Aufgaben:Exercise 1.2: Distortions? Or no Distortion?

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Die drei Nachrichtensysteme $S_1$, $S_2$ und $S_3$ werden hinsichtlich der durch sie verursachten Verzerrungen analysiert. Zu diesem Zwecke wird an den Eingang eines jeden Systems das cosinusförmige Testsignal $$q(t) = 2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )$$ angelegt. Die Signalfrequenz ist stets $f_N = 1 kHz$.

Gemessen werden die Signale am Ausgang der drei Systeme, die in der Grafik dargestellt sind: $$v_1(t) = 2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )\hspace{0.05cm}$$ $$v_2(t) = 1 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t)$$ $$ + 1 \;{\rm V} \cdot \sin(2 \pi f_{\rm N} t) \hspace{0.05cm},$$ $$v_3(t)= 1.5 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t)$$ $$- 0.3 \;{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$

Anzumerken ist, dass hier die in der Praxis stets vorhandenen Rauschanteile als vernachlässigbar klein angenommen werden.

Hinweis:Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.2 des vorliegenden Buches und das Kapitel 2.2 von „Lineare zeitinvariante Systeme”. Bei nichtlinearen Verzerrungen ist das Sinken–$\text{SNR}$ $ρ_υ = 1/K^{ 2 }$, wobei der Klirrfaktor $K$ das Verhältnis der Effektivwerte aller Oberwellen und Grundfrequenz angibt.

Fragebogen

1

Welche Aussagen sind nach dieser Messung über das System '$S_1$ möglich?

	$S_1$ könnte ein ideales System sein.
	$S_1$ könnte ein verzerrungsfreies System sein.
	$S_1$ könnte ein linear verzerrendes System sein.
	$S_1$ könnte ein nichtlinear verzerrendes System sein.

2

Schreiben Sie das zweite Signal in der Form $υ_2(t) = α · q(t – τ)$ und bestimmen Sie die Kenngrößen.

$\alpha$ =

$τ$= $μs$

3

Welche Aussagen sind nach dieser Messung über das System '$S_2$ möglich?

	$S_2$ könnte ein ideales System sein.
	$S_2$ könnte ein verzerrungsfreies System sein.
	$S_2$ könnte ein linear verzerrendes System sein.
	$S_2$ könnte ein nichtlinear verzerrendes System sein.

4

Von welcher Art sind die Verzerrungen beim System $S_3$?

	Es handelt sich um lineare Verzerrungen.
	Es handelt sich um nichtlineare Verzerrungen.

5

Berechnen Sie das Sinken–$\text{SNR}$ von System $S_3$.

$ρ_{υ3}$=

Musterlösung

Solution

1. $S_1$ könnte durchaus ein ideales System sein, nämlich dann, wenn für alle Frequenzen $f_N$ die Bedingung $υ(t) = q(t)$ erfüllt wäre. Auch die zweite Alternative ist möglich, da das ideale System ein Sonderfall der verzerrungsfreien Systeme darstellt. Würde bei einer anderen Frequenz $f = f_N$ die Bedingung $υ(t) = q(t)$ allerdings nicht erfüllt, so würde ein linear verzerrendes System vorliegen, dessen Frequenzgang bei der Frequenz $f_N$ zufällig gleich 1 wäre. Dagegen kann ein nichtlinear verzerrendes System aufgrund fehlender Oberwellen ausgeschlossen werden. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3.

2.Entsprechend den Ausführungen im Kapitel 2.3 von „Signaldarstellung” gelten folgende Gleichungen: $$A \cdot \cos(\omega_{\rm N} t ) + B \cdot \sin(\omega_{\rm N} t ) = C \cdot \cos(\omega_{\rm N} t - \varphi)$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} C = \sqrt{A^2 + B^2},\hspace{0.5cm}\varphi ={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac {A}{B}\hspace{0.05cm}$$ Angewandt auf das vorliegende Beispiel erhält man $$C = \sqrt{(1 \,{\rm V})^2 + (1 \,{\rm V})^2}= 1.414\,{\rm V}\hspace{0.05cm}$$ Der Dämpfungsfaktor des Systems hat somit den Wert $α = 1.414/2 = 0.707$. Für die Phase gilt: $$ \varphi ={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac {1 \,{\rm V}}{1 \,{\rm V}} = 45^{\circ} = \frac {\pi}{4}\hspace{0.05cm}.$$ Die Umformung $cos(ω_N · t – φ) = cos(ω_N · (t – τ))$ erlaubt Aussagen über die Laufzeit: $$\tau =\frac {\varphi}{2\pi f_{\rm N}} = \frac {\pi /4}{2\pi f_{\rm N}} = \frac {1}{8 \cdot 1 \,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$

3.Das System S2 ist nach den Ausführungen zur Teilaufgabe a) weder ideal noch nichtlinear verzerrend. Dagegen sind die Alternativen 2 und 3 möglich, je nachdem, ob die berechneten Werte von $α$ und $τ$ für alle Frequenzen erhalten bleiben oder nicht. Mit einer einzigen Messung bei nur einer Frequenz kann diese Frage nicht geklärt werden.

4.Das Signal $υ_3(t)$ beinhaltet eine Oberwelle dritter Ordnung. Deshalb ist die Verzerrung nichtlinear.

5.Mit den Amplituden $A_1 = 1.5 V$ und $A_3 = –0.3 V$ erhält man für den Klirrfaktor: $$ K_3 =\frac {|A_3|}{|A_1|} = 0.2\hspace{0.05cm}.$$ Deshalb beträgt das Sinken–$\text{SNR}$ entsprechend der angegebenen Gleichung $ρ_{υ3} = 1/K3^{ 2 } = 25$. Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der allgemeinen Berechnung. Aus den Amplituden von Quellensignal und Grundwelle des Sinkensignals erhält man für den frequenzunabhängigen Dämpfungsfaktor: $$ \alpha =\frac {1.5 \,{\rm V}}{2 \,{\rm V}} = 0.75\hspace{0.05cm}.$$ Das von den nichtlinearen Verzerrungen herrührende Fehlersignal lautet deshalb: $$\varepsilon_3(t) = v_3(t) - \alpha \cdot q(t) = - 0.3 \,{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$ Damit ergibt sich die Verzerrungsleistung: $$P_{\varepsilon 3}= \frac{1}{2} \cdot (0.3 \,{\rm V})^2 = 0.045 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$ Mit der Leistung des Quellensignals, $$P_{q}= \frac{1}{2} \cdot (2\,{\rm V})^2 = 2 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},$$ erhält man unter Berücksichtigung des Dämpfungsfaktors: $$\rho_{v3} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q}}{P_{\varepsilon 3}} = \frac{0.75^2 \cdot 2 {\rm V}^2}{0.045 } \hspace{0.15cm}\underline {= 25}\hspace{0.05cm}.$$