Aufgaben:Exercise 3.1Z: Spectrum of the Triangular Pulse: Difference between revisions

Latest revision as of 17:54, 16 March 2026

A triangular pulse ${x(t)}$ is considered, which is described in the range $–T ≤ t ≤ T$ by the following equation:

$$x(t) = A \cdot \left( {1 - {\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}/{T}} \right).$$

Let the pulse amplitude be $A = 1\, \text{V}$ and the time parameter $T = 1 \text{ ms}$. For all times $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ ⇒ ${x(t)} = 0$.

To calculate the spectral function ${X(f)}$ you can exploit the following properties:

The time function is even and thus the spectral function is real:

$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{+ \infty} {x(t)} \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{\infty} {x(t)} \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right)\ {\rm d}t.$$

For $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ ⇒ ${x(t)}$ has no components:

$$X\left( f \right) = 2 \cdot \int_0^T {x(t)} \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right)\ {\rm d}t.$$

Hints:

This exercise belongs to the chapter Fourier Transform and its Inverse.
Further information on this topic can be found in the (German language) learning video Kontinuierliche und diskrete Spektren ⇒ "Continuous and discrete spectra".

You can use the following formulas to solve this task:

$$\sin ^2 \left( \alpha \right) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos \left( {2\alpha } \right)} \right),$$

$$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right)\ {\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }} + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }.$$

Questions

Solution

(1) We use the abbreviation $\omega = 2\pi f$. Then taking advantage of the above symmetry properties:

$$X(f) = 2A \cdot \int_0^T {\left( {1 -{t}/{T}} \right)} \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$

This integral is composed of two parts:

$$X_1 (f) = 2A \cdot \int_0^T {\cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{2A}{\omega } \cdot \sin \left( {\omega T} \right),$$

$$X_2 (f) = - \frac{2A}{T} \cdot \int_0^T {t \cdot \cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = - \frac{2A}{T} \cdot \left. {\left[ {\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}}{\omega ^2 } + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]} \right|_0^T .$$

Taking into account the upper and lower limits, one obtains:

$$X_2 \left( f \right) = - \frac{2A}{T} \cdot \left[ {\frac{{\cos \left( {\omega T} \right)}}{\omega ^2 } - \frac{1}{\omega ^2 } + \frac{{T \cdot \sin \left( {\omega T} \right)}}{\omega }} \right].$$

Adding the two parts, we get:

$$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2 \cdot T}\cdot \big[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \big] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \big[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \big].$$

At frequency $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$ the argument of the cosine function is equal to $\pi$ and the cosine function itself is equal to $-1$. It follows:

$$X( {f ={1}/{2T} = 500\;{\rm Hz}} ) = \frac{4}{\pi^2} \cdot A \cdot T = \frac{4}{\pi^2} \cdot 1\;{\rm V} \cdot 10^{ - 3}\;{\rm s}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.405 \,{\rm mV/Hz}}.$$

(2) With the trigonometric transformation ${1}/{2} \cdot (1 - \cos (2 \alpha)) = \sin^2(\alpha)$ one obtains for the spectral function:

$$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin^2(\pi f T)}{\pi^2 \cdot {f^2 \cdot T^2}} = A \cdot T \cdot {{{\rm si}^2(\pi f T)}}.$$

At the frequency $f = 0$ the $\rm si$-function is equal to $1$. From this follows:

$$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm mV/Hz}}.$$

(3) The first zero occurs when the argument of the $\rm si$-function is equal to $\pi$.

From this follows: $f_0 \cdot T = 1$ bzw. $f_0 = 1/T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \ \text{kHz}}$.

(4) The first statement is correct:

The spectrum ${X(f)}$ is equal to ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$ at multiples of $f_0$ $(f = n \cdot f_0)$.
The second statement is false: At no frequency $f$ holds: ${X(f)} < 0$ (see sketch).

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-{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Fouriertransformation und -rücktransformation
+{{quiz-Header|Buchseite=Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse
 }}
-[[File:P_ID493__Sig_Z_3_1_neu.png|right|]]
+[[File:P_ID493__Sig_Z_3_1_neu.png|right|frame|Triangular pulse]]
-Betrachtet wird ein dreieckförmiger Impuls $\text{x(t)}$, der im Bereich $–T ≤ t ≤ T$ durch folgende Gleichung beschrieben wird:
+A triangular pulse&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; is considered, which is described in the range&nbsp; $–T ≤ t ≤ T$&nbsp; by the following equation:
-:$$x(t) = A \cdot \left( {1 - \frac{\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}{T}} \right).$$
+:$$x(t) = A \cdot \left( {1 - {\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}/{T}} \right).$$
-Die Impulsamplitude sei $A = 1 \text{V}$, der Zeitparameter $T = 1 \text{ms}$. Für alle Zeiten $| t | > T$ ist $\text{x(t)} = 0$.
+Let the pulse amplitude be&nbsp; $A = 1\, \text{V}$&nbsp; and the time parameter&nbsp; $T = 1 \text{ ms}$.&nbsp; For all times&nbsp; $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$&nbsp; &rArr; &nbsp; ${x(t)} = 0$.
-Zur Berechnung der Spektralfunktionen $\text{X(f)}$ können Sie folgende Eigenschaften ausnutzen:
+To calculate the spectral function&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; you can exploit the following properties:
-:* Die Zeitfunktion ist gerade und damit die Spektralfunktion reell:
+* The time function is even and thus the spectral function is real:
-:$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)}  \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{  \infty } {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
+:$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{+ \infty} {x(t)}  \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{\infty} {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right)\ {\rm d}t.$$
-:* Für $| t | > T$ besitzt $\text{x(t)}$ keine Anteile:
+* For&nbsp; $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${x(t)}$&nbsp; has no components:
-:$$X\left( f \right) = 2 \cdot \int_0^T {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
-<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://en.lntwww.de/Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation Kapitel 3.1]. Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie auf die folgenden Formeln zurückgreifen:
-:$$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right){\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }}  + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 },$$
-:$$\sin ^2 \left( \alpha  \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \left( {2\alpha } \right)} \right).$$
-Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das folgende Lernvideo:
-Unterschiede und Gemeinsamkeiten von kontinuierlichen und diskreten Spektren.
+:$$X\left( f \right) = 2 \cdot \int_0^T {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right)\ {\rm d}t.$$
-===Fragebogen===
+''Hints:''
+*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse|Fourier Transform and its Inverse]].
+*Further information on this topic can be found in the (German language) learning video&nbsp; [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]] &nbsp; &rArr; &nbsp; "Continuous and discrete spectra".
+*You can use the following formulas to solve this task:
+:$$\sin ^2 \left( \alpha  \right) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos \left( {2\alpha } \right)} \right),$$
+:$$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right)\ {\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }}  + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }.$$
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion $\text{X(f)}$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 500 \text{Hz}$?
+{Calculate the spectral function&nbsp; ${X(f)}$.&nbsp; What spectral value results at the frequency $f = 500 \,\text{Hz}$?
 |type="{}"}
-$X(f = 500 Hz)$ = { 0.405 3% } $\cdot 10^{-3}\ \text{V/Hz}$
+$X(f = 500 \,\text{Hz}) \ = \ $ { 0.405 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Geben Sie die Spektralfunktion $\text{X(f)}$ unter Verwendung der Spaltfunktion $si(x) = sin(x)/x$ an. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
+{Give the spectral function&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; using the&nbsp; "slitting function"&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x$.&nbsp; What value results for&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
-$X(f = 0)$ = { 1 3% } $\cdot 10^{-3}\ \text{V/Hz}$
+$X(f = 0) \ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Bei welcher Frequenz $f = f_0$ hat das Spektrum $\text{X(f)}$ die erste Nullstelle?
+{At what frequency $f = f_0$&nbsp; does the spectrum&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; have the first zero?
 |type="{}"}
-$f_0$ = { 1 3% } $\text{kHz}$
+$f_0 \ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
-{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Which of the two statements is true?
 |type="[]"}
-+ Bei allen Vielfachen von $f_0$ hat das Spektrum Nullstellen.
++ At all multiples of&nbsp; $f_0$&nbsp; the spectrum has zeros.
-- Bei der Frequenz $f = 1.5 \cdot f_0$ ist die Spektralfunktion negativ.
+- At the frequency&nbsp; $f = 1.5 \cdot f_0$&nbsp; the spectral function is negative.
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Unter Ausnutzung der genannten Symmetrieeigenschaften gilt mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$:
+'''(1)'''&nbsp; We use the abbreviation&nbsp; $\omega = 2\pi f$.&nbsp; Then taking advantage of the above symmetry properties:
-:$$X(f) = 2A \cdot \int_0^T {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}  \cdot \cos \left( {\omega t} \right){\rm d}t.$$
+:$$X(f) = 2A \cdot \int_0^T {\left( {1 -{t}/{T}} \right)}  \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
-Dieses Integral setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
+*This integral is composed of two parts:
-:$$X_1 (f) = 2A \cdot \int_0^T {\cos } \left( {\omega t} \right){\rm d}t =   \frac{2A}{\omega } \cdot \sin \left( {\omega T} \right),$$
+:$$X_1 (f) = 2A \cdot \int_0^T {\cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t =   \frac{2A}{\omega } \cdot \sin \left( {\omega T} \right),$$
-:$$X_2 (f) =  - \frac{2A}{T} \cdot \int_0^T {t \cdot \cos } \left( {\omega t} \right){\rm d}t =  - \frac{2A}{T} \cdot \left. {\left[ {\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}}{\omega ^2 } + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]} \right|_0^T  .$$
+:$$X_2 (f) =  - \frac{2A}{T} \cdot \int_0^T {t \cdot \cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t =  - \frac{2A}{T} \cdot \left. {\left[ {\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}}{\omega ^2 } + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]} \right|_0^T  .$$
-Unter Berücksichtigung von oberer und unterer Grenze erhält man:
+*Taking into account the upper and lower limits, one obtains:
 :$$X_2 \left( f \right) =  - \frac{2A}{T} \cdot \left[ {\frac{{\cos \left( {\omega T} \right)}}{\omega ^2 } - \frac{1}{\omega ^2 } + \frac{{T \cdot \sin \left( {\omega T} \right)}}{\omega }} \right].$$
-Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich:
+*Adding the two parts, we get:
-:$$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2  \cdot T}\left[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \right] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \left[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \right].$$
+:$$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2  \cdot T}\cdot \big[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \big] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \big[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \big].$$
-Bei der Frequenz $f = 1/(2T) = 500 \text{Hz}$ ist das Argument der Cosinusfunktion gleich $\pi$ und damit die Cosinusfunktion selbst gleich $–1$. Daraus folgt:
+*At frequency&nbsp; $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$&nbsp; the argument of the cosine function is equal to&nbsp; $\pi$&nbsp; and the cosine function itself is equal to&nbsp; $-1$.&nbsp; It follows:
-:$$X( {f = \frac{1}{2T} = 500\;{\rm Hz}} ) = \frac{4}{\pi^2} \cdot A \cdot T  = \frac{4}{\pi^2} \cdot 1\;{\rm V} \cdot 10^{ - 3}\;{\rm s}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.405 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm V/Hz}}.$$
+:$$X( {f ={1}/{2T} = 500\;{\rm Hz}} ) = \frac{4}{\pi^2} \cdot A \cdot T  = \frac{4}{\pi^2} \cdot 1\;{\rm V} \cdot 10^{ - 3}\;{\rm s}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.405 \,{\rm mV/Hz}}.$$
-'''2.'''  Mit der trigonometrischen Umformung
+'''(2)'''&nbsp; With the trigonometric transformation&nbsp; ${1}/{2} \cdot (1 - \cos (2 \alpha)) = \sin^2(\alpha)$&nbsp; one obtains for the spectral function:
-:$${1}/{2} \cdot (1 - \cos (2 \alpha)) = \sin^2(\alpha)$$
+[[File:P_ID497__Sig_Z_3_1_d_neu.png|right|frame|Normalized spectrum&nbsp; $X(f)$]]
-erhält man für die Spektralfunktion:
 :$$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin^2(\pi f T)}{\pi^2 \cdot {f^2  \cdot T^2}} = A \cdot T \cdot {{{\rm si}^2(\pi f T)}}.$$
-Bei der Frequenz $f = 0$ ist die si-Funktion gleich $1$. Daraus folgt:
+*At the frequency&nbsp; $f = 0$&nbsp; the&nbsp; $\rm si$-function is equal to&nbsp; $1$. From this follows:
-:$$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 10^{ - 3} \;{\rm V/Hz}}.$$
+:$$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm mV/Hz}}.$$
+'''(3)'''&nbsp; The first zero occurs when the argument of the &nbsp; $\rm si$-function is equal to&nbsp; $\pi$.
+*From this follows:&nbsp; $f_0 \cdot T = 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $f_0 = 1/T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \ \text{kHz}}$.
-'''3.'''  Die erste Nullstelle tritt auf, wenn das Argument der si-Funktion gleich $\pi$ ist. Daraus folgt $f_0 \cdot T = 1$ bzw. $f_0 = 1/T \underline{= 1 \text{kHz}}$.
+'''(4)'''&nbsp; The <u>first statement</u> is correct:
+*The spectrum&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; is equal to&nbsp; ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$&nbsp; at multiples of&nbsp; $f_0$&nbsp; $(f = n \cdot f_0)$.
+*The second statement is false:&nbsp; At no frequency $f$&nbsp; holds:&nbsp; ${X(f)} < 0$&nbsp; (see sketch).
-'''4.'''  Die Spektralfunktion $\text{X(f)}$ ist bei Vielfachen von $f_0$ ($f = n \cdot f_0$) gleich $si^2(n \cdot \pi) = 0$. Die erste Aussage trifft also zu im Gegensatz zur zweiten: Bei keiner Frequenz $f$ ist $\text{X(f)} < 0$ (siehe Skizze).
-[[File:P_ID497__Sig_Z_3_1_d_neu.png|center|]]
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
-[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]
+[[Category:Signal Representation: Exercises|^3.1 Fourier Transform and Its Inverse^]]
+[[de:Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Spektrum des Dreieckimpulses]]

	At all multiples of $f_0$ the spectrum has zeros.
	At the frequency $f = 1.5 \cdot f_0$ the spectral function is negative.