Aufgaben:Exercise 1.4: Nyquist Criteria

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Rechteckförmiges Nyquistspektrum

Durch die Skizze gegeben ist das Spektrum  $G(f)$  des Detektionsgrundimpulses, wobei der Parameter  $A$  noch zu bestimmen ist. Überprüft werden soll unter anderem, ob dieser Detektionsgrundimpuls eines der beiden Nyquistkriterien erfüllt. Diese lauten:

• Das erste Nyquistkriterium ist erfüllt, wenn für die Spektralfunktion gilt:

$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - {k}/{T} ) = {\rm const.}$$

In diesem Fall besitzt der Impuls  $g(t)$  für alle ganzzahligen Werte von  $ν$  mit Ausnahme von  $ν = 0$  Nulldurchgänge bei  $t = ν \cdot T$. Für die gesamte Aufgabe wird  $T = 0.1 \, \rm ms$  vorausgesetzt.

• Ist das zweite Nyquistkriterium erfüllt, so hat  $g(t)$  Nulldurchgänge bei  $\pm 1.5 T$,  $\pm 2.5 T$, usw.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Eigenschaften von Nyquistsystemen.

• Als bekannt vorausgesetzt werden die beiden Gleichungen:

$$X(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| > f_0 \hspace{0.08cm} \\ \end{array} \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} x(t) =2 \cdot A \cdot f_0 \cdot {\rm si}(2 \pi f_0 T) \hspace{0.05cm},$$

$$\sin(\alpha) \cdot \cos (\beta) = \frac{1}{2} \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)\big] \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Erfüllt der vorgegebene Impuls  $g(t)$  das erste Nyquistkriterium?

	Das erste Nyquistkriterium wird erfüllt
	Das erste Nyquistkriterium wird nicht erfüllt.

2

Bestimmen Sie den Parameter  $A$  derart, dass  $g(t = 0) = 2\, \rm V$  gilt.

$A \ = \ $ $ \ \rm mV/Hz$

3

Berechnen Sie  $g(t)$  aus  $G(f)$  durch Anwendung der Fourierrücktransformation.
Welcher (normierte) Funktionswert ergibt sich bei  $t = T$?

$ g(t = T)/g(t = 0) \ = \ $

4

Welcher (normierte) Wert ergibt sich für  $t = 2.5T$?

$g(t = 2.5 T)/g(t = 0)\ = \ $

5

Erfüllt der Impuls  $g(t)$  das zweite Nyquistkriterium?

	Das zweite Nyquistkriterium wird erfüllt.
	Das zweite Nyquistkriterium wird nicht erfüllt.

Musterlösung

Solution

(1)  Die folgende Grafik zeigt das Spektrum (der Index „Per” steht hier für „Periodische Fortsetzung”):

$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - \frac{k}{T} ) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Laufvariable $k = 0$ gibt die ursprüngliche Spektralfunktion $G(f)$ an. Diese ist grau gefüllt.
• Das um den Wert $1/T = 10\, \rm kHz$ nach rechts verschobene Spektrum gehört zu $k = 1$ und ist grün markiert, während $k = -1$ zur gelb hinterlegten Funktion führt.
• Die roten und blauen Flächen kennzeichnen die Beiträge der Laufvariablen $k = 2$ und $k = - 2$.

Zur Verdeutlichung des ersten Nyquistkriteriums

Man erkennt, dass $G_{\rm Per}(f)$ konstant ist. Daraus folgt, dass das erste Nyquistkriterium erfüllt ist. Richtig ist demzufolge der Lösungsvorschlag 1.

(2)  Aufgrund der Fourierintegrale gilt folgender Zusammenhang:

$$g(t=0) = \int_{-\infty}^{\infty}G(f) \,{\rm d} f = A \cdot ( 2\,{\rm kHz}+6\,{\rm kHz}+2\,{\rm kHz})= A \cdot 10\,{\rm kHz}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \frac{g(t=0)}{10\,{\rm kHz}} = \frac{2\,{\rm V}}{10\,{\rm kHz}} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.2 \, {\rm mV/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Es gelte $g(t) = g_{1}(t) +g_{2}(t)$, wobei

• $g_{1}(t)$ die Spektralanteile im Intervall $\pm 3 \, \rm kHz$ beinhaltet und
• $g_{2}(t)$ diejenigen zwischen $13 \, \rm kHz$ und $15 \, \rm kHz$ (und zwischen $-13 \, \rm kHz$ und $-15 \, \rm kHz$).

Mit der angegebenen Fourierkorrespondenz lauten die beiden Anteile:

$$g_1(t) \ = \ A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$

$$g_2(t) \ = \ A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot{\rm si}(\pi \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot t) \cdot 2 \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot 14\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Die zweite Gleichung folgt aus der Beziehung:

$$G_2(f) = \left[ \delta(f + 14\,{\rm kHz}) + \delta(f - 14\,{\rm kHz})\right] \star \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < 1\,{\rm kHz} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| > 1\,{\rm kHz} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Die untere Grafik zeigt den numerisch ermittelten Zeitverlauf $g(t)$. Für den Zeitpunkt $t = T = 0.1\, \rm ms$ (gelbes Quadrat) erhält man:

$$g_2(t = T ) = 2A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.2 \cdot \pi )\cdot \cos (2.8 \cdot \pi) = \frac{ A \cdot 4\,{\rm kHz}}{0.2 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(0.2 \cdot \pi )\cdot\cos (0.8 \cdot \pi) = \frac{ A \cdot 10\,{\rm kHz}}{ \pi}\cdot [{\rm sin}(-0.6 \cdot \pi)+ {\rm sin}(\pi)] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_2(t = T ) = -\frac{ A \cdot 10\,{\rm kHz}}{ \pi}\cdot {\rm sin}(0.6 \cdot \pi).$$

Für den ersten Anteil $g_1(t)$ gilt zum Zeitpunkt $t = T$:

$$g_1(t = T ) = A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.6 \cdot \pi )= \frac{ A \cdot 6\,{\rm kHz}}{0.6 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(0.6 \cdot \pi )= - g_2(t = T )$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g(t = T ) = g_1(t = T ) + g_2(t = T )\hspace{0.1cm}\underline {= 0 } \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis ist aufgrund der Nyquisteigenschaft nicht überraschend.

Höherfrequenter Nyquistimpuls

(4)  Für $t = 2.5 T$ (grünes Quadrat) erhält man folgende Teilergebnisse:

$$g_1(t = 2.5 T ) = A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(1.5 \cdot \pi )= \frac{ A \cdot 6\,{\rm kHz}}{1.5 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(1.5 \cdot \pi )= - \frac{ A \cdot 4\,{\rm kHz}}{ \pi}\hspace{0.05cm},$$

$$g_2(t = 2.5 T ) = 2A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.5 \cdot \pi )\cdot \cos (7 \cdot \pi)=- \frac{ A \cdot 8\,{\rm kHz}}{ \pi} $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g(t = 2.5 T ) = g_1(t = 2.5 T ) +g_2(t = 2.5 T ) = - \frac{ A \cdot 12\,{\rm kHz}}{ \pi} \hspace{0.05cm}.$$

Berücksichtigt man $g(t = 0) = A \cdot 10 \ \rm kHz$, so ergibt sich:

$$\frac{g(t = 2.5 T )}{g(t = 0)} = -\frac{ 1.2}{ \pi} \hspace{0.1cm}\underline {= -0.382 } \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Das zweite Nyquistkriterium besagt, dass der Nyquistimpuls $g(t)$ Nulldurchgänge bei $\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ besitzt.

• Nach dem Ergebnis aus (4) ist diese Bedingung hier nicht erfüllt.
• Richtig ist demzufolge der Lösungsvorschlag 2.