Aufgaben:Exercise 2.1Z: Distortion and Equalisation

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Die Grafik zeigt drei kontinuierliche Spektralfunktionen:

• ein cos²–Spektrum, das nur Anteile im Bereich |f| < 1 kHz besitzt, wobei gilt:

$$A(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$

• ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich |f| < 1 kHz:

$$B(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right) ,$$

• ein so genanntes Gaußspektrum:

$$C(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$

Weiterhin betrachten wir ein linear verzerrendes System S_V mit X(f) am Eingang und Y(f) am Ausgang sowie das Entzerrungssystem S_E mit dem Eingangsspektrum Y(f) und dem Ausgangsspektrum Z(f).

Anzumerken ist:

Eine vollständige Entzerrung bedeutet, dass Z(f) = X(f) gilt.

Die Frequenzgänge der beiden Systeme S_V und S_E lauten:

$$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} .$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.1.

Fragebogen

1

Ist mit einem linearen System die Konstellation X(f) = A(f) und Y(f) = B(f) möglich? Begründen Sie Ihre Antwort.

	Ja.
	Nein.

2

Es gelte weiterhin X(f) = A(f) und Y(f) = B(f). Ist mit einem linearen Filter H_E(f) eine vollständige Entzerrung möglich? Wenn ja, so geben Sie H_E(f) an.

	Ja.
	Nein.

3

Ist mit einem linearen System die Konstellation X(f) = C(f) und Y(f) = B(f) möglich? Begründen Sie Ihre Antwort.

	Ja.
	Nein.

4

Es gelte weiterhin X(f) = C(f) und Y(f) = B(f). Ist mit einem linearen Filter H_E(f) eine vollständige Entzerrung möglich? Wenn ja, so geben Sie H_E(f) an.

	Ja.
	Nein.

5

Ist mit einem linearen System die Konstellation X(f) = A(f) und Y(f) = C(f) möglich? Begründen Sie Ihre Antwort.

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

Solution

1.  Diese Konstellation ist möglich, da für alle Y(f) ≠ 0 auch X(f) stets von 0 verschieden ist. Für alle Frequenzen kleiner als 0.5 kHz bewirkt H_V(f) = B(f)/A(f) < 1 eine Dämpfung, während die Frequenzen zwischen 0.5 kHz und 1 kHz durch das System angehoben werden  ⇒  Ja.

2.  Bei dieser Konstellation ist auch eine vollständige lineare Entzerrung mit

$$H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} = \frac{A(f)}{B(f)} = \frac{1}{H_{\rm V}(f)}$$

möglich, da beide Spektren genau bis 1 kHz reichen  ⇒  Ja.

3.  Auch diese Konstellation ist möglich. Das Filter H_V(f) muss für die Frequenzen |f| < 1 kHz aus dem Gaußspektrum ein Dreieckspektrum formen und alle Frequenzen |f| > 1 kHz unterdrücken  ⇒  Ja.

4.  Eine vollständige Entzerrung ist hier nicht möglich. Die Anteile des Gaußspektrums, die durch H_V(f) vollständig eliminiert wurden, können durch das lineare System nicht wieder hergestellt werden  ⇒  Nein.

5.  Diese Konstellation ist mit einem linearen System nicht möglich, da im Spektrum C(f) = A(f) · H_V(f) keine Spektralanteile enthalten sein können, die es in A(f) nicht gibt  ⇒  Nein.

Die Frage, ob es ein nichtlineares System gibt, das aus dem cos²–Spektrum ein Gaußspektrum formt, ist nicht gestellt und muss so auch nicht beantwortet werden: Die Autoren glauben eher „Nein”.