Aufgaben:Exercise 4.10Z: Correlation Duration

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Das nebenstehende Bild zeigt Mustersignale von zwei Zufallsprozessen mit jeweils gleicher Leistung P_x = P_y = 5 mW. Vorausgesetzt ist hierbei der Widerstand R = 50 Ω. Der Prozess {x_i(t)}

• ist mittelwertfrei (m_x = 0),

• besitzt die gaußförmige AKF

$$\varphi_x (\tau) = \varphi_x (\tau = 0) \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2},$$

• und weist eine äquivalente AKF-Dauer ∇τ_x von 5 Mikrosekunden auf.

Wie aus dem unteren Bild zu erkennen ist, weist der Prozess {y_i(t)} sehr viel stärkere innere statistische Bindungen auf.

Oder anders ausgedrückt: Der Zufallsprozess {y_i(t)} ist niederfrequenter als {x_i(t)}, und die äquivalente AKF-Dauer ist ∇τ_y = 10 μs.

Aus der Skizze ist auch zu erkennen, dass {y_i(t)} nicht gleichsignalfrei ist. Der Gleichsignalanteil beträgt vielmehr m_y = –0.3 V.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.4.

Fragebogen

1

Welchen Effektivwert besitzen die Mustersignale des Prozesses {x_i(t)}?

$\sigma_x$ = V

2

Welche AKF-Werte ergeben sich für τ = 2 μs bzw. für τ = 5 μs?

$\phi_x(\tau = 2 \mu s)$ = $mW$

$\phi_x(\tau = 5 \mu s)$ = $mW$

3

Wie groß ist die Korrelationsdauer T_K, also derjenige Zeitpunkt, bei dem die AKF auf die Hälfte des Maximums abgefallen ist?

$T_K$ = $\mu s$

4

Welchen Effektivwert besitzen die Mustersignale des Prozesses {y_i(t)}?

$\sigma_y$ = V

5

Berechnen Sie die AKF φ_y(τ). Wie groß ist der AKF-Wert bei τ = 10 μs? Welcher AKF-Verlauf ergäbe sich bei positivem Mittelwert (m_y = 0.3 V)?

$\phi_y(\tau = 10 \mu s)$ = $mW$

Musterlösung

Solution

1.  Der quadratische Mittelwert ergibt sich zu R · P_x = 50 Ω · 5 mW = 0.25 V². Daraus folgt der Effektivwert σ_x = 0.5V.

2.  Wegen P_x = φ_x(τ = 0) gilt für die AKF allgemein:

$$\varphi_x (\tau) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$

Daraus erhält man:

$$\varphi_x (\tau = {\rm 2\hspace{0.1cm} \mu s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- {\rm 0.16 }\pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 3.025 \hspace{0.1cm} \rm mW},$$

$$\varphi_x (\tau = {\rm 5\hspace{0.1cm} \rm \mu s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.216 \hspace{0.1cm} \rm mW}.$$

3.  Hier gilt folgende Bestimmungsgleichung:

$${\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2} \stackrel{!}{=} {\rm 0.5} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} (T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2 = \sqrt{{ ln(2)}/{\pi}}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt T_K = 2.35 μs. Bei anderer AKF-Form erhält man ein anderes Verhältnis für T_K/∇τ_x.

4. Wegen P_x = P_y sind die quadratischen Mittelwerte von x und y gleich, und zwar jeweils 0.25 V². Unter Berücksichtigung des Mittelwertes m_y = –0.3 V gilt:

$$m_y^2 + \sigma_y^2 = \rm 0.25 V^2.$$

Daraus folgt σ_y = 0.4 V.

5.  Bezogen auf den Einheitswiderstand R = 1 Ω lautet die AKF des Prozesses {y_i(t)}:

$$\varphi_y (\tau) = m_y^2 + \sigma_y^2 \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2}.$$

Rechts sehen Sie den Funktionsverlauf. Bezogen auf den Widerstand R = 50 Ω ergeben sich die nachfolgend angegebenen AKF-Werte:

$$\varphi_y (\tau = 0) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} , \hspace{0.1cm} \atop \varphi_y (\tau \rightarrow \infty) = 1.8\hspace{0.1cm} {\rm mW} .$$

Daraus folgt:

$$\varphi_y(\tau) = 1.8 \hspace{0.1cm} {\rm mW} + 3.2 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2}$$

mit dem Zahlenwert 1.938 mW bei τ = 10 μs. Bei positivem Mittelwert m_y (mit gleichem Betrag) würde sich an der AKF nichts ändern, da m_y in die AKF-Gleichung quadratisch eingeht.