Aufgaben:Exercise 5.8Z: Cyclic Prefix and Guard Interval

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Wir gehen in dieser Aufgabe von einem OFDM–System mit N = 8 Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand $f_0$ sei 4 kHz. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes. Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit $τ_1 = 50 μs$ und $τ_2 = 125 μs$: $$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$ Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz (Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite) um den Faktor $$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}} $$ und führt auch zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert β. Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR–Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten g_S(t) und g_E(t) von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer T angepasst sind (Matched–Filter–Ansatz).

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.6.

Fragebogen

1

Geben Sie die Kernsymboldauer an.

$T$ = $μs$

2

Wie lang sollte das Guard–Intervall mindestens sein?

$T_G$ = $μs$

3

Bestimmen Sie die resultierende Rahmendauer.

$T_R$ = $μs$

4

Welche Aussagen sind richtig? Durch eine Guardlücke, also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können

	Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt werden,
	Impulsinterferenzen (ISI) unterdrückt werden.

5

Welche Aussagen sind richtig? Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können

	Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt werden,
	Impulsinterferenzen (ISI) unterdrückt werden.

6

Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für

$\text{das Kernsymbol: N}$ =

$\text{das Guard–Intervall: $N_G$}$ =

$\text{den gesamten Rahmen: $N_{gesamt}$}$ =

7

Geben Sie unter der Vorraussetzung, dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten –1 verwendet wird, die Abtastwerte des Guard–Intervalls vor der Übertragung über den Kanal an:

$\text{Re{$d_{-1}$}}$ =

$\text{Im{$d_{-1}$}}$ =

$\text{Re{$d_{-2}$}}$ =

$\text{Im{$d_{-2}$}}$ =

$\text{Re{$d_{-3}$}}$ =

$\text{Im{$d_{-3}$}}$ =

$\text{Re{$d_{-4}$}}$ =

$\text{Im{$d_{-4}$}}$ =

8

Welche Bandbreiteneffizienz ergibt sich inklusive des Guard–Intervalls?

$\beta$ =

9

Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust unter der Voraussetzung des Matched–Filter–Ansatzes?

$10 · lg Δ_ρ$ = $dB$

Musterlösung

Solution

1. Die Kernsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands: $$ T = \frac{1}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm \mu s}}.$$

2. Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Verzögerung (hier: $τ_2 = 125 μs$) des Kanals ⇒ $T_G = 125 μs$.

3. Für die Rahmendauer gilt somit: $$ T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm \mu s}}.$$

4. Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden. Die Lückendauer $T_G$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird. Im vorliegenden Beispiel muss $T_G ≥ 125 μs$ sein. Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.

5. Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt. Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Kernsymboldauer T eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, auch wenn andere Träger aktiv sind. Das heißt: Beide Lösungsvorschläge sind zutreffend.

6. Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Kernsymbols ist gleich der Anzahl N = 8 der Träger. Wegen $T_G = T/2$ gilt $N_G = 4$ und damit $N_{gesamt} = 12$.

7. Die Belegung des ersten Trägers (Frequenz $f_0$) mit dem Koeffizienten –1 führt zu den Abtastwerten

d₀ = –1, d₁ = –0.707 – j · 0.707, d₂ = –j, d₃ = + 0.707 – j · 0.707,

d₄ = + 1, d₅ = +0.707 + j · 0.707, d₆ = j, d₇ = –0.707 + j · 0.707.

Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte d_–1 = d₇, d_–2 = d₆, d_–3 = d₅ und d_–4 = d₄:

$$\underline{{\rm Re}\{d_{-1}\} = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}\{d_{-1}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{d_{-2}\} = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-2}\} = 1},$$ $$\underline{{\rm Re}\{d_{-3}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}\{d_{-3}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{d_{-4}\} = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}\} = 0}.$$

8. Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich $$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$ 9. Die Bandbreiteneffizienz β = 2/3 führt zu einem SNR–Verlust von $$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$