Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ in der Grafik angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:
We consider here the three-dimensional random variable $\mathbf{x}$, whose commonly represented covariance matrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ is given in the upper graph. The random variable has the following properties:
* Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:
* The three components are Gaussian distributed and it holds for the elements of the covariance matrix:
* Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:
* Let the elements on the main diagonal be known:
:$$ K_{11} =1, \ K_{22} =0, \ K_{33} =0.25.$$
:$$ K_{11} =1, \ K_{22} =0, \ K_{33} =0.25.$$
* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten $x_1$ und $x_3$ beträgt $\rho_{13} = 0.8$.
* The correlation coefficient between the coefficients $x_1$ and $x_3$ is $\rho_{13} = 0.8$.
Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße $\mathbf{y}$ mit den beiden Komponenten $y_1$ und $y_2$ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ durch die angegebenen Zahlenwerte $(1, \ 0.4, \ 0.25)$ bestimmt ist.
In the second part of the exercise, consider the random variable $\mathbf{y}$ with the two components $y_1$ and $y_2$ whose covariance matrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ is determined by the given numerical values $(1, \ 0.4, \ 0.25)$ .
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{y}$ lautet gemäß den Angaben auf der Seite [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Zusammenhang_zwischen_Kovarianzmatrix_und_WDF|Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF]] mit $N = 2$:
The probability density function $\rm (PDF)$ of a zero mean Gaussian two-dimensional random variable $\mathbf{y}$ is as specified on page [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Relationship_between_covariance_matrix_and_PDF|"Relationship between covariance matrix and PDF"]] with $N = 2$:
*In den Teilaufgaben '''(5)''' und '''(6)''' sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden.
*In the subtasks '''(5)''' and '''(6)''' the prefactor $C$ and the further PDF coefficients $\gamma_1$, $\gamma_2$ and $\gamma_{12}$ are to be calculated according to this vector representation.
*Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]] lauten:
*In contrast, the corresponding equation in conventional approach according to the chapter [[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Gaussian_Random_Variables#Probability_density_function_and_cumulative_distribution_function|"Two-dimensional Gaussian Random Variables"]] would be:
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
*The exercise belongs to the chapter [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables|Generalization to N-Dimensional Random Variables]].
*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]]
*Some basics on the application of vectors and matrices can be found in the sections [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Determinant_of_a_matrix|"Determinant of a Matrix"]] and [[Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables#Basics_of_matrix_operations:_Inverse_of_a_matrix|Inverse of a Matrix]] .
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
*Reference is also made to the chapter [[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Gaussian_Random_Variables|"Two-Dimensional Gaussian Random Variables"]].
===Fragebogen===
===Questions===
<quiz display=simple>
<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
{Which of the following statements are true?
|type="[]"}
|type="[]"}
- Die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
- The random variable $\mathbf{x}$ is zero mean with certainty.
+ Die Matrixelemente $K_{12}$, $K_{21}$, $K_{23}$ und $K_{32}$ sind Null.
+ The matrix elements $K_{12}$, $K_{21}$, $K_{23}$ and $K_{32}$ are zero.
- Es gilt $K_{31} = -K_{13}$.
- It holds that $K_{31} = -K_{13}$.
{Berechnen Sie das Matrixelement der letzten Zeile und ersten Spalte.
{Calculate the matrix element of the last row and first column.
|type="{}"}
|type="{}"}
$K_\text{31} \ = \ $ { 0.4 3% }
$K_\text{31} \ = \ $ { 0.4 3% }
{Berechnen Sie die Determinante $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}|$.
{Calculate the determinant $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}|$.
|type="{}"}
|type="{}"}
$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ = \ $ { 0.09 3% }
$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ = \ $ { 0.09 3% }
{Berechnen Sie die inverse Matrix $\mathbf{I}_{\mathbf{y}} = \mathbf{K}_{\mathbf{y}}^{-1}$ mit den Matrixelementen
{Calculate the inverse matrix $\mathbf{I}_{\mathbf{y}} = \mathbf{K}_{\mathbf{y}}^{-1}$ with matrix elements.
$I_{ij}$ :
$I_{ij}$ :
|type="{}"}
|type="{}"}
$I_\text{11} \ = \ $ { 2.777 3% }
$I_\text{11} \ = \ $ { 2.777 3% }
$I_\text{12} \ = \ $ { -4.454--4.434 }
$I_\text{12} \ = \ $ { -4.454--4.434 }
$I_\text{21} \ = \ $ { -4.454--4.434 }
$I_\text{21} \ = \ $ { -4.454--4.434 }
$I_\text{22} \ = \ $ { 11.111 3% }
$I_\text{22} \ = \ $ { 11.111 3% }
{Berechnen Sie den Vorfaktor $C$ der zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Vergleichen Sie das Ergebnis
{Calculate the prefactor $C$ of the two-dimensional probability density function. Compare the result
mit der im Theorieteil angebenen Formel.
with the formula given in the theory section.
|type="{}"}
|type="{}"}
$C\ = \ $ { 0.531 3% }
$C\ = \ $ { 0.531 3% }
{Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der 2D–WDF–Gleichung.
{Determine the coefficients in the argument of the exponential function. Compare the result with the two-dimensional PDF equation.
|type="{}"}
|type="{}"}
$\gamma_1 \ = \ $ { 1.389 3% }
$\gamma_1 \ = \ $ { 1.389 3% }
$\gamma_2 \ = \ $ { 5.556 3% }
$\gamma_2 \ = \ $ { 5.556 3% }
$\gamma_{12}\ = \ $ { -4.454--4.434 }
$\gamma_{12}\ = \ $ { -4.454--4.434 }
Line 84:
Line 79:
</quiz>
</quiz>
===Musterlösung===
===Solution===
{{ML-Kopf}}
{{ML-Kopf}}
'''(1)''' Richtig ist nur <u>der Lösungsvorschlag 2</u>:
'''(1)''' Only <u>the proposed solution 2</u> is correct:
*Anhand der Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ ist keine Aussage darüber möglich, ob die zugrunde liegende Zufallsgröße $\mathbf{x}$ mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist, da ein eventueller Mittelwert $\mathbf{m}$ herausgerechnet wird.
*On the basis of the covariance matrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ it is not possible to make any statement about whether the underlying random variable $\mathbf{x}$ is zero mean or mean-invariant, since any mean value $\mathbf{m}$ is factored out.
*Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$ bekannt sein.
*To make statements about the mean, the correlation matrix $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$ would have to be known.
*Aus $K_{22} = \sigma_2^2 = 0$ folgt zwingend, dass alle anderen Elemente in der zweiten Zeile $(K_{21}, K_{23})$ und der zweiten Spalte $(K_{12}, K_{32})$ ebenfalls Null sind.
*From $K_{22} = \sigma_2^2 = 0$ it follows necessarily that all other elements in the second row $(K_{21}, K_{23})$ and the second column $(K_{12}, K_{32})$ are also zero.
*Dagegen ist die dritte Aussage falsch: Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets $K_{31} = K_{13}$ gelten muss.
*On the other hand, the third statement is false: The elements are symmetric about the main diagonal, so that always $K_{31} = K_{13}$ must hold.
We consider here the three-dimensional random variable $\mathbf{x}$, whose commonly represented covariance matrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ is given in the upper graph. The random variable has the following properties:
The three components are Gaussian distributed and it holds for the elements of the covariance matrix:
The correlation coefficient between the coefficients $x_1$ and $x_3$ is $\rho_{13} = 0.8$.
In the second part of the exercise, consider the random variable $\mathbf{y}$ with the two components $y_1$ and $y_2$ whose covariance matrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ is determined by the given numerical values $(1, \ 0.4, \ 0.25)$ .
The probability density function $\rm (PDF)$ of a zero mean Gaussian two-dimensional random variable $\mathbf{y}$ is as specified on page "Relationship between covariance matrix and PDF" with $N = 2$:
In the subtasks (5) and (6) the prefactor $C$ and the further PDF coefficients $\gamma_1$, $\gamma_2$ and $\gamma_{12}$ are to be calculated according to this vector representation.
On the basis of the covariance matrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ it is not possible to make any statement about whether the underlying random variable $\mathbf{x}$ is zero mean or mean-invariant, since any mean value $\mathbf{m}$ is factored out.
To make statements about the mean, the correlation matrix $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$ would have to be known.
From $K_{22} = \sigma_2^2 = 0$ it follows necessarily that all other elements in the second row $(K_{21}, K_{23})$ and the second column $(K_{12}, K_{32})$ are also zero.
On the other hand, the third statement is false: The elements are symmetric about the main diagonal, so that always $K_{31} = K_{13}$ must hold.
Complete covariance matrix
(2) From $K_{11} = 1$ and $K_{33} = 0.25$ follow directly $\sigma_1 = 1$ and $\sigma_3 = 0.5$.
Taken together with the correlation coefficient $\rho_{13} = 0.8$ (see specification sheet), we thus obtain:
(5) A comparison of $\mathbf{K_y}$ and $\mathbf{K_x}$ with constraint $K_{22} = 0$ shows that $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ are identical random variables if one sets $y_1 = x_1$ and $y_2 = x_3$ .
