Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.2: Spectrum with Angle Modulation"

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Es wird hier von folgenden Gleichungen ausgegangen:
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:* Quellensignal:
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$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
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:* Sendesignal:
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$$s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + K \cdot q(t))\hspace{0.05cm},$$
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:* idealer Kanal, d.h. das Empfangssignal:
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$$r(t)  =  s(t) =  1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + \phi(t))\hspace{0.05cm},$$
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:* idealer Demodulator;
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$$ v(t) = \frac{1}{ K} \cdot \phi(t)\hspace{0.05cm}.$$
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Die Grafik zeigt die Besselfunktionen erster Art und n-ter Ordnung in tabellarischer Form.
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'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1].
  
  
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{Multiple-Choice Frage
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{Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?
 
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- Amplitudenmodulation.
+ Richtig
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+ Phasenmodulation.
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- Frequenzmodulation.
  
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{Welches Modulationsverfahren würden Sie wählen, wenn die Kanalbandbreite $B_K = 10 kHz$ betragen würde?
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+ Amplitudenmodulation.
 +
- Phasenmodulation.
 +
- Frequenzmodulation.
  
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{Berechnen Sie das Spektrum $S_{TP}(f)$ des äquivalenten Tiefpass–Signals. Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei $f = 0$ und $f = –3 kHz$?
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$S_{TP}(f = 0)$ = { 0.765 3% } $V$
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{Berechnen Sie die Spektren des analytischen Signals sowie des physikalischen Signals. Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei 97 kHz?
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$S_+(f = 97 kHz)$ = { -0.44 3% } $V$
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{Wie groß ist die erforderliche Kanalbandbreite $B_K$, wenn man (betragsmäßige) Impulsgewichte kleiner als 0.01 vernachlässigt?
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$ η = 1 : B_K$ = { 18 3% } $KHz$
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{Welche Kanalbandbreiten würden sich für $η = 2$ und $η = 3$ ergeben?
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$η = 2 : B_K$ = { 24 3% } $KHz$
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$η = 3 : B_K$ = { 36 3% } $KHz$
  
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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'''1.'''
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'''1.'''Es handelt sich um eine Phasenmodulation: Die Phase $ϕ(t)$ ist proportional zum Quellensignal $q(t)$ ⇒ Antwort 2.
'''2.'''
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'''3.'''
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'''2.''' Eine Winkelmodulation (PM, FM) führt bei bandbegrenztem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen. Bei AM ist dagegen bereits mit $B_K = 6 kHz$ eine verzerrungsfreie Übertragung möglich ⇒ Antwort 1.
'''4.'''
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'''5.'''
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'''3.''' Der Modulationsindex (oder Phasenhub) ist bei PM gleich $η = K · A_N$. Somit ist $K = 1/A_N = 0.5 1/V$ zu wählen, damit sich $η = 1$ ergibt.
'''6.'''
+
 
'''7.'''
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'''4.''' Es liegt ein sogenanntes Besselspektrum vor:
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$$ S_{\rm TP}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$
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Dieses ist ein diskretes Spektrum mit Anteilen bei $f = n · f_N$, wobei n ganzzahlig ist. Die Gewichte der Diracfunktionen sind durch die Besselfunktionen gegeben. Mit $A_T = 1 V$ erhält man:
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$$ S_{\rm TP}(f = 0)  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_0 (\eta = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.765\,{\rm V}},$$
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$$ S_{\rm TP}(f = f_{\rm N})  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_1 (\eta = 1)\hspace{0.15cm} = 0.440\,{\rm V},$$
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$$ S_{\rm TP}(f = 2 \cdot f_{\rm N})  =  A_{\rm T} \cdot {\rm J}_2 (\eta = 1) = 0.115\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
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Aufgrund der Symmetrieeigenschaft
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$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$$
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erhält man für die Spektrallinie bei $f = –3 kHz$:
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$$S_{\rm TP}(f = -f_{\rm N}) = -S_{\rm TP}(f = +f_{\rm N}) =\hspace{-0.01cm}\underline { -0.440\,{\rm V} \hspace{0.05cm}}.$$
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''Anmerkung'': Eigentlich müsste man für den Spektralwert bei f = 0 schreiben:
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$$S_{\rm TP}(f = 0) = 0.765\,{\rm V} \cdot \delta (f) \hspace{0.05cm}.$$
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Dieser ist somit aufgrund der Diracfunktion unendlich groß, lediglich das Gewicht der Diracfunktion ist endlich. Gleiches gilt für alle diskreten Spektrallinien.
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'''5.'''$S_+(f)$ ergibt sich aus $S_{TP}(f)$ durch Verschiebung um $f_T$  nach rechts. Deshalb ist
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$$S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) = S_{\rm TP}(f = -3\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.440\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
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Das tatsächliche Spektrum unterscheidet sich von $S_+(f)$ bei positiven Frequenzen um den Faktor 1/2:
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$$S(f = 97\,{\rm kHz}) = {1}/{2} \cdot S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.220\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
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Allgemein kann geschrieben werden:
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$$ S(f) = \frac{A_{\rm T}}{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N}))\hspace{0.05cm}.$$
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'''6.''' Unter der vorgeschlagenen Vernachlässigung können alle Bessellinien $J_{|n|>3}$ außer Acht gelassen werden. Damit erhält man $B_K = 2 · 3 · f_N = 18 kHz$.
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'''7.''' Die Zahlenwerte in der Tabelle auf der Angabenseite zeigen, dass nun $B_K = 24 kHz$ (für $η = 2$) bzw. $B_K = 36 kHz$ (für $η = 3$) erforderlich wären.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Revision as of 15:27, 2 January 2017

P ID1081 Mod A 3 2.png

Es wird hier von folgenden Gleichungen ausgegangen:

  • Quellensignal:

$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$

  • Sendesignal:

$$s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + K \cdot q(t))\hspace{0.05cm},$$

  • idealer Kanal, d.h. das Empfangssignal:

$$r(t) = s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + \phi(t))\hspace{0.05cm},$$

  • idealer Demodulator;

$$ v(t) = \frac{1}{ K} \cdot \phi(t)\hspace{0.05cm}.$$ Die Grafik zeigt die Besselfunktionen erster Art und n-ter Ordnung in tabellarischer Form.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 3.1.


Fragebogen

1

Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?

Amplitudenmodulation.
Phasenmodulation.
Frequenzmodulation.

2

Welches Modulationsverfahren würden Sie wählen, wenn die Kanalbandbreite $B_K = 10 kHz$ betragen würde?

Amplitudenmodulation.
Phasenmodulation.
Frequenzmodulation.

3

Wie ist die Modulatorkonstante zu wählen, damit der Phasenhub $η = 1$ beträgt?

$K$ =

$1/V$

4

Berechnen Sie das Spektrum $S_{TP}(f)$ des äquivalenten Tiefpass–Signals. Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei $f = 0$ und $f = –3 kHz$?

$S_{TP}(f = 0)$ =

$V$
$S_{TP}(f = -3 KHz)$ =

$V$

5

Berechnen Sie die Spektren des analytischen Signals sowie des physikalischen Signals. Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei 97 kHz?

$S_+(f = 97 kHz)$ =

$V$
$S(f = 97 kHz)$ =

$V$

6

Wie groß ist die erforderliche Kanalbandbreite $B_K$, wenn man (betragsmäßige) Impulsgewichte kleiner als 0.01 vernachlässigt?

$ η = 1 : B_K$ =

$KHz$

7

Welche Kanalbandbreiten würden sich für $η = 2$ und $η = 3$ ergeben?

$η = 2 : B_K$ =

$KHz$
$η = 3 : B_K$ =

$KHz$


Musterlösung

1.Es handelt sich um eine Phasenmodulation: Die Phase $ϕ(t)$ ist proportional zum Quellensignal $q(t)$ ⇒ Antwort 2.

2. Eine Winkelmodulation (PM, FM) führt bei bandbegrenztem Kanal zu nichtlinearen Verzerrungen. Bei AM ist dagegen bereits mit $B_K = 6 kHz$ eine verzerrungsfreie Übertragung möglich ⇒ Antwort 1.

3. Der Modulationsindex (oder Phasenhub) ist bei PM gleich $η = K · A_N$. Somit ist $K = 1/A_N = 0.5 1/V$ zu wählen, damit sich $η = 1$ ergibt.


4. Es liegt ein sogenanntes Besselspektrum vor: $$ S_{\rm TP}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$ Dieses ist ein diskretes Spektrum mit Anteilen bei $f = n · f_N$, wobei n ganzzahlig ist. Die Gewichte der Diracfunktionen sind durch die Besselfunktionen gegeben. Mit $A_T = 1 V$ erhält man:

P ID1082 Mod A 3 2 d.png

$$ S_{\rm TP}(f = 0) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_0 (\eta = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.765\,{\rm V}},$$ $$ S_{\rm TP}(f = f_{\rm N}) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_1 (\eta = 1)\hspace{0.15cm} = 0.440\,{\rm V},$$ $$ S_{\rm TP}(f = 2 \cdot f_{\rm N}) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_2 (\eta = 1) = 0.115\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$ Aufgrund der Symmetrieeigenschaft $${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$$ erhält man für die Spektrallinie bei $f = –3 kHz$: $$S_{\rm TP}(f = -f_{\rm N}) = -S_{\rm TP}(f = +f_{\rm N}) =\hspace{-0.01cm}\underline { -0.440\,{\rm V} \hspace{0.05cm}}.$$ Anmerkung: Eigentlich müsste man für den Spektralwert bei f = 0 schreiben: $$S_{\rm TP}(f = 0) = 0.765\,{\rm V} \cdot \delta (f) \hspace{0.05cm}.$$ Dieser ist somit aufgrund der Diracfunktion unendlich groß, lediglich das Gewicht der Diracfunktion ist endlich. Gleiches gilt für alle diskreten Spektrallinien.


5.$S_+(f)$ ergibt sich aus $S_{TP}(f)$ durch Verschiebung um $f_T$ nach rechts. Deshalb ist $$S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) = S_{\rm TP}(f = -3\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.440\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$ Das tatsächliche Spektrum unterscheidet sich von $S_+(f)$ bei positiven Frequenzen um den Faktor 1/2: $$S(f = 97\,{\rm kHz}) = {1}/{2} \cdot S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.220\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$ Allgemein kann geschrieben werden: $$ S(f) = \frac{A_{\rm T}}{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N}))\hspace{0.05cm}.$$


6. Unter der vorgeschlagenen Vernachlässigung können alle Bessellinien $J_{|n|>3}$ außer Acht gelassen werden. Damit erhält man $B_K = 2 · 3 · f_N = 18 kHz$.

7. Die Zahlenwerte in der Tabelle auf der Angabenseite zeigen, dass nun $B_K = 24 kHz$ (für $η = 2$) bzw. $B_K = 36 kHz$ (für $η = 3$) erforderlich wären.