[[File:P_ID1476__Dig_Z_3_11.png|right|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
[[File:P_ID1476__Dig_Z_3_11.png|right|frame|Calculation of the minimum accumulated metrics]]
Für die in der [[Aufgaben:3.11_Viterbi-Empf%C3%A4nger_und_Trellisdiagramm|Aufgabe 3.11]] behandelte Maximum–Likelihood–Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient $a_{\rm \nu} ∈ \{+1, –1\}$ sollen die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ sowie die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(–1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ ermittelt werden.
For the maximum likelihood constellation with bipolar amplitude coefficient $a_{\rm \nu} ∈ \{+1, –1\}$ discussed in [[Aufgaben:Exercise_3.11:_Viterbi_Receiver_and_Trellis_Diagram|"Exercise 3.11"]], the metrics $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ and the minimum accumulated metrics ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(–1)$ and ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ are to be determined.
Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte $g_0$ und $g_{\rm –1}$ gegeben. Diese können ebenso wie die Detektionsabtastwerte $d_0$ und $d_1$ aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$ und $\nu = 1$ entnommen werden. Anzumerken ist, dass vor der eigentlichen Nachricht ($a_1$, $a_2$, $a_3$) stets das Symbol $a_0 = 0$ gesendet wird. Für den Zeitpunkt $\nu = 0$ gilt:
#The basic pulse is given by the two values $g_0$ and $g_{\rm –1}$.
#These, as well as the detection samples $d_0$ and $d_1$, can be taken from the following calculations for the metrics $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ at times $\nu = 0$ and $\nu = 1$.
#Note that the symbol $a_0 = 0$ is always sent before the actual message $(a_1$, $a_2$, $a_3)$.
Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt $\nu = 0$ geschlossen werden, dass mit großer Wahrscheinlichkeit $a_1 = -\hspace{-0.05cm}1$ ist. Für den Zeitpunkt $\nu = 1$ ergeben sich folgende Fehlergrößen:
Die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$, die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können, sind bereits in der Grafik eingezeichnet. Die weiteren Detektionsabtastwerte sind $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
From this it could be concluded already at time $\nu = 0$ that with high probability $a_1 = -\hspace{-0.05cm}1$.
For time $\nu = 1$, the following metrics result:
The minimum accumulated metrics ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$ and ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ that can be calculated with these six metrics are already plotted in the graph. The other detection samples are $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
d_{3}=0.5 \hspace{0.05cm}.$
d_{3}=0.5 \hspace{0.05cm}.$
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|Viterbi–Empfänger]].
Notes:
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
*The exercise belongs to the chapter [[Digital_Signal_Transmission/Viterbi_Receiver|"Viterbi Receiver"]].
* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie izudem von biipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$
* Die Thematik wird auch im Interaktionsmodul [[Eigenschaften des Viterbi–Empfängers]] behandelt.
* All quantities here are to be understood normalized.
{Berechnen Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit $\nu = 3$ $(d_3 = 0.5)$.
{Calculate the minimum accumulated metric for time $\nu = 3$ $(d_3 = 0.5)$.
|type="{}"}
|type="{}"}
${\it \Gamma}_3(+1) \ = \ $ { 0.38 3% }
${\it \Gamma}_3(+1) \ = \ $ { 0.38 3% }
Line 61:
Line 67:
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Solution===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Aus den Gleichungen auf der Angabenseite erkennt man $d_0 = \underline{–0.4}$ und $d_1 = \underline {–0.8}$.
'''(1)''' From the equations on the information section one can see $d_0 = \underline{–0.4}$ and $d_1 = \underline {–0.8}$.
'''(2)''' The metric $\varepsilon_0(i)$ include the basic pulse value $g_{\rm –1}$, which is used to establish the relationship between the amplitude coefficient $a_1$ and the detection sample $d_0$ $(g_0$ is not included in these equations$)$.
*One can see $g_{\rm –1}\ \underline {= 0.4}$.
*From the equations for $\nu = 1$, the main value $g_0 \ \underline {= 0.6}$ can be read.
'''(3)''' The correct solutions are <u>1 and 4</u>:
*In contrast, unipolar signaling ⇒ $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ would result in values of $0, \ 0.4, \ 0.6$ and $1$.
*The relationship between bipolar values $b_i$ and unipolar equivalents $u_i$ is generally: $b_i = 2 \cdot u_i - 1 \hspace{0.05cm}.$
'''(2)''' Die Fehlergrößen $\epsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm –1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm –1} \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \underline {= 0.6}$ ablesbar.
'''(3)''' Die möglichen Nutzabtastwerte sind $±g_0 ±g_{\rm –1} = ±0.6 ±0.4$, also $\underline {±0.2}$ und $\underline {±1.0}$. Bei unipolarer Signalisierung würden sich die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben. Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein:
'''(4)''' The metrics are obtained for $\nu = 2$ considering the result from '''(3)''' as follows:
<br>In the adjacent trellis diagram, the state "$1$" is to be interpreted as "$+1$" and "$0$" as "$–1$".
${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird. Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ –1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem nachfolgenden Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
*Under this assumption, $a_2 = \ –1$ is more likely than $a_2 = +1$, as shown in the trellis diagram (the incoming path is blue).
[[File:P_ID1480__Dig_Z_3_11d.png|center|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
*A realistic alternative to the combination "$a_2 = \ –1, a_3 = +1$" is "$a_2 = +1, a_3 = \ –1$", which lead to the minimum accumulated metric ${\it \Gamma}_2(–1) = 0.37$. Here, the incoming path is red.
<u>Hinweis:</u> In obenstehender Grafik ist der Zustand „$1$” als „$+1$” und „$0$” als „$–1$” zu interpretieren.
Eine durchaus realistische Alternative zu der Kombination „$a_2 = \ –1, a_3 = +1$” ist „$a_2 = +1, a_3 = \ –1$”, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(–1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.
'''(5)''' For time $\nu = 3$, the following equations hold:
Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist. Deshalb wird der Viterbi–Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.
*Therefore, the Viterbi receiver will certainly output $a_3 = +1$, no matter what information it will still get at later times $(\nu > 3)$.
Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch diese Festlegung bei $\nu = 3$ auch die früheren Amplitudenkoeffizienten fix: $a_1 = a_2 = \ –1$.
*If we follow the continuous path in the trellis diagram from the right to the left, the other amplitude coefficients are also fixed by fixing $a_3 = +1$:
:$$a_1 = a_2 = \ –1.$$
{{ML-Fuß}}
{{ML-Fuß}}
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.8 Viterbi-Empfänger^]]
[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises|^3.8 Viterbi Receiver^]]
For the maximum likelihood constellation with bipolar amplitude coefficient $a_{\rm \nu} ∈ \{+1, –1\}$ discussed in "Exercise 3.11", the metrics $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ and the minimum accumulated metrics ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(–1)$ and ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ are to be determined.
The basic pulse is given by the two values $g_0$ and $g_{\rm –1}$.
These, as well as the detection samples $d_0$ and $d_1$, can be taken from the following calculations for the metrics $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ at times $\nu = 0$ and $\nu = 1$.
Note that the symbol $a_0 = 0$ is always sent before the actual message $(a_1$, $a_2$, $a_3)$.
The minimum accumulated metrics ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$ and ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ that can be calculated with these six metrics are already plotted in the graph. The other detection samples are $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
d_{3}=0.5 \hspace{0.05cm}.$
(1) From the equations on the information section one can see $d_0 = \underline{–0.4}$ and $d_1 = \underline {–0.8}$.
(2) The metric $\varepsilon_0(i)$ include the basic pulse value $g_{\rm –1}$, which is used to establish the relationship between the amplitude coefficient $a_1$ and the detection sample $d_0$ $(g_0$ is not included in these equations$)$.
One can see $g_{\rm –1}\ \underline {= 0.4}$.
From the equations for $\nu = 1$, the main value $g_0 \ \underline {= 0.6}$ can be read.
(3) The correct solutions are 1 and 4:
The possible useful samples are $\pm g_0 \pm g_{\rm –1} = \pm 0.6 \pm0.4$, i.e. $\underline {±0.2}$ and $\underline {±1.0}$.
In contrast, unipolar signaling ⇒ $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ would result in values of $0, \ 0.4, \ 0.6$ and $1$.
The relationship between bipolar values $b_i$ and unipolar equivalents $u_i$ is generally: $b_i = 2 \cdot u_i - 1 \hspace{0.05cm}.$
(4) The metrics are obtained for $\nu = 2$ considering the result from (3) as follows:
In the adjacent trellis diagram, the state "$1$" is to be interpreted as "$+1$" and "$0$" as "$–1$".
Then holds:
${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ is the minimum accumulated metric under the hypothesis that the following symbol will be $a_3 = +1$.
Under this assumption, $a_2 = \ –1$ is more likely than $a_2 = +1$, as shown in the trellis diagram (the incoming path is blue).
A realistic alternative to the combination "$a_2 = \ –1, a_3 = +1$" is "$a_2 = +1, a_3 = \ –1$", which lead to the minimum accumulated metric ${\it \Gamma}_2(–1) = 0.37$. Here, the incoming path is red.
(5) For time $\nu = 3$, the following equations hold:
In both equations, the first term in each case is the smaller, with ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ included in each case.
Therefore, the Viterbi receiver will certainly output $a_3 = +1$, no matter what information it will still get at later times $(\nu > 3)$.
If we follow the continuous path in the trellis diagram from the right to the left, the other amplitude coefficients are also fixed by fixing $a_3 = +1$:
