Aufgaben:Exercise 2.3: Cosine and Sine Components: Difference between revisions

Latest revision as of 17:53, 16 March 2026

Spectra of DC, cosine and sine components

Given is the amplitude spectrum $X(f)$ of a signal $x(t)$ according to the graph.

Let $f_1 = 4\,\text{kHz}$ be the normalisation frequency.
Thus the frequencies of the signal components are $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ and $10\,\text{kHz}$.

This signal $x(t)$ is at the input of a linear differentiator whose output can be represented with $\omega_1 = 2\pi f_1$ as follows:

$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d} x(t)}{{\rm d} t}.$$

Hint:

This exercise belongs to the chapter Harmonic Oscillation.

Questions

$x(t=0)\ = \ $ ${\rm V}$

$T_0\ = \ $ ${\rm ms}$

$y(t=0)\ = \ $ ${\rm V}$

	$y(t)$ has the same period duration as the signal $x(t)$.
	$Y(f)$ contains a Dirac function at the frequency $f = 0$.
	$Y(f)$ contains a Dirac function at $+f_1$ with weight $\rm{j} · 1\,{\rm V}$.
	$Y(f)$ contains a Dirac function at $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$ with weight $5\,{\rm V}$.

Solution

(1) The time signal has the following form:

$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$

Sum signal of DC, cosine and sine components

Here $\omega_1 = 2\pi f_1$ denotes the circular frequency of the cosine component.
At time $t = 0$ the signal has the value $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$.

(2) The basic frequency $f_0$ is the greatest common divisor

of $f_1 = 4{\,\rm kHz}$
and $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$.

From this follows $f_0 = 2{\,\rm kHz}$ ⇒ period duration $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
(3) The following applies to the output signal $y(t)$ of the differentiatior:

$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$

This leads to the solution:

$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$

For $t = 0$ the value $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$ follows.
The spectrum $Y(f)$ is shown on the right.

(4) The solutions 1 and 4 are correct:

The period duration $T_0$ is not changed by the amplitude and phase of the two components.
This means, that $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ still applies.
The DC component disappears due to the differentiation.
The component $f_1$ is sinusoidal. Thus $X(f)$ has an (imaginary) Dirac at $f = f_1$, but with a negative sign.
The cosine component with amplitude ${10\,\rm V}$ results in the two Dirac functions at $\pm 2.5 \cdot f_1$ , each with weight ${5\,\rm V}$ .

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 }}
-[[File:	P_ID278__Sig_A_2_3.png|right|Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen (Aufgabe A2.3)]]
+[[File: P_ID278_Sig_A_2_3neu.png|right|frame|Spectra of DC, cosine and sine components]]
-[[File:P_ID273__Sig_A_2_3.png|right|Rechtecksignale mit und ohne Gleichanteil]]
-Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$.
+Given is the amplitude spectrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; of a signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; according to the graph.
-Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4$ kHz. Damit liegen die Frequenzen der Signalanteile bei 0 kHz, 4 kHz und 10 kHz (siehe Grafik).
+*Let&nbsp; $f_1 = 4\,\text{kHz}$ be the normalisation frequency.
-Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang wie folgt dargestellt werden kann ($\omega_1 = 2\pi f_1$):
+*Thus the frequencies of the signal components are&nbsp; $0\,\text{kHz}$,&nbsp; $4\,\text{kHz}$&nbsp; and&nbsp; $10\,\text{kHz}$.
-$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{\rm d \it x(t)}{\rm d \it t}.$$
+This signal&nbsp; $x(t)$&nbsp;  is at the input of a linear differentiator whose output can be represented with&nbsp; $\omega_1 = 2\pi f_1$&nbsp; as follows:
+:$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}  x(t)}{{\rm d}  t}.$$
+''Hint:''
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[ Signal_Representation/Harmonic_Oscillation|Harmonic Oscillation]].
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie $x(t)$ analytisch an. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 0$?
+{Give&nbsp; $x(t)$&nbsp; analytically.&nbsp; What is the signal value at&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
-$x(t=0)$ = { 1 } V
+$x(t=0)\ = \ $ { 1 3% } &nbsp; ${\rm V}$
-{Wie groß ist die Periodendauer des Signals $x(t)$?
+{What is the period duration of the signal&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
-$T_0$ = { 0.5 } ms
+$T_0\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp; ${\rm ms}$
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Calculate the output signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; of the differentiator.&nbsp; What is the signal value at time&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
-$y(t=0)$ = { 10 } V
+$y(t=0)\ = \ $ { 10 3% } &nbsp; ${\rm V}$
-{Welche der nachfolgenden Aussagen sind bezüglich des Signals $y(t)$ bzw. seines Spektrums $Y(f)$ zutreffend?
+{Which of the following statements are true regarding the signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; or its spectrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp;?
 |type="[]"}
-+ $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$.
++ $y(t)$&nbsp; has the same period duration as the signal&nbsp; $x(t)$.
-- $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f$ = 0.
+- $Y(f)$&nbsp; contains a Dirac function at the frequency&nbsp; $f = 0$.
-- $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f_1$ mit Gewicht j · 1V.
+- $Y(f)$&nbsp; contains a Dirac function at&nbsp; $+f_1$&nbsp; with weight&nbsp; $\rm{j} · 1\,{\rm V}$.
-+ $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei –2.5$f_1$ mit Gewicht 5V.
++ $Y(f)$&nbsp; contains a Dirac function at&nbsp; $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$&nbsp; with weight&nbsp; $5\,{\rm V}$.
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Das Zeitsignal hat die folgende Form:
+'''(1)'''&nbsp; The time signal has the following form:
-$$x(t)=\rm 3V-2V\cdot \cos(\it \omega_{\rm 1} t)+\rm 4V\cdot \sin(2.5\omega_{\rm 1} \it t).$$
+:$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$
-Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert 1V.
+[[File:P_ID293__Sig_A_2_3_a.png|right|frame|Sum signal of DC, cosine and sine components]]
-[[File:P_ID293__Sig_A_2_3_a.png|250px|right|Summensignal aus Cosinus- und Sinusanteilen (ML zu Aufgabe A2.3)]]
+*Here&nbsp; $\omega_1 = 2\pi f_1$&nbsp; denotes the circular frequency of the cosine component.
+*At time&nbsp; $t = 0$&nbsp; the signal has the value&nbsp; $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$.
-'''2.''' Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler von $f_1 = 4$ kHz und $2.5 · f_1$ = 10 kHz. Daraus folgt $f_0$ = 2 kHz und $T_0$ = $1/f_0$ = $0.5 ms$.
-'''3.''' Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt:
+'''(2)'''&nbsp; The basic frequency&nbsp; $f_0$&nbsp; is the greatest common divisor
+*of $f_1 = 4{\,\rm kHz}$
+*and $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$.
-$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$
+From this follows&nbsp; $f_0 = 2{\,\rm kHz}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  period duration $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
+<br clear=all>
+'''(3)'''&nbsp; The following applies to the output signal $y(t)$ of the differentiatior:
+:$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$
+[[File:P_ID294__Sig_A_2_3_d_neu.png|right|300px|frame|Spectrum with discrete components]]
-Dies führt zum Ergebnis:
+*This leads to the solution:
-$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$
+:$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$
-[[File:P_ID294__Sig_A_2_3_d_neu.png|250px|right|Spektrum mit diskreten Anteilen (ML zu Aufgabe A2.3)]]
+*For&nbsp; $t = 0$&nbsp; the value&nbsp; $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$ follows.
+*The spectrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; is shown on the right.
-Für den Nullzeitpunkt ergibt sich der Wert 10 V. Nebenstehend sehen Sie das Spektrum $Y(f)$.
-'''4.''' Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0$ = 0.5 ms gilt.
+'''(4)'''&nbsp; The <u>solutions 1 and 4</u> are correct:
-Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen. Der Cosinusanteil mit der Amplitude 10 V hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht 5 V. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 4.
+*The period duration $T_0$ is not changed by the amplitude and phase of the two components.
+*This means, that&nbsp; $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$&nbsp;  still applies.
+*The DC component disappears due to the differentiation.
+*The component&nbsp; $f_1$&nbsp; is sinusoidal. Thus&nbsp; $X(f)$&nbsp; has an (imaginary) Dirac at&nbsp; $f = f_1$, but with a negative sign.
+*The cosine component with amplitude&nbsp; ${10\,\rm V}$&nbsp; results in the two Dirac functions at&nbsp; $\pm 2.5 \cdot f_1$&nbsp;, each with weight&nbsp; ${5\,\rm V}$ .
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
-[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]
+[[Category:Signal Representation: Exercises|^2.3 Harmonic Oscillation^]]
+[[de:Aufgaben:Aufgabe 2.3: cos- und sin-Anteil]]