Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.2Z: Two-dimensional Probability Mass Function"
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| + | {Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ ? | ||
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| + | $P_X(0)$ = { 0.5 3% } | ||
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| + | $P_X(3)$ = { 0.375 3% } | ||
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| + | {Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Y(Y)$ ? | ||
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| + | $P_Y(0)$ = { 0.5 3% } | ||
| + | $P_Y(1)$ = { 0.25 3% } | ||
| + | $P_Y(2)$ = { 0.25 3% } | ||
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| + | {Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig | ||
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| − | + | + Falsch | |
| − | + | - Richtig | |
| − | { | + | {Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten $P_{UV}( U, V)$. |
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| − | $ | + | $P_{UV}( U = 0, V = 0)$ = { 0.375 3% } |
| + | $P_{UV}( U = 0, V = 1)$ = { 0.375 3% } | ||
| + | $P_{UV}( U = 1, V = 0)$ = { 0.125 3% } | ||
| + | $P_{UV}( U =1, V = 1)$ = { 0.125 3% } | ||
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| + | {Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''1.''' | + | '''1.''' Man kommt von $P_{XY}(X,Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ ,indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert: |
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| + | $$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y)$$ | ||
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| + | $$\Rightarrow P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 0.500$$ | ||
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| + | $$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 0.125$$ | ||
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| + | $$P_X(X = 2) = 0+0+0 = 0$$ | ||
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| + | $$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=0.375$$ | ||
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Revision as of 15:59, 24 November 2016
Wir betrachten die Zufallsgrößen
$X$ = { 0, 1, 2, 3 },
$Y$ = { 0, 1, 2 },
deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{X,Y}(X,Y)$ gegeben ist. Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden. Man nennt eine solche manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: Marginal Probability).
Gilt $P_{X,Y}(X,Y)$ = $P_X(X)$ . $P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen X und Y statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.
Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen
$U$ = { 0, 1 }, $V$ = { 0, 1 },
die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:
$U$ = $X$ mod 2, $V$ = $Y$ mod 2.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 3.1. Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in Aufgabe 3.02. Dort wurde die Zufallsgrößen $Y$ = { 0, 1, 2, 3 } betrachtet, allerdings mit dem Zusatz $Pr(Y = 3)$ = 0. Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$ war in Aufgabe Aufgabe 3.02 zur formalen Berechnung des Erwartungswertes $E[P_X(X)]$ von Vorteil.
Fragebogen
Musterlösung
$$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y)$$
$$\Rightarrow P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 0.500$$
$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 0.125$$
$$P_X(X = 2) = 0+0+0 = 0$$
$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=0.375$$
2. 3. 4. 5. 6. 7.
