Aufgaben:Exercise 2.3: DSB-AM Realization

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Zur Realisierung der so genannten „ZSB–AM mit Träger” soll ein Verstärker mit der Kennlinie $$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$ verwendet werden. Hierbei sind $x = x(t)$ und $y = y(t)$ als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen. Der Parameter $U = 3 V$ gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an.

Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt $A_0 = 2 V$ betrieben. Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal $$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$ Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus: $$ z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 30\,{\rm kHz},$$ $$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ Verwenden Sie bei der Lösung dieser Aufgabe die Hilfsgröße $$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$ Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer Taylorreihe um den Arbeitspunkt entwickelt werden: $$y(x) = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+$$ $$ + \frac{1}{3!} \cdot y\hspace{0.08cm}'''(A_0) \cdot (x - A_0)^3 + ...$$ In Abhängigkeit der Hilfsgröße $w(t)$ kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden: $$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) + ...$$ Das ZSB–AM–Signal $s(t)$ erhält man durch die Bandbegrenzung von $y(t)$ auf den Frequenzbereich von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$. Das heißt: Alle anderen Frequenzen als $f_T$, $f_T±f_N$ sowie $f_T±2f_N$ werden durch den Bandpass entfernt.

Die obige Grafik zeigt die Kennlinie $g(x)$ sowie die Näherungen $g_1(x)$, $g_2(x)$ und $g_3(x)$, wenn man die Taylorreihe nach dem ersten, zweiten oder dritten Term abbricht. Man erkennt, dass die Näherung $g_3(x)$ im dargestellten Bereich innerhalb der Zeichengenauigkeit von $g(x)$ nicht mehr zu unterscheiden ist.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.1.

Fragebogen

1

In welchem Wertebereich kann das Eingangssignal $x(t)$ variieren? Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße $w(t) = x(t) – A_0$ ein.

$w_{min}$ = $\text{V}$

$w_{max}$ = $\text{V}$

2

Berechnen Sie die Koeffizienten $c_0$ und $c_1$ der Taylorreihe.

$c_0$ = $\text{V}$

$c_1$ =

3

Wie lauten die Koeffizienten $c_2$ und $c_3$ der nichtlinearen Kennlinie?

$c_2$ = $V^{ -1 }$

$c_3$ = $V^{ -2 }$

4

Zeigen Sie, dass sich eine „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man $c_3$ als vernachlässigbar klein betrachtet. Wie groß ist der Modulationsgrad?

$m$ =

5

Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man $c_3$ nicht als vernachlässigbar klein betrachtet?

	Das Gewicht der Spektrallinie bei $f_T$ wird nicht verändert.
	$s(t)$ beinhaltet nun auch Diraclinien bei $f_T ± 2f_N$.
	Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen.
	Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen.

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.