[[File:P_ID1994__Dig_A_4_1.png|right|frame|Specification for the Gram-Schmidt process]]
Für die vier durch die Abbildung definierten Signale $s_1(t), \, ... \, , s_4(t)$ sind durch Anwendung des sog. Gram–Schmidt–Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ und $\varphi_3(t)$ zu ermitteln, so dass für die Signale mit $i = 1, \, ... \, , 4$ geschrieben werden kann:
For the four signals $s_1(t), \, \text{...} \, , s_4(t)$ defined by the figure, the three resulting basis functions $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ and $\varphi_3(t)$ are to be determined by applying the Gram-Schmidt process, so that for the signals with $i = 1, \, \text{...} \, , 4$ can be written:
In der Teilaufgabe (1) gelte $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ \rm \mu s$. In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: $A = 1$, $T = 1$. Damit sind sowohl die Koeffizienten $s_{\it ij}$ als auch die Basisfunktionen $\varphi_{\it}(t)$ – jeweils mit $j = 1, 2, 3$ – dimensionslose Größen.
*In the later subtasks, the amplitude and the time are normalized quantities: $A = 1$, $T = 1$.
*Thus, both the coefficients $s_{\it ij}$ and the basis functions $\varphi_{\it j}(t)$ $($with $j = 1,\ 2,\ 3)$ are dimensionless quantities.
''Hinweise:''
* Die Aufgabe bezieht sich inhaltlich auf das Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
* Auf der Seite 3a des Kapitels ist das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|Gram–Schmidt–Verfahren]] angegeben, auf der Seite 3b finden Sie ein [https://intern.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=block&b_id=2735&hyperlink_typ=block_verweis&hyperlink_fenstergroesse=blockverweis_gross| Berechnungsbeispiel] ähnlich zu dieser Aufgabe.
===Fragebogen===
Notes:
*The exercise belongs to the chapter [[Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces|"Signals, Basis Functions and Vector Spaces"]].
*Reference is made in particular to the sections [[Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces#Orthonormal_basis_functions|"Orthonormal basis functions"]] and [[Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces#The_Gram-Schmidt_process|"Gram-Schmidt process"]].
===Questions===
<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Welche Einheiten besitzen die folgenden Größen mit $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ {\rm \mu s}$?
{What are the units of the following quantities with $A^2 = 1 \, \rm mW$ and $T = 1 \, {\rm µ s}$?
|type="[]"}
|type="[]"}
- Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ sind dimensionslos.
- The basis functions $\varphi_j(t)$ are dimensionless.
+ Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ haben die Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$.
+ The basis functions $\varphi_j(t)$ have the unit $\rm \sqrt{\rm s}$.
- Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ sind dimensionslos.
- The coefficients $s_{\it ij}$ are dimensionless.
+ Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ haben die Einheit $({\rm Ws})^{\rm 0.5}$.
+ The coefficients $s_{\it ij}$ have the unit $\rm \sqrt{\rm Ws}$.
{Führen Sie den ersten Schritt des Gram–Schmidt–Verfahrens durch. Wie für die weiteren Aufgaben gelte $A = 1$ und $T = 1$.
{Perform the first step of the Gram-Schmidt process. As for the other tasks, let $A = 1$ and $T = 1$ hold.
|type="{}"}
|type="{}"}
$s_{\rm 11}$ = { 1.414 3% }
$s_{\rm 11} \ = \ $ { 1.414 3% }
$s_{\rm 12}$ = { 0 3% }
$s_{\rm 12} \ = \ $ { 0. }
$s_{\rm 13}$ = { 0 3% }
$s_{\rm 13} \ = \ $ { 0. }
{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_2(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?
{What are the coefficients of the signal $s_2(t)$ with $A = 1$ and $T = 1$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$s_{\rm 21}$ = { 0.707 3% }
$s_{\rm 21} \ = \ $ { 0.707 3% }
$s_{\rm 22}$ = { 0.707 3% }
$s_{\rm 22} \ = \ $ { 0.707 3% }
$s_{\rm 23}$ = { 0 3% }
$s_{\rm 23} \ = \ $ { 0. }
{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_3(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?
{What are the coefficients of the signal $s_3(t)$ with $A = 1$ and $T = 1$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$s_{\rm 31}$ = { -0.72821--0.68579 }
$s_{\rm 31} \ = \ $ { -0.72821--0.68579 }
$s_{\rm 32}$ = { 0.707 3% }
$s_{\rm 32} \ = \ $ { 0.707 3% }
$s_{\rm 33}$ = { 0 3% }
$s_{\rm 33} \ = \ $ { 0. }
{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_4(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?
{What are the coefficients of the signal $s_4(t)$ with $A = 1$ and $T = 1$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$s_{\rm 41}$ = { 0 3% }
$s_{\rm 41} \ = \ $ { 0. }
$s_{\rm 42}$ = { 0 3% }
$s_{\rm 42} \ = \ $ { 0. }
$s_{\rm 43}$ = { 1 3% }
$s_{\rm 43} \ = \ $ { 1 3% }
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Solution===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Jede orthonormale Basisfunktion soll die Energie 1 aufweisen, das heißt, es muss gelten:
'''(1)''' <u>Solutions 2 and 4</u> are correct:
:$$||\varphi_j(t)||^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t)^2\,{\rm d} t = 1
*Every orthonormal basis function should have energy $1$, that is, it must hold:
\hspace{0.05cm}.$$
:$$||\varphi_j(t)||^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t)^2\,{\rm d} t = 1\hspace{0.05cm}.$$
*For this condition to be satisfied, the basis function must have unit $\rm \sqrt{\rm s}$.
Damit diese Bedingung zu erfüllen ist, muss die Basisfunktion die Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$ besitzen. Weiterhin ist die Gleichung
*Like the parameter $A$, the signals themselves have the unit $\rm \sqrt{\rm W}$.
zu berücksichtigen. Die Signale selbst weisen wie $A$ die Einheit ${\rm W}^{\rm 0.5}$ auf. Wegen der Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$ von $\varphi_{\rm j}(t)$ ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen, wenn die Koeffizienten $s_{\it ij}$ mit der Einheit $({\rm Ws})^{\rm 0.5}$ angegeben werden. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
*Because of the unit $\rm \sqrt{\rm 1/s}$ of $\varphi_{ j}(t)$, this equation can be satisfied with the correct dimension only if the coefficients $s_{\it ij}$ are given with the unit $\rm \sqrt{\rm Ws}$.
'''(2)''' Die Energie des Signals $s_1(t)$ ist gleich $E_1 = 2$. Daraus folgt für die Norm, für die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ sowie für den Koeffizienten $s_{\rm 11}$:
Die weiteren Koeffizienten sind $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, da die zugehörigen Basisfunktionen bisher noch gar nicht gefunden wurden, während $\varphi_1(t)$ formgleich mit $s_1(t)$ ist.
'''(2)''' The energy of the signal $s_1(t)$ is equal to $E_1 = 2$.
*It follows for the norm, the basis function $\varphi_1(t)$ and the coefficient $s_{\rm 11}$:
*The other coefficients are $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, since the associated basis functions have not been found at all yet, while $\varphi_1(t)$ is equal in form to $s_1(t)$.
'''(3)''' Da nach Berücksichtigung von $s_2(t)$ höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind, gilt mit Sicherheit $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$. Dagegen erhält man für den Koeffizienten
'''(3)''' Since at most two basis functions are found after considering $s_2(t)$ ⇒ $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$ holds with certainty. On the other hand one obtains
The calculations are illustrated in the graph below.
'''(4)''' Man erkennt sofort, dass $s_3(t)$ sich als Linearkombination aus $s_1(t)$ und $s_2(t)$ ausdrücken lässt.
'''(4)''' It can be seen immediately that $s_3(t)$ can be expressed as a linear combination of $s_1(t)$ and $s_2(t)$.
'''(5)''' Der Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ wird weder von $\varphi_1(t)$ noch von $\varphi_2(t)$ abgedeckt. Deshalb liefert $s_4(t)$ die neue Basisfunktion $\varphi_3(t)$. Da außerdem $s_4(t)$ nur Anteile im Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ aufweist und $||s_4(t) = 1$ ist, ergibt sich $\varphi_3(t) = s_4(t)$ sowie
'''(5)''' The range $2 ≤ t ≤ 3$ is not covered by $\varphi_1(t)$ and $\varphi_2(t)$.
*Therefore, $s_4(t)$ provides the new basis function $\varphi_3(t)$.
*Since $s_4(t)$ has components only in the range $2 ≤ t ≤ 3$ and $||s_4(t)|| = 1$, we obtain $\varphi_3(t) = s_4(t)$ as well as
For the four signals $s_1(t), \, \text{...} \, , s_4(t)$ defined by the figure, the three resulting basis functions $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ and $\varphi_3(t)$ are to be determined by applying the Gram-Schmidt process, so that for the signals with $i = 1, \, \text{...} \, , 4$ can be written:
Like the parameter $A$, the signals themselves have the unit $\rm \sqrt{\rm W}$.
Because of the unit $\rm \sqrt{\rm 1/s}$ of $\varphi_{ j}(t)$, this equation can be satisfied with the correct dimension only if the coefficients $s_{\it ij}$ are given with the unit $\rm \sqrt{\rm Ws}$.
(2) The energy of the signal $s_1(t)$ is equal to $E_1 = 2$.
It follows for the norm, the basis function $\varphi_1(t)$ and the coefficient $s_{\rm 11}$:
The other coefficients are $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, since the associated basis functions have not been found at all yet, while $\varphi_1(t)$ is equal in form to $s_1(t)$.
(3) Since at most two basis functions are found after considering $s_2(t)$ ⇒ $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$ holds with certainty. On the other hand one obtains
