Digital Signal Transmission/Consideration of Channel Distortion and Equalization

1. Digital Signal Transmission
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Consideration of Channel Distortion and Equalization

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Idealer Kanalentzerrer (1)

Bei einem Übertragungssystem, dessen Kanalfrequenzgang H_K(f) starke Verzerrungen hervorruft, gehen wir von folgendem Blockschaltbild (obere Grafik) und äquivalentem Ersatzschaltbild (untere Grafik) aus.

Zu diesen Darstellungen ist Folgendes anzumerken:

• Das Empfangsfilter H_E(f) wird – zumindest gedanklich – aus einem idealen Kanalentzerrer 1/H_K(f) und einem Tiefpass H_G(f) zusammengesetzt. Hierfür verwenden wir in diesem Kapitel beispielhaft einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz f_G.
  

• Verschiebt man nun den idealen Entzerrer – wiederum rein gedanklich – auf die linke Seite der Rauschadditionsstelle, so ändert sich bezüglich dem S/N–Verhältnis an der Sinke und bezüglich der Fehlerwahrscheinlichkeit nichts gegenüber dem oben gezeichneten Blockschaltbild.
  

• Aus dem unteren Ersatzschaltbild erkennt man, dass sich durch den Kanalfrequenzgang H_K(f) bezüglich des Detektionsnutzsignals d_S(t) nichts ändert, wenn man diesen mit 1/H_K(f) vollständig kompensiert. Das Nutzsignal hat somit die genau gleiche Form wie im Kapitel 3.2 berechnet.
  

• Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang H_K(f) zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung, also der Varianz des Signals d_N(t):

\[\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|H_{\rm K}(f)|^2}\cdot |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.\]

• Voraussetzung für endliches σ_d² ist, dass der Tiefpass H_G(f) das Rauschen n(t) bei (sehr) hohen Frequenzen stärker abschwächt, als es vom idealen Entzerrer 1/H_K(f) angehoben wird.
  
  

Anmerkung: Der Kanalfrequenzgang H_K(f) muss nach Betrag und Phase entzerrt werden, allerdings nur in einem von H_G(f) vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich. Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer (frequenzunabhängigen) Laufzeit möglich, die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.

Idealer Kanalentzerrer (2)

: Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ–Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter mit der (normierten) Grenzfrequenz f_G · T = 0.4. Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals d_S(t) – also ohne Berücksichtigung des Rauschens. Dieses ist identisch mit dem in Kapitel 3.2 mehrfach dargestellten Augendiagramm.

Das linke Augendiagramm ergibt sich bei idealem Kanal, also für H_K(f) = 1. Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen, das aber hier mit 10 · lg E_B/N₀ = 30 dB deutlich geringer angenommen wurde als im Kapitel 3.2. Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}< 10^{-40}\hspace{0.05cm}.\]

Dagegen gilt das rechte Diagramm für ein Koaxialkabel, wobei die charakteristische Kabeldämpfung <nobr>a_∗ = 40 dB</nobr> beträgt. Hierfür ergeben sich deutlich ungünstigere Systemgrößen:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 0.28\hspace{0.05cm}.\]

Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:

• Unter der Voraussetzung eines idealen Kanalentzerrers ergibt sich das gleiche „Augendiagramm ohne Rauschen” wie beim idealen Kanal H_K(f) = 1 (siehe mittlere Grafik).
  

• Durch die Kanalentzerrung 1/H_K(f) wird der Rauschanteil extrem verstärkt. Im rechten Beispiel ist wegen der starken Verzerrung eine weitgehende Entzerrung erforderlich. Die Rauschleistung σ_d² ist um den Faktor 1300 größer als links (keine Verzerrung  ⇒  keine Entzerrung).
  

• Eine akzeptable Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte N₀. Beispielsweise erhält man mit 10 · lg E_B/N₀ = 50 dB (statt 30 dB) folgendes Ergebnis:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 15.4\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.\]