Aufgaben:Exercise 2.1Z: Which Tables Describe Groups?

• Return to book

Addition tables for  $q = 3$

In this exercise we consider sets of three elements each, generally denoted by  $\{z_0, \, z_1, \, z_2\}$. The elements can be:

• numbers, for example  $z_0 = 0, \ z_1 = 1, \ z_2 = 2$,
• algebraic expressions, such as  $z_0 = A, \ z_1 = B, \ z_2 = C$,
• anything, for example  $z_0 = \ "\hspace{-0.05cm}{\rm apple}\hspace{0.05cm}", \ z_1 = \ "\hspace{-0.05cm}{\rm pear}\hspace{0.05cm}", \ z_2 = \ "\hspace{-0.05cm}{\rm lemon}\hspace{0.05cm}"$.

A group  $(G, \ "+")$  with respect to the addition results if by a table the "$+$"–linkage between two elements each was defined in such a way that the following conditions are fulfilled (the run variables  $i, \ j, \ k$  can take the values  $0, \ 1, \ 2$  respectively):

• For all  $z_i ∈ G$ and $z_j ∈ G$  holds  $(z_i + z_j) ∈ G$   ⇒   Closure–criterion'. The condition must also be satisfied for  $i = j$  .
• For all  $z_i, \ z_j, \ z_k$, $(z_i + z_j) + z_k = z_i + (z_j + z_k)$   ⇒   Associative law'.
• There is a  neutral element with respect to addition   ⇒   $N_{\rm A} ∈ G$ such that for all  $z_i ∈ G$  holds   $z_i + N_{\rm A} = z_i$.
• For all $z_i ∈ G$ there is a  inverse element with respect to addition '  ⇒   ${\rm Inv}_{\rm A}(z_i) ∈ G$ such that  $z_i + {\rm Inv}_{\rm A}(z_i) = N_{\rm A}$  holds.

If, in addition, for all  $z_i ∈ G$  and  $z_j ∈ G$  still the  commutative law'   ⇒   $z_i + z_j = z_j + z_i$  is satisfied, then it is called a commutative group or – after the Norwegian mathematician  Niels Hendrik Abel – an  Abelian group.

The number set $\{0, \, 1, \, 2\}$  is an Abelian (commutative) group.

• According to the green bordered addition table in the above diagram, the addition modulo  $3$  is to be understood here.
• So the sum is always  $0, \ 1$ or $2$.
• The neutral element is  $N_{\rm A} = 0$  and the  to $z_i$  inverse element  ${\rm Inv}_{\rm A}(z_i) = -z_i$:

$${\rm Inv_A}(0) = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Inv_A}(1) = (-1)\hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}3 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Inv_A}(2) = (-2)\hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}3 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

In this exercise, you are to check whether the two other addition tables shown in the above diagram also each belong to an algebraic group.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige Grundlagen der Algebra.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Definition und Beispiele einer algebraischen Gruppe.

Fragebogen

1

Welche Aussagen ergeben sich aus der rot umrandeten Additionstabelle?

	Das neutrale Element ist  $N_{\rm A} = {\rm C}$.
	Die Inversen sind  $\rm Inv_A(A) = B, \ \ Inv_A(B) = A, \ \ Inv_A(C) = C$.
	Es handelt sich hier um eine additive Gruppe  $(G, \ +)$.
	Auch die Bedingung einer Abelschen Gruppe wird erfüllt.

2

Ändert sich etwas gegenüber Teilaufgabe (1), wenn die Elemente  $\rm A, \ \ B, \ \ C$ nun für  "$\hspace{-0.01cm}\rm Apfel\hspace{0.01cm}$", "$\rm Birne$" und "$\rm Zitrone$"  stehen?

	Ja.
	Nein.

3

Welche Aussagen ergeben sich aus der blau umrandeten Additionstabelle?

	Das neutrale Element ist  $N_{\rm A} = a$.
	Die additiven Inversen sind  $\rm Inv_A(a) = a, \ \ Inv_A(b) = b, \ \ Inv_A(c) = c$.
	Es handelt sich um eine Abelsche Gruppe.

Musterlösung

Solution

(1)  Es treffen alle Aussagen zu:

• Das neutrale Element $N_{\rm A} = {\rm C}$ erkennt man aus der letzten Zeile der Additionstabelle.
• Aus der Bedingung $z_i + {\rm Inv}_{\rm A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm C}$ erhält man:

• $\rm Inv_A(A) = B$, da an der zweiten Stelle der ersten Zeile das einzige $\rm C$ steht,
• $\rm Inv_A(B) = A$, da an der ersten Stelle der zweiten Zeile das einzige $\rm C$ steht,
• $\rm Inv_A(C) = C$, da an der letzten Stelle der dritten Zeile das einzige $\rm C$ steht.

• Das Assoziativgesetz überprüfen wir (unzulässigerweise) nur an einem einzigen Beispiel. Durch zweimalige Anwendung der Additionstabelle erhält man beispielsweise $\rm (A + B) + C = C + C=C$. Das gleiche Ergebnis ergibt sich für $\rm A + (B + C) = A + B = C$.

Damit sind alle Bedingungen für eine additive Gruppe erfüllt. Die Gültigkeit des Kommutativgesetzes erkennt man aus der Symmetrie der Additionstabelle zur Diagonalen. Damit ist die Gruppe auch "abelsch".

Übrigens: Die (rote) Additionstabelle ergibt sich aus der grünen Tabelle durch die Umbenennungen $0 → \rm C, \ 1 → A$ und $2 → \rm B$ und anschließender $\rm ABC$–Sortierung.

(2)  Richtig ist Nein:

• Alle Aussagen sind allein durch die Additionstabelle bestimmt und nicht durch die Bedeutung der Elemente.
• Auch der Autor dieser Aufgabe kann allerdings nicht tiefergehend begründen, warum die Modulo–3–Addition von "$\rm Apfel$" und "$\rm Birne$" das neutrale Element "$\rm Citrone$" ergibt.

(3)  Die beiden ersten Aussagen treffen zu im Gegensatz zur letzten:

• Das Kommutativgesetz wird verletzt (keine Symmetrie bezüglich der Tabellendiagonalen). Beispielsweise gilt:

$$ {\rm a} + {\rm b} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm b} \hspace{0.5cm} \ne \hspace{0.5cm} {\rm b} + {\rm a} = {\rm c} \hspace{0.05cm},$$

$${\rm a} + {\rm c} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm c} \hspace{0.5cm} \ne \hspace{0.5cm} {\rm c} + {\rm a} = {\rm b} \hspace{0.05cm},$$

$${\rm b} + {\rm c} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm b} \hspace{0.5cm} \ne \hspace{0.5cm} {\rm c} + {\rm b} = {\rm c} \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}.$$

• Damit ist die hier betrachtete Verknüpfung keine Abelsche (kommutative) Gruppe.
• Mehr noch, wegen der Verletzung des Assoziativgesetzes liegen hier bereits die Grundvoraussetzungen einer Gruppe nicht vor. Beispielsweise gilt:

$${\rm c} + ({\rm c} + {\rm c}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm c} + {\rm a} = {\rm b} \hspace{0.05cm},$$

$$({\rm c} + {\rm c}) + {\rm c} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm a} + {\rm c} = {\rm c} \hspace{0.05cm}.$$