation_Methods/OFDM_for_4G_Networks
 
}}
 
}}
  
[[File:P_ID1668__Mod_A_5_9.png|right|]]
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[[File:P_ID1668__Mod_A_5_9.png|right|frame|Time-dependent attenuation curve
In dieser Aufgabe sollen einige OFDM–Parameter eines Mobilfunksystems bestimmt werden. Dabei wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
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of two mobile radio channels]]
:* Die Kohärenzzeit des Kanals ist $T_{coh} = 0.4 ms$.
+
In this exercise,  some OFDM parameters of a mobile radio system are to be determined.  
:* Die maximale Pfadverzögerung sei $τ_{max} = 25 μs$.
 
:* Die Datenrate (Bitrate) beträgt $R_B = 1 Mbit/s$.
 
:* Alle Unterträger werden 4–QAM–moduliert.
 
  
Um eine gewisse Robustheit des Systems gegenüber zeit– und frequenzselektivem Fading zu gewährleisten, muss die folgende Ungleichung erfüllt werden:
+
The following assumptions are made:
$$T_{\rm{G}} < < T < < T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}.$$
+
* The coherence time of the channel is &nbsp;$T_{\rm coh} = 0.4 \ \rm ms$.
Insgesamt soll folgendermaßen vorgegangen werden:
+
* The maximum path delay is &nbsp;$τ_{\rm max} = 25 \ \rm &micro; s$.
:* Vorläufige Festlegung des Guard–Intervalls ($T_G'$),
+
* The data rate&nbsp; (bit rate)&nbsp; is &nbsp;$R_{\rm B} = 1 \ \rm  Mbit/s$.
:* Bestimmung der optimalen Kernsymboldauer T,
+
* All subcarriers are&nbsp; $\rm 4–QAM$ modulated.
:* entsprechende Festlegung der Stützstellenzahl der FFT.
 
  
Danach ist eventuell eine erneute Bestimmung einiger Systemgrößen aufgrund der bei den Berechnungen vorgenommen Rundungen erforderlich.
 
  
Die obere Grafik zeigt zwei beispielhafte Dämpfungsverläufe von Mobilfunksystemen in logarithmischer Darstellung. Bei der blauen Kurve geschehen die zeitlichen Veränderungen relativ langsam, bei der roten Kurve viermal so schnell. Demzufolge weist der blaue Kanal eine viermal größere Kohärenzzeit als der rote Kanal auf.
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To ensure some robustness of the system to time and frequency selective fading,&nbsp; the following inequality must be satisfied:
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:$$T_{\rm{G}} \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}.$$
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Overall,&nbsp; the following procedure should be followed:
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* Preliminary determination of the guard interval duration &nbsp;$(T_{\rm G}')$,
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* Determination of the optimal core symbol duration &nbsp;$(T)$,
 +
* corresponding determination of the number of sampling points of the&nbsp; $\rm FFT$.
  
  
''Hinweise:''
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After that,&nbsp; it may be necessary to redetermine some system quantities due to the rounding performed during the calculations.
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
 
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix|Zyklisches Präfix]] sowie [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#OFDM.E2.80.93System_mit_zyklischem_Pr.C3.A4fix|OFDM-System mit zyklischem Präfix]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
  
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/OFDM_f%C3%BCr_4G%E2%80%93Netze Kapitel 5.7] sowie auf das Buch [http://en.lntwww.de/Mobile_Kommunikation Mobile Kommunikation].  
+
The diagram shows two exemplary attenuation curves of mobile radio systems in logarithmic representation.
===Fragebogen===
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*In the case of the blue curve,&nbsp; the changes over time occur relatively slowly,&nbsp; while in the case of the red curve they occur four times as fast.
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*Consequently,&nbsp; the blue channel has a four times larger coherence time than the red channel.
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Notes:  
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*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/OFDM_für_4G–Netze|OFDM for 4G Networks]].
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*Reference is made in particular to the section&nbsp;  [[Modulation_Methods/OFDM_for_4G_Networks#Determination_of_some_OFDM_parameters|Determination of some OFDM parameters]].
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* Further information on the topic can be found in the LNTwww book &nbsp;[[Mobile Communications]].  
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===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Bestimmen Sie die minimal sinnvolle Dauer $T_G'$ des vorläufigen Guard–Intervalls:
+
{Determine the minimum reasonable duration &nbsp;$T_{\rm G}'$&nbsp; of the&nbsp; "preliminary guard interval".
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$T_G'$ = { 25 3% } $μs$
+
$T_{\rm G}' \ = \ $ { 25 3% } $\ \rm &micro; s$
  
{Bestimmen Sie die optimale Kernsymboldauer $T_{opt}$ als geometrisches Mittel:
+
{Determine the optimal core symbol duration &nbsp;$T_{\rm opt}$&nbsp; as a geometric mean.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$T_{opt}$ = { 97 3% } $μs$
+
$T_{\rm opt} \ = \ $ { 97 3% } $\ \rm &micro; s$
  
  
{Bestimmen Sie die benötigte Anzahl an Nutzträgern:
+
{Determine the required number of useful carriers.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_{Nutz}$ = { 61 3% }  
+
$N_{\rm user} \ = \ $ { 61 1% }  
  
{Geben Sie die daraus resultierende Stützstellenzahl der FFT an:
+
{Specify the resulting number of interpolation points of the FFT.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_{FFT}$ = { 64 3% }
+
$N_{\rm FFT} \ = \ $ { 64 1% }
  
{Berechnen Sie die Anzahl $N_G$ der Zeitabtastwerte des Guard–Intervalls und daraus die neue resultierende Schutzzeit $T_G$:
+
{Calculate the number &nbsp;$N_{\rm G}$&nbsp; of time samples of the guard interval and from this the new resulting guard duration &nbsp;$T_{\rm G}$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_G$ = { 17 3% }  
+
$N_{\rm G} \ = \ $ { 17 1% }  
$T_G$ = { 26 3% }  
+
$T_{\rm G} \ = \ $ { 26 1% } $\ \rm &micro; s$
  
{Geben Sie nun anhand Ihrer Berechnungen die Dauer eines Rahmens $T_R$ an:
+
{Now use your calculations to specify the duration &nbsp;$T_{\rm R}$&nbsp; of a frame.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$T_R$ = { 123 3% } $μs$
+
$T_{\rm R} \ = \ $ { 123 1% } $\ \rm &micro; s$
  
{Wie groß ist die Anzahl der in einem Rahmen enthaltenen Abtastwerte?
+
{What is the total number of samples contained in a frame?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_{gesamt}$ = { 81 3% }  
+
$N_{\rm total} \ = \ $ { 81 1% }  
  
{Ermitteln Sie mit den bestimmten Parametern die Nutzträgeranzahl erneut:
+
{Using the determined parameters,&nbsp; determine the number of useful carriers &nbsp;$N_{\rm use}'$&nbsp; again.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_{Nutz}$ = { 62 3% }  
+
$N_{\rm user}' \ = \ $ { 62 1% }  
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Mit <i>T</i><sub>G</sub>' = <i>&tau;</i><sub>max</sub> <u>= 25 &mu;s</u> ist die untere Grenze der Ungleichung <i>T</i><sub>G</sub>' << <i>T</i> << <i>T</i><sub>coh</sub> &ndash; <i>T</i><sub>G</sub>' festgelegt. Aber auch die obere Grenze lässt sich nun berechnen, da die Kohärenzzeit <i>T</i><sub>coh</sub> bekannt ist.
+
'''(1)'''&nbsp; It holds that &nbsp;$T_{\rm G}' = \tau_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline { = 25\ \rm &micro; s}$.
 +
*This establishes the lower limit of the inequality&nbsp; $T_{\rm{G}}' \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}'$.&nbsp;
 +
*However, the upper limit can now also be calculated since the coherence time&nbsp; $T_{\rm coh} = 400\ \rm &micro; s$&nbsp; is known.
  
'''2.''' Zur sinnvollen Lösung der Ungleichung aus a) wird das geometrische Mittel verwendet:
 
$$T_{{\rm{opt}}} = \sqrt {T_{\rm{G}} ' \cdot (T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}} ')} = \sqrt {{25\,\,{\rm \mu s}} \cdot ({400\,\,{\rm \mu s}} - {25\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline { \approx {97\,\,{\rm \mu s}}}.$$
 
  
'''3.''' Die benötigte Anzahl der Nutzträger ergibt sich als:
+
 
$$N_{{\rm{Nutz}}} = \left\lceil {\frac{{R_{{\rm{B}}} \cdot (T + T_{\rm{G}} ')}} {{{\rm{log}_2}(M)}}}\right\rceil
+
'''(2)'''&nbsp; The geometric mean is used to reasonably solve the inequality from&nbsp; '''(1)''':&nbsp;
  = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm \mu s}} + {25\,\,{\rm \mu s}} )}
+
:$$T_{{\rm{opt}}} = \sqrt {T_{\rm{G}} ' \cdot (T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}} ')} = \sqrt {{25\,\,{\rm &micro; s}} \cdot ({400\,\,{\rm &micro; s}} - {25\,\,{\rm &micro; s}})} \hspace{0.15cm}\underline { \approx {97\,\,{\rm &micro; s}}}.$$
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 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; The required number of useful carriers is given by the following equation:
 +
:$$N_{{\rm{user}}} = \left\lceil {\frac{{R_{{\rm{B}}} \cdot (T + T_{\rm{G}} ')}} {{{\rm{log}_2}(M)}}}\right\rceil
 +
  = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm &micro; s}} + {25\,\,{\rm &micro; s}} )}
 
  {{{\rm{log}_2}(4)}}}\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 61}.$$
 
  {{{\rm{log}_2}(4)}}}\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 61}.$$
  
'''4.''' Die Stützstellenzahl der FFT muss eine 2er–Potenz sein. Daraus folgt:
 
$$ N_{{\rm{FFT}}} = 2^{\left\lceil {{\rm{ld}} \hspace{0.05cm}(61 )} \right\rceil } = 2^6\hspace{0.15cm}\underline {= 64}.$$
 
Ungenutzte Träger können an den Rändern des Spektrums als Guard–Band verwendet werden.
 
  
'''5.''' $N_G$ ist die gerundete Anzahl der Stützstellen des Guardintervalls. Daraus folgt:
+
'''(4)'''&nbsp; The number of interpolation points of the&nbsp; $\rm FFT$&nbsp; must always be a power of two.&nbsp; It follows that:
$$N_{\rm{G}} = \left\lceil {\frac{{T_{\rm{G}} '}} {{T_{{\rm{opt}}} }} \cdot N_{{\rm{FFT}}} } \right\rceil = \left\lceil {\frac{25\,\,{\rm \mu s}} {97\,\,{\rm \mu s}} \cdot 64 } \right\rceil \hspace{0.15cm}\underline {= 17},$$
+
:$$ N_{{\rm{FFT}}} = 2^{\left\lceil {{\rm{log_2}} \hspace{0.05cm}(61 )} \right\rceil } = 2^6\hspace{0.15cm}\underline {= 64}.$$
$$ T_{\rm{G}} = N_{\rm{G}} \cdot \frac{{T_{{\rm{opt}}} }} {{N_{{\rm{FFT}}} }}= 17 \cdot \frac{{97\,\,{\rm \mu s}}} {64}\hspace{0.15cm}\underline { \approx {26\,\,{\rm \mu s}}}.$$
+
*Unused carriers can be used as guard bands at the edges of the spectrum.
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'''(5)'''&nbsp; We denote the rounded number of grid points of the guard interval by&nbsp; $N_{\rm{G}}$.&nbsp; Then holds:
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:$$N_{\rm{G}} = \left\lceil {\frac{{T_{\rm{G}} '}} {{T_{{\rm{opt}}} }} \cdot N_{{\rm{FFT}}} } \right\rceil = \left\lceil {\frac{25\,\,{\rm &micro; s}} {97\,\,{\rm &micro; s}} \cdot 64 } \right\rceil \hspace{0.15cm}\underline {= 17},$$
 +
:$$ T_{\rm{G}} = N_{\rm{G}} \cdot \frac{{T_{{\rm{opt}}} }} {{N_{{\rm{FFT}}} }}= 17 \cdot \frac{{97\,\,{\rm &micro; s}}} {64}\hspace{0.15cm}\underline { \approx {26\,\,{\rm &micro; s}}}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(6)'''&nbsp; The frame duration results to
 +
:$$T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}} = {97\,\,{\rm &micro; s}} + {26\,\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.15cm}\underline {= {123\,\,{\rm &micro; s}}}.$$
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'''6.''' Für die Rahmendauer gilt:
+
'''(7)'''&nbsp; Using the results of subtasks&nbsp; '''(4)'''&nbsp; and&nbsp; '''(5)''',&nbsp; we obtain:
$$T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}} = {97\,\,{\rm \mu s}} + {26\,\,{\rm \mu s}}\hspace{0.15cm}\underline {= {123\,\,{\rm \mu s}}}.$$
+
:$$ N_{\rm{total}} = N_{\rm{FFT}} + N_{\rm{G}} = 64 + 17 \hspace{0.15cm}\underline {= 81}.$$
  
'''7.'''  Mit den Ergebnissen aus d) und e) erhält man:
 
$$ N_{\rm{gesamt}} = N_{\rm{FFT}} + N_{\rm{G}} = 64 + 17 \hspace{0.15cm}\underline {= 81}.$$
 
  
'''8.''' Die Neuberechnung ist nötig, da sich die Dauer des Guard–Intervalls geändert haben kann. Gegenüber Teilaufgabe c) wird die vorläufige Länge $T_G'$ durch $T_G$ ersetzt:
+
'''(8)'''&nbsp; The recalculation is necessary because the duration of the guard interval may have changed.&nbsp;
$$N_{{\rm{Nutz}}} = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm \mu s}} + {26\,\,{\rm \mu s}} )} {{{\rm{ld}}(4)}}}\right\rceil = \left\lceil 61.5\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 62}.$$
+
*Compared to subtask&nbsp;'''(3)''',&nbsp; the provisional length&nbsp; $T_{\rm{G}} '$&nbsp; is replaced by&nbsp; $T_{\rm{G}} $&nbsp; and a slightly different result is obtained:
 +
:$$N_{\rm user}' = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm &micro; s}} + {26\,\,{\rm &micro; s}} )} {{{\rm{log_2}}(4)}}}\right\rceil = \left\lceil 61.5\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 62}.$$
 +
*However,&nbsp; this still gives&nbsp; $N_{\rm FFT} = 64$.
  
  
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.7 OFDM für 4G–Netze^]]
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[[Category:Modulation Methods: Exercises|^5.7 OFDM for 4G Networks^]]

Latest revision as of 12:13, 25 January 2022

Time-dependent attenuation curve of two mobile radio channels

In this exercise,  some OFDM parameters of a mobile radio system are to be determined.  

The following assumptions are made:

  • The coherence time of the channel is  $T_{\rm coh} = 0.4 \ \rm ms$.
  • The maximum path delay is  $τ_{\rm max} = 25 \ \rm µ s$.
  • The data rate  (bit rate)  is  $R_{\rm B} = 1 \ \rm Mbit/s$.
  • All subcarriers are  $\rm 4–QAM$ modulated.


To ensure some robustness of the system to time and frequency selective fading,  the following inequality must be satisfied:

$$T_{\rm{G}} \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}.$$

Overall,  the following procedure should be followed:

  • Preliminary determination of the guard interval duration  $(T_{\rm G}')$,
  • Determination of the optimal core symbol duration  $(T)$,
  • corresponding determination of the number of sampling points of the  $\rm FFT$.


After that,  it may be necessary to redetermine some system quantities due to the rounding performed during the calculations.

The diagram shows two exemplary attenuation curves of mobile radio systems in logarithmic representation.

  • In the case of the blue curve,  the changes over time occur relatively slowly,  while in the case of the red curve they occur four times as fast.
  • Consequently,  the blue channel has a four times larger coherence time than the red channel.




Notes:



Questions

1

Determine the minimum reasonable duration  $T_{\rm G}'$  of the  "preliminary guard interval".

$T_{\rm G}' \ = \ $

$\ \rm µ s$

2

Determine the optimal core symbol duration  $T_{\rm opt}$  as a geometric mean.

$T_{\rm opt} \ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Determine the required number of useful carriers.

$N_{\rm user} \ = \ $

4

Specify the resulting number of interpolation points of the FFT.

$N_{\rm FFT} \ = \ $

5

Calculate the number  $N_{\rm G}$  of time samples of the guard interval and from this the new resulting guard duration  $T_{\rm G}$.

$N_{\rm G} \ = \ $

$T_{\rm G} \ = \ $

$\ \rm µ s$

6

Now use your calculations to specify the duration  $T_{\rm R}$  of a frame.

$T_{\rm R} \ = \ $

$\ \rm µ s$

7

What is the total number of samples contained in a frame?

$N_{\rm total} \ = \ $

8

Using the determined parameters,  determine the number of useful carriers  $N_{\rm use}'$  again.

$N_{\rm user}' \ = \ $


Solution

(1)  It holds that  $T_{\rm G}' = \tau_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline { = 25\ \rm µ s}$.

  • This establishes the lower limit of the inequality  $T_{\rm{G}}' \ll T \ll T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}}'$. 
  • However, the upper limit can now also be calculated since the coherence time  $T_{\rm coh} = 400\ \rm µ s$  is known.


(2)  The geometric mean is used to reasonably solve the inequality from  (1)

$$T_{{\rm{opt}}} = \sqrt {T_{\rm{G}} ' \cdot (T_{{\rm{coh}}} - T_{\rm{G}} ')} = \sqrt {{25\,\,{\rm µ s}} \cdot ({400\,\,{\rm µ s}} - {25\,\,{\rm µ s}})} \hspace{0.15cm}\underline { \approx {97\,\,{\rm µ s}}}.$$


(3)  The required number of useful carriers is given by the following equation:

$$N_{{\rm{user}}} = \left\lceil {\frac{{R_{{\rm{B}}} \cdot (T + T_{\rm{G}} ')}} {{{\rm{log}_2}(M)}}}\right\rceil = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm µ s}} + {25\,\,{\rm µ s}} )} {{{\rm{log}_2}(4)}}}\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 61}.$$


(4)  The number of interpolation points of the  $\rm FFT$  must always be a power of two.  It follows that:

$$ N_{{\rm{FFT}}} = 2^{\left\lceil {{\rm{log_2}} \hspace{0.05cm}(61 )} \right\rceil } = 2^6\hspace{0.15cm}\underline {= 64}.$$
  • Unused carriers can be used as guard bands at the edges of the spectrum.


(5)  We denote the rounded number of grid points of the guard interval by  $N_{\rm{G}}$.  Then holds:

$$N_{\rm{G}} = \left\lceil {\frac{{T_{\rm{G}} '}} {{T_{{\rm{opt}}} }} \cdot N_{{\rm{FFT}}} } \right\rceil = \left\lceil {\frac{25\,\,{\rm µ s}} {97\,\,{\rm µ s}} \cdot 64 } \right\rceil \hspace{0.15cm}\underline {= 17},$$
$$ T_{\rm{G}} = N_{\rm{G}} \cdot \frac{{T_{{\rm{opt}}} }} {{N_{{\rm{FFT}}} }}= 17 \cdot \frac{{97\,\,{\rm µ s}}} {64}\hspace{0.15cm}\underline { \approx {26\,\,{\rm µ s}}}.$$


(6)  The frame duration results to

$$T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}} = {97\,\,{\rm µ s}} + {26\,\,{\rm µ s}}\hspace{0.15cm}\underline {= {123\,\,{\rm µ s}}}.$$


(7)  Using the results of subtasks  (4)  and  (5),  we obtain:

$$ N_{\rm{total}} = N_{\rm{FFT}} + N_{\rm{G}} = 64 + 17 \hspace{0.15cm}\underline {= 81}.$$


(8)  The recalculation is necessary because the duration of the guard interval may have changed. 

  • Compared to subtask (3),  the provisional length  $T_{\rm{G}} '$  is replaced by  $T_{\rm{G}} $  and a slightly different result is obtained:
$$N_{\rm user}' = \left\lceil {\frac{10^6\,\,{\rm bit/s} \cdot ({97\,\,{\rm µ s}} + {26\,\,{\rm µ s}} )} {{{\rm{log_2}}(4)}}}\right\rceil = \left\lceil 61.5\right\rceil\hspace{0.15cm}\underline {= 62}.$$
  • However,  this still gives  $N_{\rm FFT} = 64$.