[[File:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Vorgegebenes Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals]]
[[File:P_ID718__Sig_A_4_4.png|250px|right|frame|Spectrum of the analytical signal]]
Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ mit
We assume a cosine-shaped source signal $q(t)$ with
*der Amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$ und
*amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$ and
*der Frequenz $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
*frequency $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]], abgekürzt ZSB–AM.
Das modulierte Signal $s(t)$ lautet mit dem (normierten) Träger $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$ und dem Gleichanteil $q_0 = 1 \ \text{V}$:
The frequency conversion is done by means of [[Modulation_Methods/Double-Sideband_Amplitude_Modulation#Double-Sideband_Amplitude_Modulation_with_carrier|"Double-Sideband Amplitude Modulation with Carrier"]].
The modulated signal $s(t)$ is with the (normalised) carrier $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$ and the DC component $q_0 = 1 \ \text{V}$:
Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).
Die Skizze zeigt das Spektrum $S_+(f)$ des dazugehörigen analytischen Signals für $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt
The first term describes the carrier, the second term the so-called upper sideband $\rm (OSB)$ and the last term the lower sideband $\rm (USB)$.
*den Träger (rot),
*das obere Seitenband (blau) und
*das untere Seitenband (grün).
The sketch shows the spectrum $S_+(f)$ of the corresponding analytical signal for $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. You can see
*the carrier (red),
*the upper sideband (blue), and
*the lower sideband (grün).
In der Teilaufgabe (5) ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
In subtask '''(5)''' the magnitude of $s_+(t)$ is asked for. This is the length of the resulting pointer.
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Applets:Zeigerdiagramm_–_Darstellung_des_analytischen_Signals_(Applet)|Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] überprüfen.
''Hints:''
*This exercise belongs to the chapter [[Signal_Representation/Analytical_Signal_and_Its_Spectral_Function|Analytical Signal and its Spectral Function]].
*The interactive applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal|Physical and Analytical Signal]] illustrates the topic covered here.
*In this task we use the following nomenclature because of the German original:
'''(1)''' Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] gilt:
'''(1)''' By inverse Fourier transform of $S_+(f)$ taking into account the "Shifting Theorem":
[[File:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|center|frame|Drei verschiedene analytische Signale]]
<br clear=all>
'''(2)''' The <u>first statement</u> is correct and results from the "Hilbert transform". On the other hand, the next two statements are'nt correct:
*$s_+(t)$ is always a complex time function with exception of the limiting case $s(t) \equiv 0$.
*However, every complex function also has purely real values at some points in time.
*The "pointer group" always rotates in a mathematically positive direction.
*If the sum vector crosses the real axis, the imaginary part disappears at this point and $s_+(t)$ is purely real.
'''(2)''' Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]]. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
*$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
*Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.
'''(3)''' Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$. Nach $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$ (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht. Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
'''(3)''' The period duration of the carrier signal is $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$.
*After $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$ (see middle graph) the carrier has thus rotated by $90^{\circ}$.
*The blue pointer $\rm (OSB)$ rotates $20\%$ faster, the green one $\rm (USB)$ $20\%$ slower than the red rotary pointer (carrier signal):
Somit sind die in $ 5 \ {\rm µ} \text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})$ <u>rein imaginär</u> und man erhält:
'''(4)''' Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der rechten Grafik:
'''(4)''' After one rotation of the red carrier, i.e. at time $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$, the blue pointer has already covered $72^{\circ}$ more and the green pointer correspondingly $72^{\circ}$ less. The sum of the three pointers is again <u>real</u> and results in accordance with the graph on the right:
'''(5)''' Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt:
'''(5)''' The magnitude is minimum when the pointers of the two sidebands are offset from the carrier by $180^{\circ}$ . It follows:
Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt:
Within one period $T_0$ of the carrier, a phase offset of $\pm72^{\circ}$ occurs with respect to the pointers of the two sidebands. From this follows:
The expression describes the sum of three pointers rotating at different circular velocities.
In the above equation, for example, $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
At time $t = 0$ all three pointers point in the direction of the real axis (see left graph).
One obtains the real value $s_+(t = 0) \;\underline{= 1.8 \ \text{V}}$.
(2) The first statement is correct and results from the "Hilbert transform". On the other hand, the next two statements are'nt correct:
$s_+(t)$ is always a complex time function with exception of the limiting case $s(t) \equiv 0$.
However, every complex function also has purely real values at some points in time.
The "pointer group" always rotates in a mathematically positive direction.
If the sum vector crosses the real axis, the imaginary part disappears at this point and $s_+(t)$ is purely real.
(3) The period duration of the carrier signal is $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$.
After $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$ (see middle graph) the carrier has thus rotated by $90^{\circ}$.
The blue pointer $\rm (OSB)$ rotates $20\%$ faster, the green one $\rm (USB)$ $20\%$ slower than the red rotary pointer (carrier signal):
$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot\hspace{0.08cm}0.005 } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot\hspace{0.08cm}60 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } = {\rm 1\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$*Thus, the angles travelled in $ 5 \ {\rm µ} \text{s}$ by OSB and USB are $108^{\circ}$ and $72^{\circ}$ respectively.*Since at this time the real parts of OSB and USB compensate, $s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})$ is purely imaginary and we obtain::$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] ={\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm}V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
(4) After one rotation of the red carrier, i.e. at time $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$, the blue pointer has already covered $72^{\circ}$ more and the green pointer correspondingly $72^{\circ}$ less. The sum of the three pointers is again real and results in accordance with the graph on the right:
