Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.1: Phase Modulation Locus Curve"
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Das Quellensignal sei bei beiden Modulatoren gleich: | Das Quellensignal sei bei beiden Modulatoren gleich: | ||
| − | $$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} \cdot t),\hspace{1cm} | + | $$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} \cdot t),\hspace{1cm}$$ |
| + | $${\rm mit}\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 2\,{\rm V},\hspace{0.2cm}f_{\rm N} = 5\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Einer der beiden Modulatoren realisiert eine Phasenmodulation, die durch folgende Gleichungen gekennzeichnet ist: | Einer der beiden Modulatoren realisiert eine Phasenmodulation, die durch folgende Gleichungen gekennzeichnet ist: | ||
$$ s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) \right)\hspace{0.05cm},$$ | $$ s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) \right)\hspace{0.05cm},$$ | ||
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$$ \phi(t) = K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$ | $$ \phi(t) = K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Den Maximalwert von $ϕ(t)$ nennt man Modulationsindex $η$ – teilweise wird diese Größe in der Literatur auch als Phasenhub bezeichnet. | Den Maximalwert von $ϕ(t)$ nennt man Modulationsindex $η$ – teilweise wird diese Größe in der Literatur auch als Phasenhub bezeichnet. | ||
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'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1]. | '''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1]. | ||
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'''1.''' Es handelt sich um eine ESB–AM mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ = 1$ ⇒ Antwort 2. Bewegt man sich auf dem Kreis in mathematisch positive Richtung, so liegt speziell eine OSB–AM vor, andernfalls eine USB–AM. | '''1.''' Es handelt sich um eine ESB–AM mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ = 1$ ⇒ Antwort 2. Bewegt man sich auf dem Kreis in mathematisch positive Richtung, so liegt speziell eine OSB–AM vor, andernfalls eine USB–AM. | ||
| − | Die Phasenfunktion $ϕ(t)$ als der Winkel eines Punktes $s_{TP}(t)$ auf dem Kreis(bogen) bezogen auf den Koordinatenursprung kann Werte zwischen $±π/2$ annehmen und zeigt keinen Cosinusverlauf. Aber auch die Hüllkurve $a(t) = |s_{TP}(t)|$ ist nicht cosinusförmig. Würde man beim Empfänger für | + | Die Phasenfunktion $ϕ(t)$ als der Winkel eines Punktes $s_{TP}(t)$ auf dem Kreis(bogen) bezogen auf den Koordinatenursprung kann Werte zwischen $±π/2$ annehmen und zeigt keinen Cosinusverlauf. Aber auch die Hüllkurve $a(t) = |s_{TP}(t)|$ ist nicht cosinusförmig. Würde man beim Empfänger für $M_1$ einen Hüllkurvendemodulator einsetzen, so käme es zu nichtlinearen Verzerrungen im Gegensatz zur ZSB–AM, deren Ortskurve eine horizontale Gerade ist. |
Revision as of 14:25, 2 January 2017
Die Grafik zeigt Ortskurven am Ausgang zweier Modulatoren $M_1$ und $M_2$. Real- und Imaginärteil sind in dieser Grafik jeweils auf 1 V normiert. Unter der Ortskurve versteht man allgemein die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals $s_{TP}(t)$ in der komplexen Ebene.
Das Quellensignal sei bei beiden Modulatoren gleich:
$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} \cdot t),\hspace{1cm}$$
$${\rm mit}\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 2\,{\rm V},\hspace{0.2cm}f_{\rm N} = 5\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
Einer der beiden Modulatoren realisiert eine Phasenmodulation, die durch folgende Gleichungen gekennzeichnet ist:
$$ s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) \right)\hspace{0.05cm},$$
$$ s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm},$$
$$ \phi(t) = K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
Den Maximalwert von $ϕ(t)$ nennt man Modulationsindex $η$ – teilweise wird diese Größe in der Literatur auch als Phasenhub bezeichnet.
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1.
Fragebogen
Musterlösung
Die Phasenfunktion $ϕ(t)$ als der Winkel eines Punktes $s_{TP}(t)$ auf dem Kreis(bogen) bezogen auf den Koordinatenursprung kann Werte zwischen $±π/2$ annehmen und zeigt keinen Cosinusverlauf. Aber auch die Hüllkurve $a(t) = |s_{TP}(t)|$ ist nicht cosinusförmig. Würde man beim Empfänger für $M_1$ einen Hüllkurvendemodulator einsetzen, so käme es zu nichtlinearen Verzerrungen im Gegensatz zur ZSB–AM, deren Ortskurve eine horizontale Gerade ist.
2.Hier handelt es sich um die Phasenmodulation ⇒ Antwort 3. Die Einhüllende $a(t) = A_T$ ist konstant, während die Phase $ϕ(t)$ entsprechend dem Quellensignal cosinusförmig verläuft.
3. Bei der Phasenmodulation gilt $$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm}.$$ Aus der Grafik kann man die Trägeramplitude $A_T = 1 V$ als den Kreisradius ablesen.
4.Das Quellensignal $q(t)$ ist zum Zeitpunkt $t = 0$ maximal und damit auch die Phasenfunktion:
$$ \eta = \phi_{\rm max} = \phi( t =0)\hspace{0.15cm}\underline { = \pi} \hspace{0.05cm}.$$
Daraus erhält man für die Modulatorkonstante:
$$K_{\rm PM} = \frac{\eta}{A_{\rm N}} = \frac{\pi}{2\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.571\,{\rm V}^{-1}}\hspace{0.05cm}.$$
5.Man bewegt sich auf dem Kreis(bogen) im Uhrzeigersinn. Nach einem Viertel der Periodendauer $T_N = 1/f_N = 200 μs$ ist $ϕ(t) = 0$ und $s_{TP}(t) = 1 V$. Zur Zeit $t_1 = T_N/2 = 100 μs$ gilt $ϕ(t_1) = –π$ und $s_{TP}(t_1) = –1 V$. Danach bewegt man sich auf dem Kreisbogen entgegen dem Uhrzeigersinn.
