Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.7: Spectra of ASK and BPSK"

Revision as of 20:47, 4 January 2017

Die Sendesignale von ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) können beide in der Form $s(t) = q(t) · z(t)$ dargestellt werden, wobei z(t) eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_T$ und der Amplitude 1 darstellt. Die Trägerphase $ϕ_T$ ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.

Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: $a_ν ∈ {0, 1}$ – des Quellensignals $q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$ anzusetzen, während im Fall der BPSK $a_ν$ ∈ {–1, +1} zu berücksichtigen ist. Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole ±1 gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.

In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren $Φ_q(f)$ und $Φ_s(f)$ von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls $g_q(t)$ mit der Amplitude $s_0 = 2 V$ und der Dauer $T = 1 μs$ ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion: $G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$ Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe die Konstanten A, B, C und D für ASK und BPSK.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.2 dieses Buches sowie auf das Kapitel 2.1 im Buch „Digitalsignalübertragung”.

Fragebogen

$ASK: A$ =

$10^{-6}$

$V^2$

$B$ =

$V^2$

$ASK: C$ =

$10^{-6}$

$V^2/Hz$

$D$ =

$V^2$

$BPSK: A$ =

$10^{-6}$

$V^2/Hz$

$B$ =

$V^2$

$BPSK: C$ =

$10^{-6}$

$V^2/Hz$

$D$ =

$V^2$

+ Der kontinuierliche Anteil von

$Φ_q(f)$ ist formgleich mit

$|Gq(f)|^2$ .

-

$Φ_q(f)$ beinhaltet bei ASK genau eine Diraclinie bei

$f = 0$ .

-

$Φ_q(f)$ beinhaltet bei BPSK genau eine Diraclinie bei

$f = 0$ .

Musterlösung

Solution

1. Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt

$m_q = s_0/2$ . Das Diracgewicht ist somit

$B = m_q^2 = s_0^2/4 = 1 V^2$ . Ohne diesen Gleichanteil ergibt sich das stochastische Rechtecksignal

$q(t) – m_q$ ∈ {

$+s_0/2$ ,

$–s_0/2$ }. Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil

$(s_0/2)^2 · T · si^2(πfT)$ , woraus der gesuchte Wert bei der Frequenz f = 0 ermittelt werden kann: '"`UNIQ-MathJax34-QINU`"' '''2.''' Das Spektrum

$Z(f)$ eines Cosinussignals

$z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei

$± f_T$ , jeweils mit dem Gewicht 1/2. Das Leistungsdichtespektrum

$Φ_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht 1/4. Die Faltung

$Φ_q(f) ∗ Φ_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum

$Φ_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt: '"`UNIQ-MathJax35-QINU`"' '''Anmerkung:''' Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über

$Φ_s(f)$ : '"`UNIQ-MathJax36-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax37-QINU`"' '''3.''' Bei BPSK ist das Quellensignal

$q(t)$ bipolar anzusetzen. Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie ⇒ B = 0 und der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß als bei der ASK: '"`UNIQ-MathJax38-QINU`"' '''4.''' Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK: '"`UNIQ-MathJax39-QINU`"' '''5.''' Richtig ist nur die erste Aussage. Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet

$Φ_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn

$g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht. Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von 1/T. Weitere Informationen hierzu finden Sie bei AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen im Buch „Digitalsignalübertragung”.

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-[[File:|right|]]
+[[File:P_ID1701__Mod_A_4_6.png|right|]]
+Die Sendesignale von ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) können beide in der Form  $s(t) = q(t) · z(t)$  dargestellt werden, wobei z(t) eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_T$  und der Amplitude 1 darstellt. Die Trägerphase  $ϕ_T$  ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.
+Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt:  $a_ν ∈ {0, 1}$  – des Quellensignals
+ $q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$
+anzusetzen, während im Fall der BPSK  $a_ν$  ∈ {–1, +1} zu berücksichtigen ist. Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole ±1 gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.
+In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren  $Φ_q(f)$  und  $Φ_s(f)$  von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls  $g_q(t)$  mit der Amplitude  $s_0 = 2 V$  und der Dauer  $T = 1 μs$  ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion:
+ $G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$
+Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe die Konstanten A, B, C und D für ASK und BPSK.
+'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf das [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren Kapitel 4.2] dieses Buches sowie auf das Kapitel 2.1 im Buch „Digitalsignalübertragung”.
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
+{Wie groß sind der Parameter  $A = Φ_q(f = 0)$  und das Diracgewicht B bei ASK?
-|type="[]"}
+|type="{}"}
-- Falsch
+ $ASK: A$  = { 1 3% } $10^{-6}V^2$
-+ Richtig
+ $B$  = { 1 35 }  $V^2$
+{Bestimmen Sie die Parameter  $C = Φ_s(f = f_T)$  und D des ASK–Sendesignals.
+|type="{}"}
+ $ASK:  C$  = { 0.25 3% }  $10^{-6}$   $V^2/Hz$
+ $D$  = { 0.25 3% }  $V^2$
-{Input-Box Frage
+{Wie groß sind die Parameter  $A = Φ_q(f = 0)$  und B bei BPSK?
 |type="{}"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+$BPSK:   A $= { 4 3% }$ 10^{-6}V^2/Hz$
+$B$ = { 0 3% }  $V^2$
+{Bestimmen Sie die Parameter  $C = Φ_s(f = f_T)$  und D des BPSK–Sendedsignals.
+|type="{}"}
+ $BPSK:  C$  = { 1 3% }  $10^{-6}$   $V^2/Hz$
+ $D$  = { 0 3% }   $V^2$
+{Welche Aussagen treffen zu, auch wenn  $g_q(t)$  kein NRZ–Rechteckimpuls ist?
+|type="{}"}
++ Der kontinuierliche Anteil von  $Φ_q(f)$  ist formgleich mit  $|Gq(f)|^2$ .
+-  $Φ_q(f)$  beinhaltet bei ASK genau eine Diraclinie bei  $f = 0$ .
+-  $Φ_q(f)$  beinhaltet bei BPSK genau eine Diraclinie bei  $f = 0$ .
 </quiz>
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''
+'''1.''' Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt  $m_q = s_0/2$ . Das Diracgewicht ist somit  $B = m_q^2 = s_0^2/4 = 1 V^2$ . Ohne diesen Gleichanteil ergibt sich das stochastische Rechtecksignal  $q(t) – m_q$  ∈ { $+s_0/2$ ,  $–s_0/2$ }. Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil  $(s_0/2)^2 · T · si^2(πfT)$ , woraus der gesuchte Wert bei der Frequenz f = 0 ermittelt werden kann:
-'''2.'''
+ $A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$
-'''3.'''
-'''4.'''
+'''2.''' Das Spektrum  $Z(f)$  eines Cosinussignals  $z(t)$  besteht aus zwei Diracfunktionen bei  $± f_T$ , jeweils mit dem Gewicht 1/2. Das Leistungsdichtespektrum  $Φ_z(f)$  besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht 1/4. Die Faltung  $Φ_q(f) ∗ Φ_z(f)$  ergibt das Leistungsdichtespektrum  $Φ_s(f)$  des Sendesignals. Daraus folgt:
-'''5.'''
+ $C = \frac {A}{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$
-'''6.'''
+'''Anmerkung:''' Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über  $Φ_s(f)$ :
-'''7.'''
+ $P_{\rm S}  =  \int\limits_{ - \infty }^\infty {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 2 \cdot \int\limits_{ 0 }^\infty {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm d}f=$
+ $=  2 \cdot \left [ \frac{C}{T} + D \right ] = 2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}} + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1 \,{\rm V^{2}}}.$
+'''3.'''  Bei BPSK ist das Quellensignal  $q(t)$  bipolar anzusetzen. Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie   ⇒   B = 0   und der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß als bei der ASK:
+ $A = {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$
+'''4.''' Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:
+$$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
+'''5.'''  Richtig ist nur die erste Aussage. Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet  $Φ_q(f)$  auch dann keine einzige Diraclinie, wenn  $g_q(t)$  von der Rechteckform abweicht. Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von 1/T. Weitere Informationen hierzu finden Sie bei AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen im Buch „Digitalsignalübertragung”.
 {{ML-Fuß}}