Digital Signal Transmission/Linear Nyquist Equalization

1. Digital Signal Transmission
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Linear Nyquist Equalization

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Struktur des optimalen Nyquistentzerrers

In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus.

Hierzu ist anzumerken:

• Die Diracquelle liefert die zu übertragende Nachricht (Amplitudenkoeffizienten a_ν) in binärer bipolarer Form. Sie wird als redundanzfrei vorausgesetzt.
  

• Die Sendeimpulsform g_s(t) wird durch den Senderfrequenzgang H_S(f) berücksichtigt. Bei allen Beispielen ist H_S(f) = si(π f T) zugrunde gelegt.
  

• Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal – hierfür wird meist ein Koaxialkabel angenommen – durch den gemeinsamen Frequenzgang H_SK(f) = H_S(f) · H_K(f) zusammengefasst.
  

• Das Empfangsfilter H_E(f) setzt sich multiplikativ aus dem Matched–Filter H_MF(f) = H_SK^∗(f) und dem Transversalfilter H_TF(f) zusammen, zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.

• Der Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Schwellenwertentscheider soll die erste Nyquistbedingung erfüllen. Es muss also gelten:

\[H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = H_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.05cm}.\]

• Mit dieser Bedingung ergibt sich die maximale Augenöffnung (keine Impulsinterferenzen). Deshalb gelten für das Detektions–SNR und den Systemwirkungsgrad bei binärer Signalisierung:

\[\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}} = \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0} = \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.05cm}.\]

• Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf, das Empfangsfilter H_E(f) so zu bestimmen, dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:

\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ T} =T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]

• Wir bezeichnen die Konfiguration als Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch – und besonders effektiv – bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst M = 2.
  
  

Wirkungsweise des Transversalfilters (1)

Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters

\[H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]

N gibt die Ordnung des Filters an. Für die Filterkoeffizienten gilt k_–λ = k_λ. Dieses Filter ist somit durch die Koeffizienten k₀, ... , k_N vollständig bestimmt. Die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung (N = 2).

Für den Eingangsimpuls g_m(t) setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser

• symmetrisch um t = 0 ist (Ausgang des Matched–Filters),
  
• zu den Zeiten νT und –νT den Wert g_m(ν) besitzt.
  
  

Damit sind die Eingangsimpulswerte:

\[...\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace {0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm} ... \hspace{0.05cm}.\]

Für den Detektionsgrundimpuls g_d(t) am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten νT mit den Abkürzungen g₀ = g_d(t = 0), g₁ = g_d(t = ±T), g₂ = g_d(t = ±2T) folgende Werte:

\[ t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2 \cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm} \] \[ t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot g_m(1) + k_1 \cdot [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3)], \] \[ t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot g_m(2) + k_1 \cdot [g_m(1)+g_m(3)]+ k_2 \cdot [g_m(2)+g_m(4)] \hspace{0.05cm}. \]

Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten k₀, k₁ und k₂ so bestimmen, dass der Detektionsgrundimpuls g_d(t) durch die normierten Stützstellen

\[...\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} ...\]

vollständig gegeben ist. Auf der nächsten Seite wird die Optimierung der Filterkoeffizienten an einem einfachen Beispiel verdeutlicht.

Wirkungsweise des Transversalfilters (2)

: Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm aus. Mit der Abkürzung g_m(ν) = g_m(± ν · T) gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer T:

\[g_m(t) = {\rm exp }\left ( - \sqrt{2 \cdot |t|/T}\right )\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.15cm}g_m(1)= 0.243,\hspace{0.15cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.15cm}g_m(3)= 0.086, \hspace{0.15cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.\]

Für den Ausgangsimpuls soll g_d(0) = 1 und g_d(±T) = 0 gelten. Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten k₀ und k₁, die folgende Bedingungen erfüllen müssen:

\[t = \pm T\hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot [1.000 +0.135] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{k_1} = -0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},\] \[ t = 0 \hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0} = 1 \hspace{0.05cm}.\]

Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten k₀ = 1.116 und k₁ = 0.239. Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich g_d(0) = 1 gilt (gelbe Hinterlegung). Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte (blaue Kreise) sind aber von 0 verschieden und bewirken Impulsinterferenzen.

Das untere Diagramm zeigt, dass mit einem Filter zweiter Ordnung (N = 2) Nulldurchgänge bei ±T und bei ±2T erzwungen werden, wenn die Koeffizienten k₀ = 1.127, k₁ = 0.219 und k₂ = 0.075 geeignet gewählt sind. Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:

\[t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},\\ t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot [1.000+0.135]+ k_2 \cdot [0.243+0.086] = 0\hspace{0.05cm}, \\ t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot [0.243+0.086]+ k_2 \cdot [1.000 + 0.059]= 0 \hspace{0.05cm}.\]

Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:

• Mit einem Laufzeitfilter N–ter Ordnung können der Hauptwert g_d(0) zu 1 (normiert) sowie die ersten N Nachläufer und die ersten N Vorläufer zu Null gemacht werden.
  

• Weitere Vor– und Nachläufer (|ν| > N) lassen sich so nicht kompensieren. Es ist auch möglich, dass diese außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen.
  

• Im Grenzübergang N → ∞ (in der Praxis heißt das: ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten) ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich.
  

Beschreibung im Frequenzbereich (1)

Die Tatsache, dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus

• dem Matched–Filter H_MF(f) = H_S^∗(f) · H_K^∗(f) – also angepasst an den Empfangsgrundimpuls –
  

• und einem Transversalfilter H_TF(f) mit unendlich vielen Filterkoeffizienten
  
  

zusammensetzt, folgt aus dem ersten Nyquistkriterium. Durch Anwendung der Variationsrechnung erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters (siehe Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.):

\[H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - \frac{\kappa}{T}) |^2} \hspace{0.3cm}{\rm{mit}}\hspace{0.3cm}H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt diesen Verlauf in logarithmierter Form für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung

• a_∗ = 0 dB  ⇒  grüne Null–Linie,
  
• a_∗ = 40 dB  ⇒  blauer Funktionsverlauf,
  
• a_∗ = 80 dB  ⇒  roter Funktionsverlauf.
  
  

Man erkennt aus obiger Gleichung und dieser Skizze:

• H_TF(f) ist reell, woraus sich die symmetrische Struktur des Transversalfilters ergibt: k_–λ = k_λ.
  

• H_TF(f) ist eine mit der Frequenz 1/T periodische Funktion.
  

• Die Koeffizienten ergeben sich somit aus der Fourierreihe (angewandt auf die Spektralfunktion):

\[k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) = \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.\]

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Beschreibung im Frequenzbereich (2)

Die linke Grafik zeigt den Verlauf 20 · lg H_TF(f) im Bereich | f | ≤ 1/T. Rechts ist der Frequenzgang 20 · lg |H_E(f)| des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt. Es gilt:

\[H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = \frac{H_{\rm SK}^{^\star}(f)}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}.\]

Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:

• Der Transversalfilter–Frequenzgang H_TF(f) ist symmetrisch zur Nyquistfrequenz f_Nyq = 1/(2T). Diese Symmetrie ist beim Empfangsfilter–Gesamtfrequenzgang H_E(f) nicht mehr gegeben.
  
• Die Maxima der Frequenzgänge H_TF(f) und |H_E(f)| hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung ab. Es gilt:

\[a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}[H_{\rm TF}(f)]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}[|H_{\rm E}(f)|] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\]

\[a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}[H_{\rm TF}(f)] \approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}[|H_{\rm E}(f)|] \approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.\]

Für a_∗ = 0 dB (idealer Kanal) kann auf das Transversalfilter verzichtet werden und es gilt, wie bereits im Kapitel 1.2 hergeleitet:

\[H_{\rm E}(f) =H_{\rm S}(f) = {\rm si} (\pi f T)\hspace{0.05cm}.\]