Difference between revisions of "Signal Representation/Special Cases of Pulses"

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{{Header
 
{{Header
|Untermenü=Aperiodische Signale - Impulse
+
|Untermenü=Aperiodic Signals - Impulses
|Vorherige Seite=Fouriertransformation und -rücktransformation
+
|Vorherige Seite=The Fourier Transform and its Inverse
|Nächste Seite=Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation
+
|Nächste Seite=Fourier Transform Theorems
 
}}
 
}}
  
==Rechteckimpuls==
+
==Rectangular pulse==
 
<br>
 
<br>
[[File:Sig_T_3_2_S1_version3.png|right|frame|Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum]]
+
[[File:Sig_T_3_2_S1_version3.png|right|frame|Rectangular pulse and its spectrum]]
Man spricht von einem&nbsp; '''Rechteckimpuls''', wenn für die Zeitfunktion gilt:
+
One speaks of a&nbsp; &raquo;'''rectangular pulse'''&laquo;,&nbsp; if the following applies for the time domain:
  
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A  \\  A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.}  \\ \end{array}$$
+
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A  \\  A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c}  {\rm{for}}  \\  {\rm{for}}  \\  {\rm{for}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}  {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,}  \\  {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,}  \\  {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.}  \\ \end{array}$$
 
   
 
   
Hierbei bezeichnet&nbsp; $A$&nbsp; die Impulsamplitude und&nbsp; $T$&nbsp; die Impulsdauer.
+
$A$&nbsp; denotes the amplitude of the pulse and&nbsp; $T$&nbsp; the pulse duration.
  
 +
The corresponding spectral function&nbsp; $X(f)$&nbsp; is obtained by using the&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_its_Inverse#The_first_Fourier_integral|&raquo;first Fourier integral&laquo;]]:
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:$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} A  \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi  ft}\, {\rm d}t ,$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} X(f) =  A \cdot  \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$
  
Die dazugehörige Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; erhält man durch Anwendung des&nbsp; [[Signal_Representation/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]:
+
*Here the integration limits&nbsp; $\pm T/2$&nbsp; take into account that&nbsp; $x(t)$&nbsp; is identical to zero outside the interval from&nbsp; $-T/2$&nbsp; to&nbsp; $+T/2$.
 +
 
 +
*The second integral disappears due to the odd integrand and you get
 
   
 
   
:$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} {A  \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi  ft}\, {\rm d}t = A }\cdot  \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$
+
:$$X(f) = \frac{A  \cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$
  
*Hierbei berücksichtigen die Integrationsgrenzen&nbsp; $\pm T/2$, dass&nbsp; $x(t)$&nbsp; ausserhalb des Intervalls von&nbsp; $-T/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T/2$&nbsp; identisch Null ist.
+
*By extending the numerator and denominator each with&nbsp; $T$&nbsp; one can also write for the spectral function of the rectangular pulse:
*Das zweite Integral verschwindet aufgrund des ungeraden Integranden und man erhält:
 
 
   
 
   
:$$X(f) = \frac{\cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$
+
:$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( {\pi fT} \right)\hspace{1.3cm}\text{resp.}\hspace{1.3cm}\ X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm sinc}\hspace{-0.08cm}\left( {fT} \right).$$
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp;
+
$\text{Definitions:}$&nbsp; For abbreviation we define the following functions:
Zur Abkürzung definieren wir die nachfolgende Funktion und bezeichnen diese als&nbsp; '''si-Funktion'''&nbsp; oder auch als&nbsp; '''Spaltfunktion''':
+
*&raquo;'''sinc&ndash;function&laquo;'''&nbsp; $($predominantly used in Anglo-American literature$)$
 +
:$${\rm sinc}( x ) =  {\sin  (\pi  x) }/(\pi  x ),$$
 +
 
 +
*&raquo;'''si&ndash;function'''&laquo;&nbsp; or&nbsp; &raquo;$\text{splitting function}$&laquo; &nbsp;$($predominantly used in German literature$)$
 +
:$${\rm si}\left( x \right) = \sin \left( x \right)/x = {\rm sinc}(x/\pi ).$$}}
  
:$${\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( x \right) = \sin \left( x \right)/x.$$}}
 
  
 +
<u>Note:</u> &nbsp; In our&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; (because of the German original)&nbsp; we mostly use the function&nbsp; ${\rm si}(x)$,&nbsp; but important results are also given in the&nbsp; ${\rm sinc}(x)$ form.
  
Durch eine Erweiterung von Zähler und Nenner jeweils mit&nbsp; $T$&nbsp; kann man für die Spektralfunktion des Rechteckimpulses auch schreiben:
+
&rArr; &nbsp; As the right graph on the top shows,&nbsp; $X(f)$&nbsp; has the following properties:
+
*The maximum is at frequency&nbsp; $f=0$&nbsp; and has the value&nbsp; $A \cdot T$&nbsp; &rArr; &nbsp; &raquo;area of the rectangle&laquo;.
:$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( {\pi fT} \right).$$
 
  
Wie die Grafik zeigt, besitzt&nbsp; $X(f)$&nbsp; folgende Eigenschaften:
+
*For the frequencies&nbsp; $f_n = n/T$&nbsp; with&nbsp; $n = ±1, ±2, ±3,\text{ ...} $&nbsp; the spectral function has zeroes:
*Das Maximum liegt bei der Frequenz&nbsp; $f=0$&nbsp; und hat den Wert&nbsp; $A \cdot T$&nbsp; (Fläche des Rechtecks).
 
*Bei den Frequenzen&nbsp; $f_n = n/T$&nbsp; mit&nbsp; $n = ±1, ±2, ±3,\text{ ...} $&nbsp; besitzt das Spektrum Nullstellen:
 
  
 
:$$X( {f = f_n } ) = 0.$$
 
:$$X( {f = f_n } ) = 0.$$
 
   
 
   
*Für das Betragsspektrum gilt folgende Schranke:
+
*The following constraint applies to the magnitude spectrum:
 
   
 
   
 
:$$\left| {X( f )} \right| \le \frac{A}{\pi \cdot \left| f \right|}.$$
 
:$$\left| {X( f )} \right| \le \frac{A}{\pi \cdot \left| f \right|}.$$
  
  
==Gaußimpuls==
+
==Gaussian pulse==
 
<br>
 
<br>
Ein weiteres Beispiel eines aperiodischen Signals ist der&nbsp; '''Gaußimpuls'''&nbsp; mit dem Zeitverlauf
+
Another example of an aperiodic signal is the&nbsp; &raquo;'''Gaussian pulse'''&laquo;:
 
   
 
   
 
:$$x(t) = A  \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {t/\Delta t} \right)^2 } .$$
 
:$$x(t) = A  \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {t/\Delta t} \right)^2 } .$$
  
Dieser Impuls wird durch zwei Parameter beschrieben, nämlich durch
+
This pulse is described by two parameters,&nbsp; namely
*die Impulsamplitude&nbsp; $A$, und
+
*the pulse amplitude&nbsp; $A$,&nbsp; and
*die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t$.
+
*the equivalent pulse duration&nbsp; $\Delta t$.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp; Als&nbsp; '''äquivalente Impulsdauer'''&nbsp; bezeichnet man allgemein die Dauer eines Rechteckimpulses mit gleicher Amplitude und Fläche wie das gegebene impulsförmige Signal&nbsp; $x(t)$:
+
$\text{Definition:}$&nbsp; The term&nbsp; &raquo;'''equivalent pulse duration'''&laquo;&nbsp; is generally used to describe the duration of a rectangular pulse with the same amplitude and area as the given pulse-like signal&nbsp; $x(t)$:
  
 
:$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$}}
 
:$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$}}
  
  
Der Gaußimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; weist folgende Eigenschaften auf $($siehe Grafik im&nbsp; $\text{Beispiel 1})$:
+
The Gaussian pulse&nbsp; $x(t)$&nbsp; has the following properties&nbsp; $($see graphic in&nbsp; $\text{Example 1})$:
*Die Zeitfunktion ist für alle Zeiten von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; existent und positiv.  
+
#The time function is for all times from&nbsp; $-\infty$&nbsp; to&nbsp; $+\infty$&nbsp; existent and positive.
*Das bedeutet gleichzeitig:&nbsp; Die absolute Impulsdauer ist unendlich groß.
+
#This means simultaneously:&nbsp; The absolute pulse duration is infinite.
*Das Impulsmaximum&nbsp; $A$&nbsp; liegt bei $t = 0$.
+
#With the above definition the pulse maximum&nbsp; $A$&nbsp; is at&nbsp; $t = 0$.
*Bei&nbsp; $t = \pm \Delta t/2$&nbsp; ist der Impuls auf&nbsp; $\text{e}^{-\pi/4} \approx 0.456$&nbsp; des Maximums abgeklungen, und bei&nbsp; $t = \pm \Delta t$&nbsp; ist der Signalwert kleiner als&nbsp; $3.5 \cdot 10^{-6} \cdot A$.
+
#At&nbsp; $t = \pm \Delta t/2$&nbsp;, the pulse is decayed to &nbsp; $\text{e}^{-\pi/4} \approx 0.456$&nbsp; of the maximum.&nbsp; And at&nbsp; $t = \pm \Delta t$,&nbsp; the signal value is less than&nbsp; $3.5 \cdot 10^{-6} \cdot A$.
*Die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist ebenfalls gaußförmig  und  hat sinngemäß gleiche Eigenschaften wie der gaußförmige Impuls&nbsp; $x(t)$:
+
#The  spectral function&nbsp; $X(f)$&nbsp; is also Gaussian and has similar characteristics as the Gaussian pulse&nbsp; $x(t)$:
  
:$$X(f) = A  \cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {f \cdot \Delta t} \right)^2 }.$$
+
::$$X(f) = A  \cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \Delta t} \right)^2 }.$$
 
   
 
   
Auf der Seite&nbsp; [[Signal_Representation/Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]&nbsp;  wird auf die Analogien von Zeitbereich und Frequenzbereich des Gaußimpulses detailliert eingegangen.
+
In the section&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Theorems#Reciprocity_Theorem_of_time_duration_and_bandwidth|&raquo;Reciprocity Theorem&laquo;]]&nbsp;  the analogies of time domain and frequency domain of the Gaussian pulse are discussed in detail.
 +
 
 +
The following example illustrates the similarities and differences between the Gaussian pulse&nbsp; $x(t)$&nbsp; and its spectrum&nbsp; $X(f)$.
  
Das folgende Beispiel verdeutlicht die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen dem Gaußimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; und seinem Spektrum&nbsp; $X(f)$.
+
{{GraueBox|TEXT=
 +
[[File:P_ID559__Sig_T_3_2_S2_b_neu.png|right|frame|Gaussian pulse and its spectrum&nbsp; $($with numerical values$)$]] 
 +
$\text{Example 1:}$&nbsp;
 +
The output power pulse&nbsp; $x(t)$&nbsp; of a laser for digital optical transmission can be assumed to be Gaussian in the equivalent low-pass range with good approximation.
  
 +
Let the signal parameters be&nbsp; $A = 1 \,\text{mW}$&nbsp; and&nbsp; $\Delta t =1 \,\text{ns}$.
  
[[File:P_ID559__Sig_T_3_2_S2_b_neu.png|right|frame|Gaußimpuls und zugehöriges Spektrum (Zahlenwertbeispiel)]]
+
This gives the following comparable parameters in the spectral range:
{{GraueBox|TEXT= 
+
* The maximum&nbsp; $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12} \,\text{W/Hz}$,
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 
Der Ausgangsleistungsimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; eines Lasers für die digitale optische Übertragung kann im äquivalenten Tiefpassbereich mit guter Näherung als gaußförmig angenommen werden.
 
  
Die Signalparameter seien&nbsp; $A = 1 \,\text{mW}$&nbsp; und&nbsp; $\Delta t =1 \,\text{ns}$.  
+
*the equivalent bandwidth&nbsp; $\Delta f = 1/\Delta t = 1 \,\text{GHz}$.  
  
Damit erhält man im Spektralbereich die vergleichbaren Kenngrößen:
 
* das Maximum&nbsp; $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12} \,\text{W/Hz}$,
 
*die äquivalente Bandbreite&nbsp; $\Delta f = 1/\Delta t = 1 \,\text{GHz}$.
 
<br clear=all>
 
Theoretisch erstreckt sich das absolute Frequenzband bis ins Unendliche. Allerdings ist bei&nbsp; $f = 2 \cdot \Delta f = 2\,\text{GHz}$&nbsp; die Spektralfunktion gegenüber ihrem Maximum schon um den Faktor&nbsp; $3.5 \cdot 10^{-6}$&nbsp; abgeklungen.}}
 
  
 +
Theoretically,&nbsp; the absolute frequency band extends to infinity.&nbsp; However,&nbsp; at&nbsp; $f = 2 \cdot \Delta f = 2\,\text{GHz}$&nbsp; the spectral function is already reduced by the factor&nbsp; $3.5 \cdot 10^{-6}$&nbsp; compared to its maximum.}}
  
Wir möchten Sie auf zwei interaktive Applets zu dieser Thematik aufmerksam machen, mit denen Sie sich die Zeit– und Frequenzbereichsdarstellungen von Gaußimpuls, Rechteckimpuls, Dreieckimpuls, Trapezimpuls und Cosinus–Rolloff–Impuls  bzw. die vergleichbaren Größen eines LZI&ndash;Systems parametrisiert anzeigen lassen:
 
*[[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]
 
*[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und  Impulsantwort]]
 
  
 +
&rArr; &nbsp; We would like to draw your attention to two interactive applets on this topic with which you can display the time and frequency domain representations of the Gaussian pulse, rectangular pulse, triangular pulse, trapezoidal pulse and cosine rolloff pulse or the comparable quantities of an LTI system parameterized:
 +
*[[Applets:Pulses_and_Spectra|&raquo;Pulses and Spectra&laquo;]],
  
Ebenso ist die Darstellung der so genannten „dualen Korrespondenzen” möglich.
+
*[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|&raquo;Frequency Response and Impulse Response&laquo;]].
  
  
==Diracimpuls==
+
==Dirac delta or impulse==
 
<br>
 
<br>
Im Kapitel&nbsp; [[Signal_Representation/General_Description|Periodische Signale]]&nbsp; wurde die&nbsp; ''Diracfunktion''&nbsp; bereits zur Beschreibung des Spektrums eines Gleichsignals oder einer harmonischen Schwingung verwendet.  
+
In the chapter&nbsp; [[Signal_Representation/Direct_Current_Signal_-_Limit_Case_of_a_Periodic_Signal#Dirac_.28delta.29_function_in_frequency_domain|&raquo;Periodic Signals&laquo;]]&nbsp; the&nbsp; &raquo;Dirac delta function&laquo;&nbsp; was already used to describe the spectrum of a direct current&nbsp; $\rm (DC)$&nbsp; signal or a harmonic oscillation.&nbsp; However,&nbsp; in Communications Engineering it is also common and extremely advantageous to describe and analyze short-term processes with the help of this mathematical function in the time domain.
  
In der Nachrichtentechnik ist es aber auch üblich und äußerst vorteilhaft, kurzfristige impulsartige Vorgänge mit Hilfe dieser mathematischen Funktion im Zeitbereich zu beschreiben und zu analysieren.
 
  
[[File:Sig_T_3_2_S3_version3.png|right|frame|Diracimpuls und zugehöriges Spektrum]]
+
{{BlaueBox|TEXT=
{{BlaueBox|TEXT= 
+
[[File:Sig_T_3_2_S3_version3.png|right|frame|Dirac delta and corresponding spectrum]]  
 
$\text{Definition:}$&nbsp;
 
$\text{Definition:}$&nbsp;
Man bezeichnet als&nbsp; '''Diracimpuls'''&nbsp; den Zeitverlauf
+
A &nbsp; &raquo;'''Dirac delta'''&laquo;,&nbsp; also called&raquo;'''impulse'''&laquo;,&nbsp; is denoted as
 
:$$x(t) = X_0 \cdot \delta (t),$$
 
:$$x(t) = X_0 \cdot \delta (t),$$
 
   
 
   
der wie folgt charakterisiert werden kann (siehe Skizze):
+
and can be characterised as follows&nbsp; $($see plot$)$:
*Der Diracimpuls ist unendlich schmal &nbsp; &rArr; &nbsp; es gilt&nbsp; $x(t)$ = 0&nbsp; für&nbsp; $t \neq 0$&nbsp; und zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der Diracimpuls unendlich hoch.
+
*The Dirac delta is infinitely narrow &nbsp; &rArr; &nbsp; it holds&nbsp; $x(t)\equiv 0$&nbsp; for&nbsp; $t \neq 0$&nbsp; and at time&nbsp; $t = 0$&nbsp; the Dirac delta is infinitely high.
*Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf, so hat das Impulsgewicht&nbsp; $X_0$&nbsp; die Einheit „Vs” (also die Einheit „V/Hz” einer Spektralfunktion), da&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; selbst die Einheit „1/s” besitzt.
+
 
*Die Spektralfunktion des Diracimpulses beinhaltet alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; gleichermaßen: &nbsp;  
+
*If&nbsp; $x(t)$&nbsp;describes a voltage curve,&nbsp; then the impulse weight&nbsp; $X_0$&nbsp; has the unit&nbsp; "$\textrm{V} \cdot \textrm{s}$"&nbsp; $($i.e. the unit&nbsp; "$\textrm{V}/\textrm{Hz}$"&nbsp; of a spectral function$)$,&nbsp; since&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; itself has the unit&nbsp; "$1/\textrm{s}$".
 +
 
 +
*The Fourier transform of the Dirac delta includes all frequencies $f$&nbsp; equally: &nbsp;  
 
:$$X(f) = X_0 = \rm const.$$}}
 
:$$X(f) = X_0 = \rm const.$$}}
  
  
Die hier genannten Eigenschaften sind im Lernvideo&nbsp; [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]]&nbsp; zusammenfassend dargestellt.
+
The properties mentioned here are shown in the&nbsp; $($German language$)$&nbsp; learning video:&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|&raquo;Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion&laquo;]] &nbsp; &rArr; &nbsp; "Derivation and visualisation of the Dirac delta function".
  
[[File:P_ID561__Sig_T_3_2_S3b_neu.png|right|frame|Zur Bedeutung des Diracimpulses]]
+
{{GraueBox|TEXT=
{{GraueBox|TEXT=
+
$\text{Example 2:}$&nbsp; We consider a network with low-pass characteristic and very low cutoff frequency&nbsp; $f_{\rm G} = 10\,\text{ kHz}$.&nbsp; The output signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; does not  change significantly when one of the sketched signals&nbsp; $x_1(t)$,&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; or&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; is applied to the input.&nbsp; This result can be interpreted as follows:
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten ein
+
[[File:P_ID561__Sig_T_3_2_S3b_neu.png|right|frame|On the significance of the Dirac delta]] 
Netzwerk mit Tiefpass&ndash;Charakteristik und sehr niedriger Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = 10\,\text{ kHz}$. Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ändert sich (nahezu) nicht, wenn eines der skizzierten Signale&nbsp; $x_1(t)$,&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; oder&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; an den Eingang angelegt wird.
+
 
+
#The&nbsp; &raquo;equivalent pulse durations&laquo;&nbsp; are the same in each case&nbsp; $(\Delta t = 1\, &micro;\text{s})$&nbsp; and this is much smaller than&nbsp; $1/f_{\rm G} = 100 \, &micro;\text{s}$.&nbsp; The actual pulse shape&nbsp; $($rectangle or triangle$)$&nbsp; has only a minor influence on the output signal&nbsp; $y(t)$.&nbsp;
Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:
+
#Both the rectangle&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; and the triangle&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; can be approximated by the Dirac delta&nbsp; $x_3(t)$.&nbsp; The impulse weight&nbsp; $X_0 = 6 \cdot 10^{-6}\, \text{Vs}$&nbsp; must be equal to the pulse areas of&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; resp.&nbsp; $x_2(t)$.
*Da bei&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; die äquivalenten Impulsdauern jeweils gleich sind&nbsp; $(\Delta t = 1\, &micro;\text{s})$&nbsp; und diese sehr viel kleiner ist als&nbsp; $1/f_{\rm G} = 100 \, &micro;\text{s}$, hat die tatsächliche Impulsform (Rechteck oder Dreieck) nur einen untergeordneten Einfluss auf das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$.
+
#However, a sufficiently small cutoff frequency is required for this approximation.&nbsp; This simplification would not be permitted with&nbsp; $f_{\rm G} = 10 \, \text{MHz}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $1/f_{\rm G} = 100 \, \text{ns}$.
*Beide Eingangsimpulse – sowohl das Rechteck&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; als auch das Dreieck&nbsp; $x_2(t)$ – kann man durch den Diracimpuls&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; annähern.
+
#Even if the Dirac delta is drawn with the same height as the other two pulses,&nbsp; it still has an infinite value at the time&nbsp; $t = 0$.&nbsp;  
*Das Impulsgewicht&nbsp; $X_0 = 6 · 10^{-6}\, \text{Vs}$&nbsp; muss dabei gleich den Impulsflächen von&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; sein. Voraussetzung für diese Näherung ist allerdings eine hinreichend kleine Grenzfrequenz. Bei&nbsp; $f_{\rm G} = 10 \, \text{MHz}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $1/f_{\rm G} = 100 \, \text{ns}$&nbsp; wäre diese Vereinfachung dagegen nicht erlaubt.
+
#For the Dirac delta the impulse area&nbsp; $($&raquo;impulse weight&laquo;$)$&nbsp; is always specified.&nbsp; This differs from the other pulse amplitudes already in the unit&nbsp; $($e.g.&nbsp; "Vs"&nbsp; instead of&nbsp; "V"$)$.}}
*Auch wenn der Diracimpuls gleich hoch wie die beiden anderen Impulse gezeichnet ist, so hat er zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; trotzdem einen unendlich großen Wert.
 
*Beim Diracimpuls ist immer die Impulsfläche („Impulsgewicht”) angegeben. Diese unterscheidet sich gegenüber den anderen Impulsamplituden bereits in der Einheit&nbsp; (zum Beispiel „Vs” anstelle von „V”).}}
 
  
  
==Aufgaben zum Kapitel==
+
==Exercises for the chapter==
  
[[Aufgaben:Aufgabe_3.3:_Vom_Signal_zum_Spektrum|Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum]]
+
[[Aufgaben:Exercise 3.3: From The Signal to the Spectrum|Exercise 3.3: From the Signal to the Spectrum]]
  
[[Aufgaben:Aufgabe_3.3Z:_Rechteck-_und_Diracimpuls|Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls]]
+
[[Aufgaben:Exercise_3.3Z:_Rectangular_Pulse_and_Dirac_Delta|Exercise 3.3Z: Rectangular Pulse and Dirac Delta]]
  
  
  
 
{{Display}}
 
{{Display}}

Latest revision as of 17:26, 15 November 2023

Rectangular pulse


Rectangular pulse and its spectrum

One speaks of a  »rectangular pulse«,  if the following applies for the time domain:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}A \\ A /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{for}} \\ {\rm{for}} \\ {\rm{for}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

$A$  denotes the amplitude of the pulse and  $T$  the pulse duration.

The corresponding spectral function  $X(f)$  is obtained by using the  »first Fourier integral«:

$$X(f) = \int_{ - T/2}^{+T/2} A \cdot {\rm e}^{ -{\rm j}2\pi ft}\, {\rm d}t ,$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} X(f) = A \cdot \int_{ - T/2}^{+T/2} {\cos ( {2\pi}ft )\,{\rm d}t - {\rm j} \cdot A} \int_{ - T/2}^{+T/2} {\sin ( {2\pi ft} )}\,{\rm d}t .$$
  • Here the integration limits  $\pm T/2$  take into account that  $x(t)$  is identical to zero outside the interval from  $-T/2$  to  $+T/2$.
  • The second integral disappears due to the odd integrand and you get
$$X(f) = \frac{A \cdot \sin \left( {\pi fT} \right)}{\pi f}.$$
  • By extending the numerator and denominator each with  $T$  one can also write for the spectral function of the rectangular pulse:
$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}\hspace{-0.08cm}\left( {\pi fT} \right)\hspace{1.3cm}\text{resp.}\hspace{1.3cm}\ X( f ) = A \cdot T \cdot {\rm sinc}\hspace{-0.08cm}\left( {fT} \right).$$

$\text{Definitions:}$  For abbreviation we define the following functions:

  • »sinc–function«  $($predominantly used in Anglo-American literature$)$
$${\rm sinc}( x ) = {\sin (\pi x) }/(\pi x ),$$
  • »si–function«  or  »$\text{splitting function}$«  $($predominantly used in German literature$)$
$${\rm si}\left( x \right) = \sin \left( x \right)/x = {\rm sinc}(x/\pi ).$$


Note:   In our  $\rm LNTwww$  (because of the German original)  we mostly use the function  ${\rm si}(x)$,  but important results are also given in the  ${\rm sinc}(x)$ form.

⇒   As the right graph on the top shows,  $X(f)$  has the following properties:

  • The maximum is at frequency  $f=0$  and has the value  $A \cdot T$  ⇒   »area of the rectangle«.
  • For the frequencies  $f_n = n/T$  with  $n = ±1, ±2, ±3,\text{ ...} $  the spectral function has zeroes:
$$X( {f = f_n } ) = 0.$$
  • The following constraint applies to the magnitude spectrum:
$$\left| {X( f )} \right| \le \frac{A}{\pi \cdot \left| f \right|}.$$


Gaussian pulse


Another example of an aperiodic signal is the  »Gaussian pulse«:

$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {t/\Delta t} \right)^2 } .$$

This pulse is described by two parameters,  namely

  • the pulse amplitude  $A$,  and
  • the equivalent pulse duration  $\Delta t$.


$\text{Definition:}$  The term  »equivalent pulse duration«  is generally used to describe the duration of a rectangular pulse with the same amplitude and area as the given pulse-like signal  $x(t)$:

$$\Delta t = \frac{1}{A }\cdot \hspace{-0.15cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )\, {\rm d}t.}$$


The Gaussian pulse  $x(t)$  has the following properties  $($see graphic in  $\text{Example 1})$:

  1. The time function is for all times from  $-\infty$  to  $+\infty$  existent and positive.
  2. This means simultaneously:  The absolute pulse duration is infinite.
  3. With the above definition the pulse maximum  $A$  is at  $t = 0$.
  4. At  $t = \pm \Delta t/2$ , the pulse is decayed to   $\text{e}^{-\pi/4} \approx 0.456$  of the maximum.  And at  $t = \pm \Delta t$,  the signal value is less than  $3.5 \cdot 10^{-6} \cdot A$.
  5. The spectral function  $X(f)$  is also Gaussian and has similar characteristics as the Gaussian pulse  $x(t)$:
$$X(f) = A \cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{ - \pi \left( {f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \Delta t} \right)^2 }.$$

In the section  »Reciprocity Theorem«  the analogies of time domain and frequency domain of the Gaussian pulse are discussed in detail.

The following example illustrates the similarities and differences between the Gaussian pulse  $x(t)$  and its spectrum  $X(f)$.

Gaussian pulse and its spectrum  $($with numerical values$)$

$\text{Example 1:}$  The output power pulse  $x(t)$  of a laser for digital optical transmission can be assumed to be Gaussian in the equivalent low-pass range with good approximation.

Let the signal parameters be  $A = 1 \,\text{mW}$  and  $\Delta t =1 \,\text{ns}$.

This gives the following comparable parameters in the spectral range:

  • The maximum  $X_0 = X(f=0) = A \cdot \Delta t = 10^{-12} \,\text{W/Hz}$,
  • the equivalent bandwidth  $\Delta f = 1/\Delta t = 1 \,\text{GHz}$.


Theoretically,  the absolute frequency band extends to infinity.  However,  at  $f = 2 \cdot \Delta f = 2\,\text{GHz}$  the spectral function is already reduced by the factor  $3.5 \cdot 10^{-6}$  compared to its maximum.


⇒   We would like to draw your attention to two interactive applets on this topic with which you can display the time and frequency domain representations of the Gaussian pulse, rectangular pulse, triangular pulse, trapezoidal pulse and cosine rolloff pulse or the comparable quantities of an LTI system parameterized:


Dirac delta or impulse


In the chapter  »Periodic Signals«  the  »Dirac delta function«  was already used to describe the spectrum of a direct current  $\rm (DC)$  signal or a harmonic oscillation.  However,  in Communications Engineering it is also common and extremely advantageous to describe and analyze short-term processes with the help of this mathematical function in the time domain.


Dirac delta and corresponding spectrum

$\text{Definition:}$  A   »Dirac delta«,  also called»impulse«,  is denoted as

$$x(t) = X_0 \cdot \delta (t),$$

and can be characterised as follows  $($see plot$)$:

  • The Dirac delta is infinitely narrow   ⇒   it holds  $x(t)\equiv 0$  for  $t \neq 0$  and at time  $t = 0$  the Dirac delta is infinitely high.
  • If  $x(t)$ describes a voltage curve,  then the impulse weight  $X_0$  has the unit  "$\textrm{V} \cdot \textrm{s}$"  $($i.e. the unit  "$\textrm{V}/\textrm{Hz}$"  of a spectral function$)$,  since  $\delta (t)$  itself has the unit  "$1/\textrm{s}$".
  • The Fourier transform of the Dirac delta includes all frequencies $f$  equally:  
$$X(f) = X_0 = \rm const.$$


The properties mentioned here are shown in the  $($German language$)$  learning video: 
     »Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion«   ⇒   "Derivation and visualisation of the Dirac delta function".

$\text{Example 2:}$  We consider a network with low-pass characteristic and very low cutoff frequency  $f_{\rm G} = 10\,\text{ kHz}$.  The output signal  $y(t)$  does not change significantly when one of the sketched signals  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  or  $x_3(t)$  is applied to the input.  This result can be interpreted as follows:

On the significance of the Dirac delta
  1. The  »equivalent pulse durations«  are the same in each case  $(\Delta t = 1\, µ\text{s})$  and this is much smaller than  $1/f_{\rm G} = 100 \, µ\text{s}$.  The actual pulse shape  $($rectangle or triangle$)$  has only a minor influence on the output signal  $y(t)$. 
  2. Both the rectangle  $x_1(t)$  and the triangle  $x_2(t)$  can be approximated by the Dirac delta  $x_3(t)$.  The impulse weight  $X_0 = 6 \cdot 10^{-6}\, \text{Vs}$  must be equal to the pulse areas of  $x_1(t)$  resp.  $x_2(t)$.
  3. However, a sufficiently small cutoff frequency is required for this approximation.  This simplification would not be permitted with  $f_{\rm G} = 10 \, \text{MHz}$   ⇒   $1/f_{\rm G} = 100 \, \text{ns}$.
  4. Even if the Dirac delta is drawn with the same height as the other two pulses,  it still has an infinite value at the time  $t = 0$. 
  5. For the Dirac delta the impulse area  $($»impulse weight«$)$  is always specified.  This differs from the other pulse amplitudes already in the unit  $($e.g.  "Vs"  instead of  "V"$)$.


Exercises for the chapter

Exercise 3.3: From the Signal to the Spectrum

Exercise 3.3Z: Rectangular Pulse and Dirac Delta