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| − | {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion (AKF)
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| − | [[File:P_ID380__Sto_Z_4_9.png|right|]]
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| − | :Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess {<i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>)}, der durch die dargestellte Musterfunktion <i>x</i>(<i>t</i>) vollständig charakterisiert ist.
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| − | :Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses {<i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>)} erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen <i>τ<sub>i</sub></i>, wobei <i>τ<sub>i</sub></i> als gleichverteilt zwischen 0 und der Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> angenommen wird.
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| − | :<b>Hinweis</b>: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.4.
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| − | ===Fragebogen===
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| − | <quiz display=simple>
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| − | {Ermitteln Sie die Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>, normiert auf die Zeitdauer <i>T</i>.
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| − | |type="{}"}
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| − | $T_0/T$ = { 5 3% }
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| − | {Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) des Prozesses?
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| − | |type="{}"}
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| − | $m_x$ = { 0.4 3% } V
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| − | {Wie groß ist die (auf den Widerstand 1 Ω bezogene) Prozessleistung?
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| − | |type="{}"}
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| − | $P_x$ = { 2 3% } $V^2$
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| − | {Berechnen Sie die AKF-Werte für <i>τ</i> = <i>T</i> und <i>τ</i> = 2<i>T</i>.
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| − | |type="{}"}
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| − | $\phi_x(\tau = T)$ = { 0.6 3% } $V^2$
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| − | $\phi_x(\tau = 2T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$
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| − | {Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich für <i>τ</i> = 3<i>T</i> und <i>τ</i> = 4<i>T</i>?
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| − | |type="{}"}
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| − | $\phi_x(\tau = 3T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$
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| − | $\phi_x(\tau = 4T)$ = { 0.6 3% } $V^2$
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| − | {Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller <i>τ</i>-Werte.<br>Interpretieren Sie das Ergebnis.
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| − | |type="{}"}
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| − | $E[\phi_x(\tau)]$ = { 0.16 3% } $V^2$
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| − | </quiz>
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| − | ===Musterlösung===
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| − | {{ML-Kopf}}
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| − | [[File:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png|right|]]
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| − | :<b>1.</b> Die Periodendauer beträgt <u><i>T</i><sub>0</sub> = 5<i>T</i></u>.
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| − | :<b>2.</b> Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>:
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| − | :$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t \\ = \rm \frac{1}{5 \it T} (\rm 2V \cdot 2 \it T - \rm 1V \cdot 2 \it T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$
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| − | :<b>3.</b> In analoger Weise zu Aufgabe 2) erhält man für die mittlere Leistung:
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| − | :$$P_x = \rm \frac{2 \it T}{5 \it T} ((\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 )\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$
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| − | :<b>4.</b> Die Bilder zeigen das Produkt <i>x</i>(<i>t</i>) · <i>x</i>(<i>t</i> + <i>T</i>) bzw. <i>x</i>(<i>t</i>) · <i>x</i>(<i>t</i> + 2<i>T</i>), jeweils im Bereich von 0 bis <i>T</i><sub>0</sub> = 5<i>T</i>.
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| − | :Zu beachten ist, dass <i>x</i>(<i>t</i> + <i>T</i>) eine Verschiebung des Signals <i>x</i>(<i>t</i>) um <i>T</i> nach links bedeutet. Aus den beiden Grafiken folgen die Beziehungen:
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| − | :$$\varphi_x (T)= \rm \frac{1}{5 } (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
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| − | :$$\varphi_x (\rm 2\it T)= \rm \frac{1}{5 } (-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$
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| − | :<b>5.</b> Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: <i>φ<sub>x</sub></i>(–<i>τ</i>) = <i>φ<sub>x</sub></i>(<i>τ</i>). Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
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| − | :$$\varphi_x (\rm 0) = \varphi_x (\rm 5\it T) = \varphi_x (\rm 10\it T) = .... = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
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| − | :$$\varphi_x (\rm 3\it T) = \varphi_x (\rm -3\it T) =\varphi_x (\rm 2\it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
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| − | :$$\varphi_x (\rm 4\it T) = \varphi_x (\rm -4\it T) =\varphi_x (\rm \it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$
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| − | :Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
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| − | [[File:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|center|]]
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| − | :<b>6.</b> Die Mittelung über die 5 Intervalle 0 bis <i>T</i>, <i>T</i> bis 2<i>T</i>, ... , 4<i>T</i> bis 5<i>T</i> liefern (jeweils mit der Einheit V<sup>2</sup>): 1.3; –0.3, –1.2, –0.3, 1.3. Daraus ergibt sich der Erwartungswert <u>E[<i>φ<sub>x</sub></i>(<i>τ</i>)] = 0.16 V<sup>2</sup></u>. Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes <i>m<sub>x</sub></i> (siehe Teilaufgabe 2).
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| − | {{ML-Fuß}}
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| − | [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.4 Autokorrelationsfunktion (AKF)^]]
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